动点最值问题解法探析.docx

动点最值问题解法探析解析：（1）对称轴为x = -1, 3由对称性可知:珂E）.根据虫、衣、U三点坐标，利用待定一、问题原型：（人教版八年级上册第42页探究）如图1—1,要在燃气管道/上修建一个泵站,分别向生、占两镇供气，泵 站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题~二 _^基木解^法:对称共线法利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上 算线路最短长度三、一般结论：（线路长度不变），确定动点位置，计系数法，可求得抛物线为：y =-3 3（2）虫与迟关于对称轴五二-1对称，连结AC^C与对称轴交点即为所求尸点2设直线川□解析式为：沪二匕+色把代入得， 当左二—1时，2 4 4，则 F（-3 3 32两个定点+两个动点两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变用平移方法，可 把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解例3如图4,河岸两侧有卫、占两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能 两村村民来往路程最短？线段和最小，常见有三种类型：（一）“I定动丨+丨定动I”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的 对称点及另一定点的线段上时，由''两点之间线段最短〃可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

1两个定点+—个动点如图1-3,作一定点虫关于动点C所在直线F的对称点/「，线段山田（占是另一定点）与F的交点即为距 离和最小时动点U位置，最小距离和 例1 （2006年河南省中考题）如图2,正方形ABCD的边长为2，也是月C的中点，尸是对角线AC 上一 动点，则 的最小值是 解析:设桥端两动点为M、M，那么鮎点随皿点而动， 等于河宽，且 垂直于河岸将占向上平移河宽长到歆,线段与河北岸线的交点即为桥端M点位置四边形 为平行四边形， ，此时 值最小那么来往苗、占两村最短路程为： 例4 （2010年天津市中考）在平面角坐标系中，矩形OABC的顶点0在坐标原点,顶点苗、占分别在龙轴、卩轴的正半轴上， ， ，卫为边月的中点.（1）若也为边阳 上的一个动点，当 的周长最小时，求点也的坐标；（2）若耀，月为边少上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点耀，月的坐标解析：£与关于直线』U对称，连结DP，则PD = PBo解析：作点卫关于龙轴的对称点D,则 ，口（0厂2）2（1）连接UD交兀轴于点遐，连接DE，此时^CDE的周长最小由4D0ES加工?U可知QE _ D(O连结门应，在中，DC = 2, ，则DE = 4DC2 EC2 =肿 +F =怎:.PB + PE = PD^PE>DE = .B 故PB+PE 的最小值为巧例2 （2009年济南市中考题）如图3,已知：抛物线尹=交于卫、衣两点，与轴卩交于点口，其中 ，的对称轴为a =-!,与卞轴那么的二配；;g二甞二］,贝y丑仏°）。

2）将U向左平移2个单位（EF=2.）到巴点，定点D、C分别到动点E、F的距离和等于为定点卫、 C到动点耀的距离和，即 •从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成''两个定点和一个动点〃类型.在 上截取CCf = EF=2 ,连接卩U交疋轴于耀，四边形EFCT，为平行四边形，□迢二.此时（1） 求这条抛物线的函数表达式；（2） 已知在对称轴上存在一点尸，使得bFBC的周长最小，请求出点P的坐标DE-^-CF= D,E+C,E = DtC（值最小，则四边形CEEF的周长最小.由Z>r（0-2）、Cg 可求直线解（二）“I动定丨+1动动I”型:两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于 另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小， 最小值等于这条垂线段的长.例5 （2009年陕西省中考）如图6,在锐角中，甘甘=2庞，= 4亍，NE4C的平分线 交0U于点卫，M、酗分别是丿口和上的动点，则 W+W 的最小值为丄陀⑨，根据&—1,0）和可求直线的解析式p二K+1,则有丑（0R。

