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实数和代数式 　一、重点、难点提示： 　１.相反数ﻫﻫ　 实数a的相反数是-a，零的相反数是零 ﻫ　　（１)ａ,b互为相反数a+b=0 ﻫ　 (2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称　　　2.绝对值　　 |ａ|= ３. 算术根 ﻫ (1)正数a的正的n次方根叫a的n次算术根，零的算术根仍是0 　(2)实数的三个非负性:|a｜≥0,　a2≥0,　≥0(a≥0) 　4.科学记数法 把一大于10的数记成a×１０ｎ的形式,其中1≤a<1０这种记数法叫做科学记数法一个数的科学记数法中,１0的指数比原数的整数位数少１ 　5.幂的运算法则:（m,n为正整数) aｍ·an=aｍ+n， (aｍ)n=ａmｎ, （ab）n＝aｎbn；ﻫﻫ　　am÷an=ａm-n(a≠0, m>n) 　　6.乘法公式： 　 (a+b)(a－b)=ａ2-b2； (a±b)２＝a2±２ab＋b2； 7.零指数和负整数指数：　 　规定a0=1(a≠0) ,ａ-p=（a≠0且p为正整数） 　　８．二次根式的主要性质 　 (１)()２=a (a≥0). 　 （2)=|a|= 　注意:根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成这种转化，不易出错。

　　（３）=·(a≥0,　b≥0)　　 (４)(b≥0,a>０)　　　二、重点例题分析　 例1．解答下列各题 　（1）已知|ａ|＝8， |ｂ|=2， |a-ｂ|=ｂ-ａ， 求a+b的值 （2）已知a>0， b＜０， |b｜>|a｜,　试用“<”将a、ｂ、-a、-b连结起来 　　解:(1）∵｜ａ|＝８， ∴a＝±8; 　∵ |ｂ|=2, ∴b＝±2；　　 又∵|ａ－b|=b－ａ,　∴b－a≥0, ∴b≥a 　因此b取+２,　a取-8， 或ｂ取-２, a取-8　 　当b=2， a=-8时,　ａ+b=(－8)+2=-6　 当ｂ=－2,　a＝-８时， ａ+b=(-8)+(-２)=-１0 　　(2)ｂ<-a＜a<-ｂ 　　说明（1)这里应注意绝对值定义的正确应用,若|a|=３,则a=±3,不要漏了-3;还应注意运用｜a-b|=b-ａ这个条件进行分析，不要漏解和多出解来　 　（2）解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具　　 　　　 画数轴，先由已知条件确定a、b所对应的点Ａ、B,ａ>0,A在原点右边，b<0,B在原点左边,|b|>|ａ|表示B到原点的距离大于A到原点的距离,再依相反数的概念找出-a,－b所对应的点，如图所示, 　 显然有:b<-ａ<ａ<－b。

　　 此题还可用特殊值法求解设a=２,b＝-3,所设数字一定要符合ａ＞0, b<0, ｜b|>|ａ|的条件，那么a=２, -a=－2, b=-3,　-b=3 ∴从小到大的顺序为-3，-２,2,3即b<-a＜a<-b 　　例２、计算下列各题 ﻫ 　（1）（-）－２＋; 　（2）[·(3－2)］-1+(-)8÷×3 　　解：(1)原式＝９+ 　(2）原式=［×（3-2）]-1+×3×３ ﻫ 　 　 ＝[］－1＋　 　 　=(-１)-1＋ 　 　 　 ＝-1+　　　 =- 　 说明:在综合运算中搞清各种运算的意义,如乘方运算的底，负指数，零指数的意义及特殊角的三角函数值等计算前要仔细审题,一是注意运算的顺序,不要跳步;二是灵活地运用法则，能选择简便运算的要尽可能地采用简便运算；三要特别注意运算符号是否出错 例３、计算机存储容量的基本单位是字节,用b表示,计算机中一般用Kb(千字节)或Mb（兆字节）或Gb(吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1kｂ＝2１０b, 1Mb=210Kb, 1Gb=210Ｍb 一种新款电脑的硬盘存储容量为20Gb,它相当于多少Kb? （结果用科学记数法表示,并保留三个有效数字) 　 析解：本题目一方面考查近似数和科学记数法，另一方面考查学生收集和处理信息的能力。

　　 解答时，考生直接根据题中所提供的几个单位的换算关系，不难求出20Gb=20×2１0Mｂ=20×２10×21０Kｂﻫ＝２0×10２4×1024Kｂ≈2.1０×１07Kb 　 例4、给出下列算式: ﻫ　 3２-１2＝8=8×1， 　52-32=16＝8×2, ﻫ 　７２－52=24=8×3, ﻫ　 ９2－72=3２＝8×4， ﻫ 　……观察上面一系列等式,你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律 　 分析：观察等式，不难发现其规律:两个相邻的奇数的平方差是8的倍数由此，设n为自然数,则相邻的两个奇数为2n－1和2ｎ+1，用代数式表示为（２ｎ+１)2-(2n-1)2=2×4ｎ＝8n 　说明:本题以列代数式为载体,体现了用字母表示数的简明性和普遍性,蕴含着一种数学简洁的美同时可考查学生的观察能力和抽象概括能力,渗透从特殊到一般的辩证关系 例5、把下列多项式分解因式　　　(1）2xn＋１－6xn+4xｎ－1 (n为自然数)；　　 （2)（ab+1)2-(a＋b)２; 　 (3)x3+x２-ｘ－1　　 解：（1)原式=2xｎ-1（x2-3ｘ+2）=2ｘn-１(x-1)(x-２）　 (2)原式=(ab+1＋ａ+b)(ab+１－ａ-b） 　　　 　 =［(ab+a)+(b+1)][（ａb-a)+(1-b)] ﻫ　 　　　　 ＝(a+1)（ｂ+１)(a－１)(b-1) (3)原式＝(x3+ｘ２）-(x+1)=ｘ２（x+１)-(x+1)　=(x+1)(ｘ2－１）=(x+1)2（x-1） 　说明：分解因式的一般思路是:“一提、二套、三分组”。

