2.4.1空间向量与平行关系课件(北师大选修21).ppt

第第二二章章§4理解教材新知理解教材新知把握把握热热点考向点考向应应用用创创新演新演练练考点一考点一考点二考点二考点三考点三第第一一课课时时 已知直线已知直线l1，，l2的方向向量分别为的方向向量分别为u1，，u2；平面；平面π1，，π2的法向量分别为的法向量分别为n1，，n2. 问题问题1：：若直线若直线l1∥∥l2，直线，直线l1垂直于平面垂直于平面π1，则它们的，则它们的方向向量和法向量有什么关系？方向向量和法向量有什么关系？ 提示：提示：u1∥∥u2∥∥n1. 问题问题2：：若若l1⊥⊥l2，，l1∥∥π2呢？呢？ 提示：提示：u1⊥⊥u2，，u1⊥⊥n2. 问题问题3：：若若π1∥∥π2，则，则n1，，n2有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：n1∥∥n2. 1．空间中平行、垂直关系的向量表示．空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线设直线l、、m的方向向量分别为的方向向量分别为a、、b，平面，平面π1、、π2的法向量的法向量分别为分别为n1、、n2，则，则线线线线线线线线平行平行平行平行l l∥∥∥∥mm⇔⇔⇔⇔线线线线面平行面平行面平行面平行l l∥∥∥∥π π1 1⇔⇔⇔⇔ ⇔⇔⇔⇔ 面面平行面面平行面面平行面面平行π π1 1∥∥∥∥π π2 2⇔⇔⇔⇔ ⇔⇔⇔⇔线线线线线线线线垂直垂直垂直垂直l l⊥⊥⊥⊥mm⇔⇔⇔⇔线线线线面垂直面垂直面垂直面垂直l l⊥⊥⊥⊥π π1 1⇔⇔⇔⇔ ⇔⇔⇔⇔面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直π π1 1⊥⊥⊥⊥π π2 2⇔⇔⇔⇔n n1 1⊥⊥⊥⊥n n2 2 ⇔⇔⇔⇔a＝＝kb，，(k∈∈R)a⊥⊥n1a·n1＝＝0n1∥∥n2n1＝＝kn2(k∈∈R)a·b＝＝0a∥∥n1a＝＝kn1，，(k∈∈R)n1·n2＝＝0 2．三垂线定理．三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的面上的 ，则这两条直线垂直．，则这两条直线垂直． 3．面面垂直的判定定理．面面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的若一个平面经过另一个平面的 ，则这两个，则这两个平面垂直．平面垂直．投影投影一条垂线一条垂线 一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．第一课时　空间向量与平行关系第一课时　空间向量与平行关系 [例例1]　　(1)设设a，，b分别是两条不同直线分别是两条不同直线l1，，l2的方向向量，的方向向量，根据下列条件判断根据下列条件判断l1与与l2的位置关系：的位置关系： ①①a＝＝(2,3，－，－1)，，b＝＝(－－6，－，－9,3)；； ②②a＝＝(5,0,2)，，b＝＝(0,4,0)；； ③③a＝＝(－－2,1,4)，，b＝＝(6,3,3)．． (2)设设n1，，n2分别是两个不同平面分别是两个不同平面π1，，π2的法向量，根据下的法向量，根据下列条件判断列条件判断π1，，π2的位置关系：的位置关系： (3)设设n是平面是平面π的法向量，的法向量，a是直线是直线l的方向向量，根据的方向向量，根据下列条件判断下列条件判断π和和l的位置关系：的位置关系： ①①n＝＝(2,2，－，－1)，，a＝＝(－－3,4,2)；； ②②n＝＝(0,2，－，－3)，，a＝＝(0，－，－8,12)；； ③③n＝＝(4,1,5)，，a＝＝(2，－，－1,0)．． [思路点拨思路点拨]　　本题可由直线的方向向量、平面的法向本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系． [一点通一点通]　　用向量法来判定线面位置关系时，只需用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．系不同，只是平行与垂直的互换．1．设直线．设直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面π的法向量为的法向量为b，若，若a·b＝＝0，，则则 (　　　　)A．．