由OA = OE可知， ^OEA = A5Q=£FBG o作册丄措由于皿，过耀点作龙轴的平行线y = \ ,交MY于尸，那么 NP=NH-PH =y^-ys = 6-1 = 5 作 农丄哥 于疋，贝V FG= FK ， F^+FC?=Fy+F；r>ffir>3ZP = 5,当月是/U于砺的交点时，宓与HP重合，FN+FG有最小值 5函数尹=忙+1，此时a = 2，则戸=2+1 = 2，即F（2,3）1定动丨+I动动I+I动定丨”型:两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小.例7 （2009年漳州中考）如图8, "OE二斗沪，尸是"0月内一点，产0 = 10, Q、应分别是Q4 和OE上的动点,求心尸衣周长的最小值图dAB 上动点M关于虫卫的对称点在/U上，泗二洌 ,解析：角平分线所在直线是角的对称轴， ，当EM 丄 HU时加最小作月M丄/U于Nf，交川卫于•： AE = 2血,^BAC = 4罗••伽=罕=甲"J2 72作阿'丄貝£）交卫占于M，ME + MNAEN1"例6 如图7，四边形ABCD是等腰梯形，卫、召在轴龙上，卫在卩轴上，⑻ CD ， AD = EC =品，AE = 5，亡D = 3，抛物线尹二一F+如t+f过虫、衣两点。

解析：分别作尸关于少、的对称点D、D，连接D£）,则PR + PQ+RQ工CD，当Q、R段CD 上时，况FQR周长最小，•・• MOD 二 2ZAOB = 90°，OC=OD = OP = ^・CD =旋匚=10血则止尸0应周长的最小值为10徒例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路『与沪渝高速公路乂垂直，如图9建立直角坐标系.著名的恩施大峡谷（卫）和世界级自然保护区星斗山（£）位于两高速公路同侧，丄£ =知疋唧，卫到直线疋的距 离为1就航，衣到直线£和『的距离分别为40上肌和咒比然请你在北旁和『旁各修建一服务区尸、◎，使尸、 虫、（1） 求占、Q ；（2） 设M是尤轴上方抛物线上的一动点，它到尤轴与卩轴的距离之和为出，求出的最大值；（3） 当（2）中M点运动到使出取最大值时,此时记点财为R，设线段丿口与卩轴交于点也，月为线段EC 上一动点，求F到川■点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时£点的坐标解析：（1）也ABRCD，= ="用，朋= L，CD二3可得：卫（-10、他0）、锲阳）、卩却；根据卫、衣的坐标可求出抛物线解析式为= -x3 +3x + 4且F+PQ + ^Q二盘P+FQ+Q捋。

当尸、 过出、却分别作疋轴、F轴的平行线交于U交F轴于Q •^Br = 71002 +502 = 50^5，而丄B =刘・•・四边形APQB的周长最小值为：AS +百®二刃+连接A'B'， ◎段妙刃上时，山F+月Q + PQ二曲押最小. 在住暑仞中，占C=100,剖C=50，交墨轴于F，（2 ）设，且（Tcxc4）,则皿二丁+|兀|二（一严+%+书+| ,用零点分段法可求得，"D：IT60）当石时，吐& -（x-2）3 +8（0

3 旋转变换是把一个图形绕某个点旋转一个角度,其作用是不改变原有图形的性质 ,但改变其位置，使 之组合成新的有利论证的图形． 有些最值问题必须通过旋转变换才能转化成基本问题， 旋转变换是解决 最值难题的必不可少的手段之一. _ _例3 如图5 （1），已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为空2 +麝,求XDMeB0 I此正方形的边长.分析：本题已知三条线段的和最小这三条线段又“碰”在一起，怎么利用这个条件成了本题的难点.注意 到题中有正方形边长相等这样的有利条件，考虑通过旋转变换把三条线段“展开来”，然后再“接起来”成“ 折线”，让折线的两端放在两个定点,这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同.分析：如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点P是直线AC上的动点，所以直线AC就是对称轴， 从而运用对称变换把线段PD转化为线段PB进行求解. _解：由已知易得 A （1，2 ）、D （1+J3，3）、B （1+J3，1 ）从而可知点B和点D关于直线AC对称，・•・PD=PB如图2,作BQ丄AD,垂足为Q,根据“垂线段最短”可知线段BQ的长度就是所要求距离之和的最小值.BQ 与AC的交点即为使得两个距离之和最小的P点.由△ ABD的面积关系得：1・AD・BQ=-・BD・AM2 2・・・BQ= J3，故点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为\厅.解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的两条线段放在了对称轴的两侧，把复 杂的最值问题转化为基本问题．根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“两折线"转“直” ，找出最小 位置，并求出最小值．变换的奥秘是：动点在哪条直线上，就以这条直线为对称轴，构建某一定点的对称点．对 称变换是转化的手段，也是解决问题的关键．1。

2 平移变换的特征是对应线段平行且相。