一提是指首先考虑能否提取公因式，其次考虑能否套用公式,最后考虑分组分解，分组分解的关键是在于分组后是否有公因式可提或是否能套用公式来进一步分解 　 例6、（1)判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×” 　 ①＝2（　）　 　②=３( ）　 　③=４（　) 　④=5（ ） 　 （2)你判断完以上各题之后发现了什么规律？请用含有ｎ的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围________　 　（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性 分析：本题是一道归纳猜想型试题；能较好地考查学生的归纳—猜想—验证的思维过程 　　答:(1）①②③④正确； (2）=n；ｎ为大于1的自然数 　（３）===n 　 例7、阅读下面一道题的解答过程,判断是否正确,如若不正确，请写出正确的解答过程ﻫ　　化简：-a２·+ 解:原式=a-ａ2·+a 　 =a-ａ+a 　　　=０+aﻫ　　　　 　=ａ 答:上述解答过程有错误,正确解答如下: 　　原式=+｜a|＝|a|·－a2··＋|a｜ 　∵－a>0,　∴a＜0　 　原式=-a·+a-ａ=-a 　说明:这道题隐含着条件ａ<0是解此题的关键,而a<0时,｜a｜=－a。

这一点是该题错误的根本原因；另外，在化简时，注意计算逻辑要严谨　 例8、化简求值：　　已知x=, y＝, 求3x２-5ｘy+3y2的值　　　∵x==5-2,　y==５＋２, ∴ x＋ｙ=10, ｘy＝1 ∴ 3x2-5xｙ+3y2=3(x+ｙ)2－１1xy=3×102-11=289 说明:二次根式的化简、求值是一个难点求代数式的值，采用变形后整体代入再进行计算,可使问题解答简捷   方程和不等式 　　一、重点、难点提示：　 1.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+ｃ=0(a、b、c是常数,a≠０)在解一元二次方程,应按方程特点选择方法,各方法依次为:（1）直接开平方法；(2）配方法；(3)公式法;(4)因式分解法一元二次方程的求根公式是：x=(ｂ2-4ac≥0)注意符号问题） 　２．解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程,转化的方法有两种:(1)去分母法；（２)换元法 　　３．一元二次方程aｘ2＋bx＋ｃ＝0(ａ≠0）的根的判别式Δ=b２－4acﻫ　　当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x１=,x2＝;ﻫ 　当Δ＝０时,方程有两个相等的实数根x1＝x2＝-;当Δ<0时，方程没有实数根。

　4.若一元二次方程aｘ２+bｘ＋c＝0(ａ≠0）的两个实数根为x1,x2,则x1+x２＝－,　x１x2=注意两根的和是的相反数）以ｘ1,x2为根的一元二次方程是x２-(x1+x２)x＋ｘ１x2=0 　 5．　不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变 6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表： 不等式组 (a2x，得x>－2 解不等式≥ｘ-, 　　 得　x≤－1 　　所以不等式组的解集是 －2＜x≤－1 　　它在数轴上表示如右图所示 　　例2.解不等式组,并写出不等式组的整数解 　 说明:求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集,再按要求取特殊解。

　 解:解不等式3(x+１)＞4x+２, 得x<１ 　 解不等式 ≥， 得x≥－２ 　　所以不等式组的解集是:-2≤ｘ<1 　所以不等式组的整数解是:-2,-１，0 　 例3．已知方程(m-2)+（m+２)x+４=０是关于ｘ的一元二次方程求m的值，并求此方程的两根　 　分析:根据一元二次方程的定义,未知数x的最高次数是2,而且二次项的系数不能为0,所以m２－2=2,且ﻫm－2≠0于是可求ｍ的值,进而求得方程的解　　 解:（1)依题意,得ｍ2-２=2,且m-2≠０ 　　∴ m＝±2,　且m≠２ ∴m=-２　 　（2)把ｍ=-2代入原方程，整理得(ｘ-5）２=1 　∴　x－５＝±1,　∴x１＝4， x2=6 例4.已知ｘ是实数，且-（ｘ2+３x）＝2,那么x2＋3ｘ的值为(　) ﻫ Ａ、1　　 Ｂ、-3或1 C、3 　Ｄ、-１或3 　 误解：设x2+３ｘ=y, 则原方程可变为-y=2, 即y2+2y－3=0 　∴y1=－3, y2=1　 　∴　ｘ2＋3x=-3或１ 剖析：因为ｘ为实数，所以要求x2+3x=－３和ｘ２+3x=1有实数解ﻫ当x２+3ｘ=-３时,即是x２+3ｘ+3＝0，此时Δ＝３2-4×1×3＜０，方程无实数解,即 x不是实数,与题设不符,应舍去；当x２+3x=1时,即是x2+3x-1=０,此时Δ=32-４×１×(-１)>0，方程有实数解，即x是实数，符合题设,故x2＋3x=1。

　正确答案:选A 　 说明:此题由解分式方程衍变而来,大大增加了错误机会,解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃 　 例５.解下列方。