专题37 两直线位置关系-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版）新课标试卷.docx

专题37 两直线位置关系【高考地位】两直线位置关系，是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.类型一 两条直线的平行与垂直问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷万能模板内 容使用场景关于两直线的平行于垂直的问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷解题模板第一步 直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解；第二步 得出结论.例1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）A． B． C． D．【来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷（一）【答案】A【分析】根据直线的垂直关系可求得直线的斜率为，所以，即可求得.【详解】由垂直知两直线的斜率之积为，而直线的斜率为，得直线的斜率为，即，得为钝角，所以.故选：A例2 若直线与平行，则的值为（ ）A．1 B．-3 C．0或 D．1或-3【答案】A【解析】试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷分析：由题设可得,解之得或.当 时两直线重合,故应舍去,故应选A.考点：两直线平行的条件及运用.【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.【变式演练1】【云南省保山市2019-2020学年高三教学质量监测】已知直线：和直线：平行，则实数的值为（ ）A．-2 B．-1C．1 D．2【答案】D【分析】由平行得即可求解.【详解】由两直线平行可得，解得.故选：D.【变式演练2】【四川省双流中学2021届高三月考】已知直线：，直线：，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：根据直线的垂直，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出．详解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=故选D．【变式演练3】已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若AB⊥BC，求实数m的值．【答案】(1) m＝1或1－或1＋.(2) m的值为2或－3.【解析】试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷分析：（1）由三点共线得斜率相等，列方程求解即可；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在时两种情况，存在时斜率乘积为-1即可.试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷解析：(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，则kBC＝kAB，即,解得m＝1或1－或1＋.(2)由已知，得kBC＝，且xA－xB＝m－2.①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝，由kAB·kBC＝－1，得＝－1，解得m＝－3.综上，可得实数m的值为2或－3.类型二 关于两条直线的交点问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷万能模板内 容使用场景两直线相交问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷解题模板第一步 联立两直线的方程并求解；第二步 其方程组的解即为两直线的交点的坐标；第三步 得出结论.例3.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）A． B． C．2 D．4【来源】湖北省武汉市部分学校2021-2022学年高三上学期9月起点质量检测数学试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷【答案】B【分析】分别求出菱形的四个顶点，然后根据菱形的对角线互相垂直得到方程即可求出求出结果.【详解】设直线与直线的交点为，则，解得，故，同理设直线与直线的交点为，则，设直线与直线的交点为，则，设直线与直线的交点为，则，由菱形的性质可知,且的斜率均存在，所以，则，即，解得故选：B.【变式演练4】设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷分析：直线过定点，，若直线直线与线段有交点，根据图象可知或，若直线与线段没有交点，则，即，解得：，选B．考点：直线间的位置关系．【变式演练5】【2020届上海市上海大学附属中学高三下学期三模】已知直线和直线以及、两点，当直线与线段相交，且与直线平行时，实数的值为________【答案】【分析】根据直线平行求得，再由直线与线段相交求出直线斜率的取值范围，从而可得结果．【详解】因为直线和直线平行，所以，又由直线可得直线过点， ，因为当直线与线段相交，所以，，综上可得，故答案为：【变式演练6】【天津市第四中学2020-2021学年高三上学期学情调查】直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.【答案】【分析】先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后求直线方程.【详解】设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.联立即解得即.所以直线l的方程为，即.故答案为：类型三 对称问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷万能模板内 容使用场景点与点、点与直线、直线与直线的对称问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷解题模板第一步 确定具体问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷是哪类对称问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷如点与点、点与直线、直线与直线的对称；第二步 运用各自相应的对称模型进行求解；第三步 得出结论.例4．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．【答案】直线的方程为x＋4y－4＝0.考点：点关于点的对称；两直线相交问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷．【点评】点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足例5．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标．【答案】.考点：点关于直线的对称；两直线相交问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷．【点评】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷来解决．例6．在平面直角坐标系中，点，直线.设点关于直线的对称点为，则的取值范围是_________．【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021届高三三模数学（文）试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷【答案】【分析】根据两点关于直线对称求得点的坐标，对分类讨论，利用平面向量数量积的坐标运算结合基本不等式可求得的取值范围.【详解】根据题意，设的坐标为.（1）当时，则直线的方程为，此时点，则；（2）当时，因为、两点关于直线对称，则线段的中点在直线上，所以，，①直线，则，②，联立①②解得，，即点，所以，，，.（i）当时，，当且仅当时，等号成立，又，此时；（ii）当时，，当且仅当时，等号成立，又，此时.综上所述，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及关于直线对称的点的坐标，关键是求出点的坐标，属于中等题．【变式演练7】设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x， 则被y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）A．x+2y+3=0 B．x-2y+1=0 C．3x-2y+1=0 D．x-2y-1=0【答案】D【解析】试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷分析：入射光线和反射光线关于直线y=x对称，所以设入射光线上的任意两个点（0，1），（1，3）其关于直线y=x对称的两个点的坐标分别为（1，0），（3，1）且这两个点在反射光线上，由两点式可求出反射光线所在的直线方程为 x-2y-1=0．考点：直线的对称性；‚求直线方程．【方法点睛】从光学知识知道，入射光线与反射光线是关于镜面（即直线y=x）对称，因此本题的实质是求直线y=2x+1 关于直线y=x对称的直线方程．方法有二：一、在直线y=2x+1 上任意设两个点并求其关于直线y=x对称的点的坐标，然后利用两点式即可求出所求直线的方程．二、设所求直线上任意一点坐标（x，y），求其关于直线y=x对称的点的坐标（y，x），然后代入已知直线（入射光线的直线方程）求解即可．该法的本质是相关点法求直线方程．【变式演练8】已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．（1）求直线的方程； （2）求直线关于原点对称的直线方程．【答案】（1）；（2）．【解析】试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷分析：（1）属于点斜式求直线的方程，先求交点即直线经过的点，再根据与直线垂直求得直线的斜率，然后根据点斜式写出直线的方程，并化成一般方程；（2）找出直线上的两点，然后分别求出这两点关于原点的对称点，这两对称点所在的直线方程即为所求．试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷解析：（1）由解得 3分由于点的坐标是又因为直线即的斜率为 4分由直线与垂直可得 5分故直线的方程为：即 6分（2）又直线的方程在轴、轴上的截距分别是与， 8分则直线关于原点对称的直线在轴、轴上的截距分别是1与2， 10分-公众号：新课标试卷所求直线方程为即 12分．考点：1．直线的方程；2．直线关于点的对称问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷．【高考再现】1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数8】点到直线距离的最大值为 （ ）A． B． C． D．【答案】B【思路导引】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果．【解析】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为．故选：B．【专家解读】本题考查了点到直线距离公式，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记公式．2. 【2016高考上海文科】已知平行直线，则的距离_______________.【答案】【解析】试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷分析：利用两平行线间距离公式得考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.3.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0。