2022高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第9讲函数模型及其应用课时作业含解析新人教B版.doc
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函数模型及其应用课时作业1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，当t＝0时表示中午12时，其后t取正值，那么上午8时的温度是( )A．8 ℃ B．112 ℃C．58 ℃ D．18 ℃答案 A解析 由题意得上午8时t＝－4，因此T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8，应选A．2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 出发时距学校最远，先排除A；中途交通堵塞停留，距离没变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B．3．(2022·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，假设这种动物第1年有100只，那么到第7年它们开展到( )A．300只 B．400只C．500只 D．600只答案 A解析 由题意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它们开展到300只．4．用清水洗衣服，假设每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，那么至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.3010)( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析 设至少要洗x次，那么x≤，∴x≥≈3.322，因此至少需洗4次．应选B．5．(2022·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t秒内的路程为s＝t2米，那么，此人( )A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米D．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米答案 D解析 s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.应选D．6．甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙，如下图，那么对于图中给定的t0和t1，以下判断中一定正确的选项是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面答案 A解析 由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大，那么在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面．应选A．7．(2022·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，那么太阳与天狼星的亮度的比值为( )A．1010.1 B．10.1C．lg 10.1 D．10－10.1答案 A解析 由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.应选A．8．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2，L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．假设该公司在这两地共销售15辆汽车，那么能获得的最大利润为( )A．45.606万元 B．45.6万元C．45.56万元 D．45.51万元答案 B解析 依题意可设在甲地销售了x辆汽车，那么在乙地销售了(15－x)辆汽车，总利润S＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6.应选B．9．(2022·乌兰察布模拟)某公司租地建仓库，仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处 B．4千米处C．3千米处 D．2千米处答案 A解析 设仓库建在离车站x千米处，那么y1＝，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和为y＝＋0.8x≥8，当且仅当x＝5时，等号成立．10．(2022·武汉模拟)国家规定个人稿费纳税方法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过局部的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．假设某人共纳税420元，那么这个人的稿费为( )A．3000元 B．3800元C．3818元 D．5600元答案 B解析 由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝显然由0.14·(x－800)＝420，可得x＝3800.11．(2022·南昌模拟)近年来，“共享单车〞的出现为市民“绿色出行〞提供了极大的方便，某共享单车公司方案在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝3－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入A(单位：万元)满足Q＝A＋2，那么投资两座城市收益的最大值为( )A．26万元 B．44万元C．48万元 D．72万元答案 B解析 设在甲城市投资x万元，在乙城市投资(120－x)万元，所以总收益f(x)＝3－6＋(120－x)＋2＝－x＋3＋26，由题意，知解得40≤x≤80.令t＝，那么t∈[2，4]，所以y＝－t2＋3t＋26＝－(t－6)2＋44，当t＝6，即x＝72时，y取得最大值44，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．应选B．12．(2022·深圳模拟)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．本年9月份两食堂的营业额又相等，那么本年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，那么5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．13．某工厂生产某种产品固定本钱为2000万元，并且每生产一单位产品，本钱增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，那么总利润L(Q)的最大值是________万元．答案 2500解析 由得L(Q)＝K(Q)－10Q－2000＝－10Q－2000＝－(Q－300)2＋2500，所以当Q＝300时，L(Q)max＝2500(万元)．14．(2022·银川月考)大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变．设地面气温为22 ℃，大约每上升1 km大气温度降低6 ℃，那么y关于x的函数关系式为________.答案 y＝解析 由题意，知y关于x为分段函数，x＝11为分界点，易得其解析式为y＝15．(2022·唐山模拟)在如下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影局部)，那么其边长x为________ m.答案 20解析 设矩形花园的宽为y m，那么＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．故填20.16．(2022·四川德阳诊断)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，那么n的值为________；假设再过m min甲桶中的水只有 L，那么m的值为________.答案 ln 5解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，可得n＝ln ；由n＝ln ，得f(t)＝a·，设k min后甲桶中的水只有 L，那么f(k)＝a·＝，所以＝，解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．17．某公司制订了一个鼓励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，假设超出A万元，那么额外奖励2log5(A＋1)万元．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出该公司鼓励销售人员的奖励方案的函数模型；(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解 (1)由题意，得该公司鼓励销售人员的奖励方案的函数模型为y＝(2)由(1)，知当x∈[0,10]时，0≤0.15x≤1.5，因为业务员小李获得3.5万元的奖金，即y＝3.5，所以x>10，因此1.5＋2log5(x－9)＝3.5，解得x＝14.所以业务员小李的销售利润是14万元．18．(2022·郑州模拟)某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m＝2，求经过多少分钟，物体的温度为5摄氏度；(2)假设物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．解 (1)假设m＝2，那么θ＝2·2t＋21－t＝2，当θ＝5时，2t＋＝，令2t＝x≥1，那么x＋＝，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦即m·2t＋≥2⇔m≥2恒成立．令＝x，那么0
