2-复平面上的点集.ppt

一. 复平面上的曲线,§1.2 复变函数,二.平面点集的几个基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,三.复变函数的概念,一. 复平面上的曲线,1.复平面上的参数曲线,是实参变量实值函数，,它们确定实平面上的一参数曲线C； 称,是曲线C的复表示式，也称为复平面上的参数曲线C ，,及 分别称为 C的端点 若 在 上连续可微，且,则称曲线C为光滑曲线§1.2 复平面上的点集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,·若有限段光滑曲线C1, C2, …, C n依次相接所得的连续曲线C,·若 当 成立时，,则称 为曲线C的一个重合点或重点称为分段光滑曲线，记为C= C1+C2+ …+ Cn ·若曲线C是无重点的连续曲线，则称 C 为简单曲线, 也称为,Jordan(约当)曲线；,·称 的简单曲线为简单闭曲线或 Jordan 闭曲线。

机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,1.曲线的表示,(1) 参数方程,实形式,复形式,例1.2.1,当 时, 有 ，,所以曲线 C 有重点 机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,(2)直角坐标方程,实形式,复形式,解 令 ，则将,代入双曲线方程得,化简得双曲线的复方程,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,例1.2.3,求以z0为圆心,以R为半径的圆周的曲线方程1）直角坐标方程：,实方程：,复方程：,（2）参数方程,实方程：,复方程：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,Jordan定理,平面上的任意一条简单闭曲线将平面分成两个无公共点,且共边界的区域机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,平面上的任意一条两端无限延伸的简单曲线将平面分成,两个无公共点且共边界的区域。

二.平面点集的几个基本概念,1.邻域，空心邻域,对于,所确定的平面点集,称为以z0为中心的δ－邻域或邻域；,,所确定的平面点集,称为以,z0为中心的 δ－空心邻域 或,空心邻域机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,2.内点,外点,对任意 z0属于D,若存在N(z0 ,δ),使该邻域内的所有点,都属于D, 则称 z0是D的内点若存在N (z0 ,δ) ，使该邻域内的所有,点都不属于D,则称 z0是D的外点3.边界点,边界,已知点z属于C，若点z的任何邻,域中都包含 D中的点及不属于D,的点,则称 z 是D的边界点D的全体边界点集称为D的边界记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,5.连通集,设D是复平面上的点集,P1、P2 是D中任意两点，若,,,可以用以P1、P2为端点且位于D内的折线连接起来，,则称集合D为连通集4.开集,若平面点集D内的每一点都是内点，则称D是开集6.区域,若D是连通的开集, 则称 D是区域区域D与它的边界 一起构成闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,7.单连通区域，多连通区域,设D是区域或闭区域, 若在D内任作一条简单闭曲线,,,,,它的内部区域总是含于D内部, 则称D是单连通区域；,否则称D是多连通区域。

机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,8.有界集,无界集,若存在 , 对任意 z ∈D,均有,则称D是有界集；否则是无界集机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,例1.2.4,指出不等式 所确定的区域,,并作图; 说明它是否有界?是单连通还是多连通？,解,先讨论边界曲线 几何轨迹方法：,之差为1.2的轨迹, 这是,以 和 为焦点, 实半,0.8的双曲线下半支轴长为0.6, 虚半轴长为,此曲线是动点 到两定点 的距离,代数方法:,令 ,,代入方程 ,,并整理得,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,再讨论区域,分为两个不相交且以此曲线为公共边界的区域 , 取不在,由Jordan定理可知，曲线 将复平面,曲线上的点 , 代入不等式得，,这是一个单连通无界区域。

所以 所在的区域为所求的,●,区域，即下半支双曲线的上方机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,三.复变函数的概念,1.复变函数,,设 是复平面上的非空集合，存在 对应规则 使得,与之对应，记为 ，则称,注 若对 ,对应唯一 值，则称 是单值函数；,若存在 对应多个 值，则称 是多值函数今后若无特别声明，所讨论的函数均为单值函数是复变数 的函数(简称为复变函数)，称 为复变,函数 的定义域，称,为 的值域，称 为自变量，称 为因变量珞珈学院,2.复变函数与实二元函数的联系,所以,例1.2.5,,珞珈学院,例1.2.6 设,代入,整理化简得,解,设,则,,珞珈学院,3.映射,在几何上， 复变函数w=f (z)可以看作：,( z 平面),( w平面)的映射,,珞珈学院,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,在复变函数中用两个复平面上点集之间,以下不再区分函数与映射（变换）直观.,和理解复变函数问题时,可借助于几何,(u，v) 之间的对应关系，以便在研究,的对应关系来表达两对变量(x，y)与,珞珈学院,,,例1.2.7,解,— 关于实轴对称的一个映射,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,图1-1,,,,,,,,,图1-2,,见图1-1~1-2,珞珈学院,,,,,,,,,,图2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.2.8,解,— 旋转变换(映射),见图2,,珞珈学院,例1.2.9,,,,,,,珞珈学院,,,,,,,图3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,珞珈学院,例1.2.10 设 z = w2, 则称 为z = w2的反函数或逆映射。

∴ 为多值函数, 2支4.反函数与逆映射,设 w =f (z) 的定义集合为D, 函数的值域 f (D) =D*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称 为w = f (z) 的反函数(逆映射)珞珈学院,练习1 已知映射w = z3, 求区域 0 < arg z < 在平面w 上的象练习2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当函数（映射） 和其反函数（逆映射）,都是单值的，则称函数（映射）是一一的，也称集合D和D*,是一一对应的珞珈学院,,作业 P 27 1.3.1(a)(c)(g);1.3.2(a)(c); 1.4.3;1.4.4;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,珞珈学院,再 见 ！,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,珞珈学院,。