不等式选讲.doc

1不等式选讲柯西不等式柯西不等式 目的要求目的要求：理解二维形式、向量形式柯西不等式及其几何背景，会用二维柯西不等式进行 简单的证明与求最值 重点难点重点难点：重点：用二维柯西不等式进行简单的证明与求最值；难点：向量形式柯西不等 式及其几何背景 教学过程教学过程： 一、引入一、引入： 除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均 不等式等著名不等式这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的 重要工具 1、什么是柯西不等式：定理定理 1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则dcba,,,，其中等号当且仅当时成立22222)())((bdacdcbabcad 证明：，2222222()()()()()abcdacbdadbcacbd其中等号当且仅当时成立bcad （1）推广形式：设均为实数，则：；dcba,,,2222abcdacbd；其中等号当且仅当时成立2222abcdacbdbcad （2）几何意义：设，为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（） ，B（） ，那么它们的数量积为，ba,dc,bdac 而，，22||ba 22||dc 所以柯西不等式的几何意义就是：，||||||其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理定理 2：（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成||||||立3、定理定理 3：（三角形不等式）：（三角形不等式）设为任意实数，则：332211,,,,,yxyxyx2 312 312 322 322 212 21)()()()()()(yyxxyyxxyyxx22222222222222 11221111222222222222 1112122211121222222222 112211221212:()x2x2x2()x22(x)()xyxyyxyxyxyyx xy yxyyx xy yxyx xxyy yyxyy证明思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？：三维形式的三角不等式222222222 111222121212()()()xyzxyzxxyyzz二、典型例题二、典型例题：例例 1、已知，，求证：122ba122 yx1||byax例例 2、、已知均为正数，且，求证：。

cba,,1cba9111cba方法 1：=；1111 ()abc111()()3()()()aabbccabcabcbcacab3()()()32229abcbac babcca方法 2：（应用柯西不等式）∴原不等式成立2111()()(1 1 1)9abcabc 例例 3、、求函数的最大值51102yxx 解：函数定义域为，且.[1,5]0y 5125yxx  22252(1)( 5)6 3xx当且仅当，即：时，函数取最大值2155xx  127 27x 6 3变式引申变式引申：22231,49,.xyxy若求的最小值并求最小值点解：22222221(49)(11 )(23 )1,49.2xyxyxy 由柯西不等式221 2342131,23.1231 6 11 149,( , )24 6xxyxyxyxyyxy 当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为例例 4 若>>，求证：abccacbba411分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了3∴ )()(cbbacaQca Q0ca∴结论改为4)11)((cbbaca证明：21111()()[()()]()(1 1)4acabbcabbcabbc∴ cacbba411例例 5：：，求证：Rcba,,23bac acb cba分析：左端变形111bac acb cba，∴只需证此式即可。

)111)((baaccbcba2923(1)(1)(1)111()()111119[()()()]() (1 1 1)222 93322abcabc bccaCbbcaccbabcbccaabbccaabbccaab abc bcacab Q证明注：柯西不等式：、，则aRbabba2推论： 其中、2) 11 (4)11)((babaaRb其中、、2) 111 (9)111)((cbacbaabRc练习与与作业：练习与与作业：1、已知：，,证明：122ba222 nm22bnam提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明2、设，求证：Rdcba,,,222222)()(dbcadcba3、22,326,2______x yxyPxy设实数满足则的最大值是4、22111,()()______ababab若则的最小值是5、b, , ,,1,.yax y a bRxyx已知且求的最小值6、22231,49,.xyxy若求的最小值并求最小值点47、设为平面上的向量，则。

,,||||||8、若 ，且=，= ，求证： Rzyx,,zyxa222zyx2 21a)0(azyx,,都是不大于的非负实数a32证明：由 代入=yxaz222zyx2 21a可得 021)()(22222ayaxyax∵ ∴△≥0 即 Rx021)(8)(42222 ayayya化简可得 ： ∵ ∴0232 ayy0aay320同理可得： ， ax320az320由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用； 只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果9、设 a﹐b 为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)210、设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=10，求的最小值z9 y1 x411、设 x，y，zR，求的最大值 222zy2xzyx212、设,且 x+2y+3z=36,求的最小值．Rzyx,,zyx321。