l∥∥π　　　　　　　　　　　　B．．lπC．．l⊥⊥π D．．l π或或l∥∥π解析：解析：当当a·b＝＝0时，时，lπ或或l∥∥π.答案：答案：D2．已知直线．已知直线l1，，l2的方向向量分别为的方向向量分别为a，，b，平面，平面π1、、π2的的法向量分别为法向量分别为n1，，n2，若，若a＝＝n1＝＝(1，－，－2，－，－2)，，b＝＝n2＝＝(－－2，－，－3,2)，试判断，试判断l1与与l2，，π1与与π2，，l1与与π2间的位置间的位置关系．关系．解：解：∵∵a·b＝＝n1·n2＝＝a·n2＝＝1×(－－2)＋＋(－－2)×(－－3)＋＋(－－2)×2＝＝0，，∴∴a⊥⊥b，，n1⊥⊥n2，，a⊥⊥n2，，∴∴l1⊥⊥l2，，π1⊥⊥π2，，l1∥∥π2或或l1π2. [例例2]　　如图，在三棱锥如图，在三棱锥P－－ABC中，中，AB⊥⊥BC，，AB＝＝BC，点，点O、、D分别是分别是AC、、PC的中点，且的中点，且OA＝＝OP，，OP⊥⊥平面平面ABC.求证：求证：OD∥∥平面平面PAB. [一点通一点通]　　用向量法证明线面平行时，可证明直线用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外．线在平面外．4．在长方体．在长方体ABCD－－A1B1C1D1中，中，AB＝＝3，，AD＝＝4，，AA1＝＝2.点点M在棱在棱BB1上，且上，且BM＝＝2MB1，点，点S在在DD1上，且上，且SD1＝＝2SD，点，点N，，R分别为分别为A1D1，，BC的中点的中点.求证：求证：MN∥∥平面平面RSD.5．在正方体．在正方体ABCD－－A1B1C1D1中，中，O1为为B1D1的中点，求的中点，求 证：证：BO1∥∥平面平面ACD1. [例例3]　　(12分分)正方体正方体ABCD－－A1B1C1D1的棱长为的棱长为4，，M、、N、、E、、F分别是棱分别是棱A1D1、、A1B1、、D1C1、、B1C1的中点，的中点，求证：平面求证：平面AMN∥∥平面平面EFBD. [思路点拨思路点拨]　　本题可通过建立空间直角坐标系，利用本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行． [一点通一点通]　　 用向量法证明两面互相平行，可由两平用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．后证明这两个法向量平行．6.如图所示，在直三棱柱如图所示，在直三棱柱ABC－－A1B1C1中，中， ∠∠ABC＝＝90°，，BC＝＝2，，CC1＝＝4，点，点E 段段BB1上，且上，且EB1＝＝1，，D、、F、、G分分 别为别为CC1、、C1B1、、C1A1的中点．的中点． 求证：平面求证：平面EGF∥∥平面平面ABD.证明：证明：如图所示，由条件知如图所示，由条件知BA、、BC、、BB1两两互相垂直，以两两互相垂直，以B为坐标原点，为坐标原点，BA、、BC、、BB1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系．轴建立空间直角坐标系．7．已知正方体．已知正方体ABCD－－A1B1C1D1的棱长为的棱长为2，，E、、F分别是分别是BB1、、DD1的中点，求证：的中点，求证：(1)FC1∥∥平面平面ADE；；(2)平面平面ADE∥∥平面平面B1C1F. 1．平面的法向量确定通常有两种方法：．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体利用几何体中已知的线面垂直关系；中已知的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根用待定系数法，设出法向量，根据它和据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．最简单的作为平面的法向量． 2．用空间向量处理平行问题的常用方法：．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行．线线平行转化为直线的方向向量平行． (2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直． (3)面面平行转化为平面法向量的平行．面面平行转化为平面法向量的平行．点点击击下下图进图进入入“应应用用创创新演新演练练”。