大学物理实验—数据处理的方法与技巧课件.ppt

误 差 理 论 与 数 据 处 理第第2页页数字舍入规则舍入规则：舍去部分的数值大于保留部分末位半个单位，则末位加1；舍去部分的数值小于保留部分末位半个单位，则末位不变；舍去部分的数值等于保留部分末位半个单位，则末舍去部分的数值等于保留部分末位半个单位，则末位凑成偶数位凑成偶数数据修约有国家标准（GB18071987）1）有效数字）有效数字第第3页页简单记为简单记为“四舍六入，奇进偶舍四舍六入，奇进偶舍”或或 “逢五凑偶逢五凑偶”原有数据保留4位有效数字3.141593.1422.717292.7174.510504.5103.215503.216 6.3785016.379 7.6914997.6915.434605.4351）有效数字）有效数字第第4页页在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后应多保留一位数字作为参考数字（或安全数字）1）加减）加减以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数字，最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同小数字，最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。

2）乘除）乘除/平方或开方平方或开方各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字要比有效位数最少的数据位数多取一位数字最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同1）有效数字）有效数字误差的定义及表示法绝对误差：测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差绝对误差测得值真值 修正值：实际工作中常用修正值为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值修正值真值(约定真值）测得值 测量结果(真值)测得值修正值2）误差的基本概念）误差的基本概念第第5页页相对误差相对误差 测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差GUM中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值的最佳估计值）1）无单位（无名数），通常以或10-d表示（2）通常可比较不同测量的质量如何2）误差的基本概念）误差的基本概念第第6页页引用误差引用误差(fiducial error)(fiducial error)式中引用值 xm 通常指全量程或量程上限，示值误差 xm是该量程范围内任一刻度点的 示值的绝对误差中的最大值。

分析讨论：引用误差和相对误差的区别？2）误差的基本概念）误差的基本概念第第7页页第第8页页实例实例：现用1.0级、量程为150伏电压表来进行测量，问：1）该电压表的引用误差是多少？2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是多少？3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是多少？4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是多少？5）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是多少？6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是多少？7）用0.5级、量程为300伏电压表一起测量100伏电压时，哪个更准？解：解：1 1）该电压表的引用误差是：）该电压表的引用误差是：1 1 2 2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是：）用该电压表测量电压时的最大测量误差是：解：解：3）用该电压表测量）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是：伏的电压时的最大测量误差是：1.5V4）用该电压表测量）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是：伏的电压时的最大测量误差是：1.5V解：解：5）用该电压表测量）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是：伏的电压时的相对误差是：6）用该电压表测量）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是：伏的电压时的相对误差是：当用当用1.01.0级、量程为级、量程为100100伏的电表测量时，有伏的电表测量时，有 解：解：7 7）当用）当用0.50.5级、量程为级、量程为300300伏的电压表测量时，有伏的电压表测量时，有 结论：结论：(1)1)一样准确。

一样准确2)(2)仪表等级越高成本越高仪表等级越高成本越高2）误差的基本概念）误差的基本概念 按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三类：1系统误差 在同一条件下多次测量同一量值时，其绝对值和符号保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差，称为系统误差系统误差按其出现的规律又可分为:（1）定值系统误差：即误差的大小和方向为固定值2）变值系统误差：即误差的大小和方向为规律的变化值为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值3）误差的分类）误差的分类第第9页页第第10页页 2.2.随机误差随机误差在同一条件下，多次测量同一量值时，其绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差，过去也叫偶然误差3.3.粗大误差粗大误差（异常值）（异常值）明显歪曲测量结果的误差称为粗大误差，过去也叫过失误差或疏忽误差测量结果中有无粗大误差必须判断并剔除测量结果中有无粗大误差必须判断并剔除3）误差的分类）误差的分类1 1）变值系统误差的发现方法之一：残差观察法）变值系统误差的发现方法之一：残差观察法4）系统误差发现方法）系统误差发现方法1 1）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？2 2）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？第第11页页第第12页页2 2算术平均值的差值与标准差比较法算术平均值的差值与标准差比较法 对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。

