[精选]投资组合优化.pptx

第十二章 投资组合优化,Outline,矩阵求导简介 优化知识 允许卖空情况下的投资组合优化 不允许卖空情况下的投资组合优化,矩阵求导的有关知识,数对向量求一阶导,假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值为标量 定义n阶向量的一阶导数如下： 其中 Remark：scalar-valued function of a vector，又称梯度,数对向量求二阶导,假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值为标量 定义n阶向量的二阶导数如下： 其中 Remark：scalar-valued function of a vector，又称海赛矩阵，n*n方阵,例子,假如,Matlab实现,Syms x1 x2 X=x1 x2 F=2*x1+3*x1*x2 Dfdx=diff(F,x1);diff(F,x2) g1=jacobian(Dfdx,X),向量对向量求一阶导数,假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量 f(X)的一阶导数如下：,Matlab实现,Syms s t V=s;t f=t2*log(s);s3*log(2+t) dfdx=jacobian(f,V),例子,假如,向量对向量求一阶导数,假设X为列向量，A为方阵 如果A为对称阵则,优化与投资组合理论,总结,数对列向量求导仍为列向量 列向量对列向量求导为矩阵,主要内容,问题1：给定预期收益，最小化风险 问题2：给定风险，最大化预期收益 问题3：不考虑预期收益，最小化风险 问题4：不考虑风险，最大化预期收益,问题1,给定预期收益时，最小化风险 目标函数为二次型 约束为线性约束 当不允许卖空时， 当限制了某个资产投资份额，给定投资权重的上下界,问题2,给定风险时，最大化收益 目标函数为线性 约束为非线性约束和线性约束,问题3,不考虑预期收益，最小化风险 目标函数为二次型 约束为线性约束,问题4,不考虑风险，最大化收益 目标函数为线性 约束为线性约束,允许卖空时投资组合优化,投资组合优化的数学表述,给定收益情况下风险最小化 风险采用方差来衡量 目标函数 约束条件1 约束条件2,投资组合优化,其中，w 为N支股票权重的列向量，e表示N支股票的N维期望收益率向量，I为N维单位向量，V为投资组合的方差协方差矩阵,以三维为例,投资组合优化,目标函数 约束条件1 约束条件2,投资组合优化的数学表述,第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数 第二步，求解一阶条件 Remark：第一个等式实际上可以展开n个,投资组合优化的数学表述,其中，0是三维零向量。

由于V是正定矩阵，因此上述一阶条件也是全局优化的充分必要条件 由上述方程可得,投资组合优化的数学表述,由上述方程可得，拉格朗日乘子,投资组合优化的数学表述,由上述方程可求投资组合权重 对应的方差,允许卖空情况下的权重求解,function wp,varp=meanvar(e,V,rp) %. 求解投资组合权重 %输入：e每个资产的预期收益率组成的收益率列向量 %输入：V 收益率的方差协方差矩阵 %输入：rp为投资组合的预期回报率 %输出: wp为投资组合权重，列向量 %输出: varp为投资组合的方差,允许卖空情况下的权重求解,M=length(e); I=ones(M,1); A=I*inv(V)*e; B=e*inv(V)*e; C=I*inv(V)*I; D=B*C-A2; g=(B*(inv(V)*I)-A*(inv(V)*e)/D; h=(C*(inv(V)*e)-A*(inv(V)*I)/D; wp=g+h*rp; varp=wp*V*wp;,投资组合有效前沿,function out=graphmeanvar(price) %purpose:给定N个资产价格矩阵，根据Mean-variance模型确定投资权重，参考教材金融经济学基础 黄奇辅 %输入:N种资产,M个观测值的价格矩阵,N*M矩阵 %输出：每支资产的权重组成的列向量wp N,M=size(price); logprice=100*log(price);,投资组合有效前沿,% 2. 将原始价格数据转化为对数数据，并进一步转化为收益率数据 logreturn=zeros(N-1,M); for j=1:M; logreturn(:,j)= logprice(2: end,j) - logprice(1: end-1,j); end % 3. 求解收益率数据的均值向量与方差协方差矩阵 e=mean(logreturn,1);%对应41页中公式(3.8.1) e V=cov(logreturn);%对应41页中公式(3.8.1) V rp=linspace(min(e),max(e),101); varp=zeros(101,1); wp=zeros(M,101);,投资组合有效前沿,for i=1:101; wp(:,i),varp(i)=meanvar(e,V,rp(i); end sigmap=varp.(0.5); plot(sigmap, rp,co); out.rp=rp; out.varp=varp; out.wp=wp; out.total=rp;varp;wp;,投资组合有效前沿,xlabel(标准差); % x轴注解 ylabel(收益率); % y轴注解 title(允许卖空条件下的投资组合前沿); % 图形标题,允许卖空时投资组合的有效前沿,load ma_port.mat; out=graphmeanvar(SH GH ZS),允许卖空时投资组合权重图,不允许卖空时投资组合优化,投资组合优化的数学表述,给定收益情况下风险最小化 风险采用方差来衡量 目标函数 约束条件1 约束条件2 约束条件3 采用数值算法求解,二次规划的一般形式,Matlab的函数形式 x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq),投资组合优化如何用Matlab二次优化函数,Matlab的函数形式 x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq) 以三个资产为例 H=V; f=zeros(M,1)=(0 0 0)，x=w,投资组合优化如何用表示成二次优化函数,对应于如下两个约束条件,不允许卖空时投资组合优化,function out=shortmeanvar(price) %purpose:给定N个资产价格矩阵，根据Mean-variance模型确定投资权重 %输入:N种资产,M个观测值的价格矩阵,N*M矩阵 %输出：每支资产的权重组成的列向量wp N,M=size(price); logprice=100*log(price); % 2. 将原始价格数据转化为对数数据，并进一步转化为收益率数据 logreturn=diff(logprice);,不允许卖空时投资组合优化,% 3. 求解收益率数据的均值向量与方差协方差矩阵 e=mean(logreturn,1);%对应41页中公式(3.8.1) e,此时e为列向量 V=cov(logreturn);%对应41页中公式(3.8.1) V rp=linspace(min(e),max(e),101); for i=1:101; wp(:,i),fval(i)=quadprog(V,zeros(M,1),-eye(M,M),zeros(M,1),ones(1,M);e,1;rp(i); end,不允许卖空时投资组合优化,sigmap=sqrt(2*fval); plot(sigmap, rp,co); out.rp=rp; out.wp=wp; xlabel(标准差); % x轴注解 ylabel(收益率); % y轴注解 title(不允许卖空条件下的投资组合前沿); % 图形标题,不允许卖空时投资组合的有效前沿,load ma_port.mat; out=shortmeanvar(SH GH ZS),不允许卖空时投资组合权重图,允许卖空时与不允许卖空时的比较,总结,采用矩阵形式会使表达式非常简洁，但在优化时会涉及到矩阵求导的知识 矩阵求导主要包括数对向量求导，向量对向量求导 数对向量求导为向量，向量对向量求导为矩阵 允许卖空条件下的投资组合优化 不允许卖空条件下的投资优化,谢谢！ END,。