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经经 济济 数数 学学 －－微积分微积分济南大学数学科学学院济南大学数学科学学院 总界面总界面 结束结束 济南大学理学院济南大学理学院 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第一节第一节 数列的极限数列的极限小结小结数列的定义数列的定义数列极限的性质数列极限的性质数列的极限数列的极限思考题思考题第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 一、一、数列的定义数列的定义例如例如第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 1.1.有界性有界性例如例如:有界有界, ,无界无界. .二、数列极限的性质二、数列极限的性质第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注注：：1、、有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. . 2、、推论：推论：无界数列必定发散无界数列必定发散. .2. . 唯一性唯一性定理定理2 收敛数列的极限必唯一收敛数列的极限必唯一. .第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理3 保号性保号性. . 定理定理4 收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系. .第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 注：注：1. 由定理由定理4知知,若若{xn}有两个分别收敛于有两个分别收敛于a≠b的的 子数列，则子数列，则{xn} 发散发散.由此给出判定数列发散的一种方法由此给出判定数列发散的一种方法. 如：如：{(-1)n+1}2. 有收敛子列的数列，敛散性不一定有收敛子列的数列，敛散性不一定.即收敛数列一定有收敛子列，发散数列也可能有。

即收敛数列一定有收敛子列，发散数列也可能有关键由子数列是否收敛于同一极限来判定原数列关键由子数列是否收敛于同一极限来判定原数列的敛散性的敛散性.济南大学理学院济南大学理学院 第二章第二章 极限与连续极限与连续总界面总界面 结束结束 第二节第二节 函数的极限函数的极限函数极限的性质函数极限的性质函数极限的定义函数极限的定义概念的引入概念的引入思考题、思考题、小结小结第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 一、函数极限的定义一、函数极限的定义（一）自变量趋向无穷大时函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限播放播放播放播放第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 问题问题问题问题: : : : 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”. .第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 2.另两种情形另两种情形第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 （二）自变量趋向有限值时函数的极限（二）自变量趋向有限值时函数的极限注：注：)(0是否有定义无关是否有定义无关在点在点函数极限与函数极限与xxf第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 3.单侧极限单侧极限例如例如: :第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 左极限左极限右极限右极限说明：说明：左、右极限常用于考察分段函数在分段点处左、右极限常用于考察分段函数在分段点处的极限的极限.第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,例例证明证明第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 2. .局部有界性局部有界性1. .唯一性唯一性3. .局部保号性局部保号性定理定理3推论推论三、函数极限的性质三、函数极限的性质第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,证明证明思考题思考题济南大学理学院济南大学理学院 总界面总界面 结束结束 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第三节第三节 无穷大与无穷小无穷大与无穷小无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷大无穷大无穷小无穷小思考题、思考题、小结小结第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 1.1.定义定义极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.一、无穷小一、无穷小第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例如例如, ,注：注： 1. .无穷小是变量无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;2. .零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数. .第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 2. .无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系: :定理定理1证证 必要性必要性充分性充分性第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 3. .无穷小的运算性质无穷小的运算性质: :定理定理2 在同一变化过程中在同一变化过程中, ,有限个有限个无穷小的无穷小的 代数和仍是无穷小代数和仍是无穷小. .注注: : 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理1第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理3 无穷小与有界量的乘积是无穷小无穷小与有界量的乘积是无穷小. .★推论推论1 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .都是无穷小都是无穷小.无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算得到的还是无穷小。

得到的还是无穷小结论：结论：问题：问题：无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .二、无穷大二、无穷大特殊情形特殊情形：正无穷大，负无穷大．：正无穷大，负无穷大．第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 1.无穷大是变量无穷大是变量, ,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; ;注：注：只是记号，且为了讨论的需要只是记号，且为了讨论的需要. .运算：运算：在自变量同一变化过程中在自变量同一变化过程中, ,两个无穷大相加两个无穷大相加或相减的结果是不确定的或相减的结果是不确定的, ,因此无穷大没有无穷小因此无穷大没有无穷小那样类似的性质那样类似的性质. .具体问题要具体分析具体问题要具体分析. .3. .无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量, ,但是无界变但是无界变量未必是无穷大量未必是无穷大. .第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理4 4 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, ,无穷大的倒数无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .三、无穷小与无穷大关系三、无穷小与无穷大关系意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可归结为关于无穷小的都可归结为关于无穷小的 讨论讨论. .第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 解解: :不一定不一定. .思考题思考题无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量, ,无界无界变量一定是无穷大量吗变量一定是无穷大量吗? ?无界无界.不是无穷大．不是无穷大．。