极值和极值点的概念ppt课件.ppt

Ch 2.6 Ch 2.6 最最 值值2.6.1 2.6.1 极值和极值点的概念极值和极值点的概念　　定定义义2.6 2.6 设设函函数数 y y = = f(x) f(x) 在在 x0 x0 的的一一个个邻邻域域内内有定义，有定义，若对于该邻域内异于若对于该邻域内异于 x0 的的 x 恒有恒有(1) f (x0) > f (1) f (x0) > f (x)(x)，，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的极大值，的极大值，x0 称为称为 f (x) 的极大值点；的极大值点；(2) f (x0) < f (2) f (x0) < f (x)(x)，，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的极小值，的极小值，x0 称为称为 f (x) 的极小值点；的极小值点；函数的极大值、极小值统称为函数的极值，函数的极大值、极小值统称为函数的极值，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　极极大大值点、极小值点统称为极值点值点、极小值点统称为极值点.2.6 2.6 函数的极值和最大〔小〕值及其求法函数的极值和最大〔小〕值及其求法函数的极值和最大〔小〕值及其求法函数的极值和最大〔小〕值及其求法　　　　显显然然，，在在图图中中，， x1，，x4 为为 f (x) 的的极大值点，极大值点，　　　　　　　　 x2，，x5 为为 f (x) 的极小值点的极小值点.y = f (x)yxOx1x2x3x4x5y y= f ( x )x0再看下面函数曲线：再看下面函数曲线： 极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定大于极小值．大于极小值．如如P41P41书上图书上图2-52-5定理定理 2.6 2.6 <1> (<1> (极值的必要条件极值的必要条件) )　　设函数　　设函数 y = f (x) y = f (x) 在在 x0 x0 处可导，处可导，　　　　　　　　　　　　　　　　且　　　　　　　　　　　　　　　　且 f (x0) 为极为极值值(即即 x0 为值点为值点)，那么，那么 f (x0) = 0.即函数的极值点必为驻点或不可导点即函数的极值点必为驻点或不可导点　　　　<2> (<2> (极值的第一充分条件极值的第一充分条件) )　　　　设设函函数数 y y = = f f (x) (x) 在在 x0 x0 的的一一个个邻邻域域内内可可微微( (在在 x0 x0 处可以不可微，但必须连续处可以不可微，但必须连续) )，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若若当当 x 在在该该邻邻域域内内由小于由小于 x0 连续地变为大于连续地变为大于 x0 时，时， 　　　　　　　　　　　　　　　其导数　　　　　　　　　　　　　　　其导数 f (x) 改变改变符号，符号， 那么那么 f (x0) 为函数的极值为函数的极值.x0 为函数的极值点，为函数的极值点，并且并且(1)(1)若导数若导数 f f (x) (x) 由正值变成负值，由正值变成负值，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　那那么么 x0 为为极极大值点，大值点，f (x0) 为为 f (x) 的极大值；的极大值；(2)(2)若导数若导数 f f (x) (x) 由负值变成正值，由负值变成正值，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 那那么么 x0 为为极小值点，极小值点，f (x0) 为为 f (x) 的极小值的极小值.　　　　<3><3>　　( ( 极值的第二充分条件极值的第二充分条件 ) )　　　　(1)(1)当当 f f  (x0) (x0) > > 0 0 时时，，那那么么 x0 x0 为为极极小小值值点，点，f (x0)f (x0)为极小值；为极小值；　　　　(2)(2)当当 f f  (x0) < 0 (x0) < 0 时，那么时，那么 x0 x0 为极大值为极大值点，点，f (x0)f (x0)为极大值为极大值. .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　假　　　　　　假设设 f (x0) = 0，且，且 f  (x0)   0，， 　　　　　　　　　　那那么么 x0 是是函函数数的的极极值值点，点，f (x0) 为函数的极值，为函数的极值，并且并且　　　　设设函函数数 y y = = f f (x) (x) 在在 x0 x0 处处的的二二阶阶导导数数存存在，在，运用定理运用定理 2.6 求函数极值的一般步骤是：求函数极值的一般步骤是：　　　　(1)确确定定定定义义域域，，并并找找出出所所给给函函数数的的驻驻点点和和导导数不存在的点；数不存在的点；(2)(2)考考察察上上述述点点两两侧侧一一阶阶导导数数的的符符号号( (或或考考察察上上述点的二阶导数的符号述点的二阶导数的符号) )，确定极值点；，确定极值点；(3)(3)求出极值点处的函数值，得到极值求出极值点处的函数值，得到极值. .补充例题补充例题1. 求求f (x)=x3 3x2 9x+5的极的极值值.解解: f '(x)=3x2  6x  9 =3(x+1)(x3)令f '(x)=0 解得驻点 x1=  1, x2=3x =  1: x<1时 f '(x)>0. x>1时 f '(x)<0 x=3: x<3时 f '(x)<0. x>3时 f '(x)>0  极大值f (1)=10. 极小值 f (3)= 22.图形如下图形如下极极大大值值极极小小值值补充例题补充例题2. 求求 f (x)=的极值解解: x < 0时, f '(x)<0, x > 0时, f '(x) > 0故得 极小值f (0)=0xy0补充例题补充例题3. 求求的极值.