设测量次数分别为n1和n2次，得两组算术平均值：其实验标准差分别为：4）系统误差发现方法）系统误差发现方法第第13页页算术平均值之差的标准差为：由于两组测值是服从正态分布的随机变量，故其算术平均值的差值也服从正态分布，因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有定值系统误差，即：两组算术平均值之差为：4）误差的分类）误差的分类系统误差发现方法系统误差发现方法第第14页页例例1 1 惰性气体（氩）的发现雷莱（Rayleigh，多译为瑞利）测定氮气的密度化学方法制得的氮，其平均密度和标准差分别为2.29971和0.00041；从大气中分离的氮，其平均密度和标准差分别为2.31022和0.00019 取置信概率p=99.73%来判断，则故可判断其中一定有系统误差，经检查由于操作技术等明显因素产生系统误差的可能性很小，进一步仔细分析，结果发现了惰性气体（氩）的存在4）系统误差发现方法）系统误差发现方法单次测量的标准偏差：算术平均值的标准偏差：5）随机误差的计算）随机误差的计算第第15页页不等精度测量：不等精度测量：权的概念 应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重小一些。

各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为该测量结果的“权”，记为p测量精度愈高，可靠性愈高，应给予的“权”应愈大5）随机误差的计算）随机误差的计算第第16页页第第17页页加权算术平均值加权算术平均值 对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 设相应的测量次数为（215）根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值为5）随机误差的计算）随机误差的计算 我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：1、在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准则2、在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则三种粗大误差判断准则：（1）3准则（莱以达准则）当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值|v|3 时，则剔除此数据6）异常值处理）异常值处理第第18页页（2 2）格拉布斯（）格拉布斯（Grubbs)Grubbs)准则设独立重复测量的一个正态分布的测量列x1，x2，xn，其测量标准偏差为 s(x)对其中的一个可疑数据xd,(其残余偏差vd的绝对值最大），若：则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予保留上式中系数G（，n）为格拉布斯准则的临界值，由测量次数n，和选定的显著性水平（相当于犯“弃真”错误的概率）查表选取。

显著性水平通常选为0.01或0.056）异常值处理）异常值处理第第19页页（3 3）狄克逊（）狄克逊（Dixon)Dixon)准则准则正态测量总体的一个样本x1,x2,，xn，按从小到大顺序排列为 ，分以下几种情况：6）异常值处理）异常值处理第第20页页（3 3）狄克逊（）狄克逊（Dixon)Dixon)准则准则6）异常值处理）异常值处理第第21页页第第22页页异常值判断操作原则异常值判断操作原则逐个剔除原则逐个剔除原则：在应用上述准判断粗大误差时，若同时有两个以上的测得值的残差i超出判断界限，也只能剔除其中|i|最大的那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的一个）；之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均值、残差及实验标准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止那些在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据，在重新计算后，其|可能不超过判断界限，所以每次只能剔除一个超限的数据我国在我国在GB4883GB48838585中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：（1）在只剔除1个异常值时采用格拉布斯（Grubbs)准则。

2）在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则6）异常值处理）异常值处理7）间接测量间接测量直接测量直接测量无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量e.g.游标卡尺测零件直径D间接测量间接测量实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量值的测量e.g.通过测量圆柱体的圆周长度L，通过已知函数关系式D=L/，得到所求的零件直径D函数误差函数误差间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这种误差称为函数误差第第23页页8）函数误差计算）函数误差计算已定系统误差随机误差线性无关完全正相关第第24页页相关系数特征：当01时，两随机变量呈正相关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值平均地增大；当-10时，两随机变量呈负相关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值平均地减小；当=-1时，两随机变量完全负相关；当=1时，两随机变量完全正相关；此时两随机变量之间有着确定的线性函数关系；当=0时，两随机变量间线性无关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值可能增大也可能减小；此时仅表示两误差间线性无关，并不表示它们之间不存在其它函数关系第第25页页8）函数误差计算）函数误差计算实际工作中相关系数的确定：（1）观察法（2）直接计算法8 8）函数误差计算）函数误差计算第第26页页应用举例圆柱体体积V的测量用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测量结果。

直径d(mm)10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h(mm)10.10510.11510.11510.11010.11010.1058）函数误差的计算）函数误差的计算第第27页页应用举例-圆柱体体积V的计算（续）1、确定函数关系计算体积值8）函数误差的计算）函数误差的计算2、计算误差传递系数3、计算相关系数4、计算函数随机误差第第28页页9）误差的合成）误差的合成用已定系统误差修正测值随机误差和未定系统误差合成未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分布，具有一定的抵偿作用，可以采用随机误差的合成公式进行合成随机误差和未定系统误差采用发差合成方式，评估测量结果的分散性第第29页页不确定度定义：不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征合理合理赋予被测量的值的分散性分散性准确度定义（精度）定义：测量结果与被测量真值之间的一致程度测量结果与被测量真值之间的一。