解解: f (x) 以以2 为周期，故考虑区间为周期，故考虑区间[0, 2 )令 f '(x)=cosxsinx = 0又有得驻点由定理2.6知 由周期性知分别为 f (x) 的极大值点和极小值点.都是函数的极值点，该函数的极值点有无穷多个都是函数的极值点，该函数的极值点有无穷多个补充例补充例 题题4 4　求函数　求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 2)3 的极值的极值. .解　解　(1)定义域为定义域为 (-  ,+  ).f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7).所以由所以由 f (x) = 0 可得可得 f (x) 的三个驻点：的三个驻点：该函数在定义区间内无不可导的点，该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义上述驻点将定义区间分为四个子区间区间分为四个子区间(2) (2) 当当 x x   (- (- , 1), 1)时，时， f f (x) (x) > 0> 0；；f (x) > 0；； 当当 x   (2, +  ) 时，时， f (x) > 0. 因因而而，，由由定定理理 3 可可知知，， x = 1 为为极极大大值点，值点， x = 2 不不是是极极值值点点(因因为为在在 x = 2 的两侧的两侧 f (x) 同为正号同为正号).(3)(3)计算极值计算极值极大值极大值 f (1) = (1 - 1)2 (1 - 2)3 = 0，，有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(- , 1), 1)f (x)12(2, + (2, +  ) )+ +0- -0+ +0+ +f (x)极大值极大值0无极值无极值补充例题补充例题 5 5　求函数　求函数 f (x) = x4 f (x) = x4 –– 10x2 + 5 10x2 + 5 的极值的极值. .因为因为解　解　(1)定义域为定义域为 (-  , +  ). f (x) = 4x3 – 20x = 4x(x2 - 5)，， 所以，由所以，由 f (x) = 0 可得该函数的三个驻点可得该函数的三个驻点所以有所以有由定理由定理 2.6 可知：可知：(2)(2)因为因为 f (x) = 12x2 – 20，，(3)(3)计算极值：计算极值：请阅读书上第请阅读书上第4141页例页例1 1和例和例2 2例例1　求函数　求函数 的极值．的极值．例例2　求函数　求函数 在区间在区间 内的极值．内的极值．３．函数的最大最小值在很多实际问题中，需要求出最大或最小值．表示这些问题的函数 一般在区间 上是连续的．根据以上讨论，具备这种条件的函数 的最大、最小值总是存在的，它们只可能在 的点、 不存在的点或区间端点处取得．求 在 上最大、小值的步骤： (1)(1)求出求出 及及 不存在的点不存在的点 ；；(2)(2)比较比较 的大小．其中最大的的大小．其中最大的便是最大值，最小的便是最小值便是最大值，最小的便是最小值补充例题补充例题 6. 求求f (x)=x4 8x2+2在在[ 1, 3]上的最大值和最小上的最大值和最小值值.解：解：f '(x)=4x3  16x=4x(x 2)(x+2)令 f '(x)=0 得驻点 x1=0, x2=2, x3=  2(舍去)计算 f (0)=2, f (2)= 14f (1)=  5, f (3)= 11所以最小值f (2)= 14, 最大值f (3)= 11补充例题补充例题 7. 求求 f (x)=x2e x的最大值和最小值的最大值和最小值.解：解： f (x)在定义域在定义域(, )上连续可导且上连续可导且 f ' (x) = x (2 x)e x令 f ' (x)=0得 驻 点 x=0, x=2 有 f (0)=0，f (2)=4e2且故 f (x)在定义域内有最小值 f (0)=0，无最大值 .y=x2ex02(1) f (x)C( [a, b] ) ，且在(a, b)内只有唯一极值点x=x0. 则当 f (x0) 极大时便也最大，当f (x0)极小时便也最小.特例xy0abyx0abx0x0(2) f (x)C( [a,b] ), 且在(a, b)内单调增加，则f (a)最小，f (b)最大. 单调减少则相反.abxy0abxy0补充例题补充例题8. 某企业开发出一种新产品某企业开发出一种新产品. 已知生产已知生产销售销售 x件产品所需成本费用件产品所需成本费用C = 25000+5x(元元). 若每件产品销售价为若每件产品销售价为问生产销售多少件产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？解：目标函数解：目标函数:= x ·P C利润 L = 收入本钱亦即最大值点. 故生产销售 x=2500 件产品可使企业的利润最大，此时求解：课堂练习　试求函数课堂练习　试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 –– 24x + 424x + 4 在区间在区间[0,3][0,3]上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解解　　f f  (x) (x) = = 12x3 12x3 - - 48x2 48x2 + + 60x – 24 60x – 24 令令 f f  (x) = 0(x) = 0，得驻点，得驻点 x = 1 x = 1，， x = 2 x = 2，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 它它们们为为 f (x) 可可能的极值点，能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：算出这些点及区间端点处的函数值：= 12(x - 1)2(x - 2)，，f (0) = 4，，f (1) = - 3，，f (2) = - 4，，f (3) = 13，，将它们加以比较将它们加以比较 可可知知在在区区间间[0, 3]上上 f (x) 的的最最大大值值为为 f (3) = 13，，最小值为最小值为 f (2) = - 4.。