2021广西考研数学一真题及答案.doc

2021广西考研数学一真题及答案一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）ì ex - 1í(1)函数 f (x)= ï x , x ¹ 0 ,在 x = 0 处îï 1, x = 0(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0. (D)可导且导数不为 0.【答案】D.1【解析】因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 处连续；x®0x®0 xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x 1 ¢1因为lim = lim=lim= ，故 f (0) = ，正确答案为 D.x®0x - 0x®0x - 0x®0 x 2 2 2(2)设函数 f ( x, y ) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，则 df (1,1) =(A) dx + dy . (B) dx - dy . (C) dy . (D) -dy .【答案】C.1 2【解析】 f ¢(x +1, ex ) + ex f ¢(x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1) ①1 2f ¢(x, x2 ) + 2xf ¢(x, x2 ) = 4x ln x + 2x ②ìx = 0 ìx = 1分别将í y = 0 ， í y = 1 带入①②式有î îf1¢(1,1) + f2¢(1,1) = 1 ， f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2联立可得 f1¢(1,1) = 0 ， f2¢(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1¢(1,1)dx + f2¢(1,1)dy = dy ，故正确答案为 C.(3) 设函数 f (x) =sin x 在 x = 0 处的 3 次泰勒多项式为ax + bx2 + cx3 ，则1+ x2(A) a = 1,b = 0, c = - 7 . (B) a = 1,b = 0, c = 7 .6(C) a = -1,b = -1, c = - 7 . (D)66a = -1,b = -1, c = 7 .6【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有sin x éx3 3 ù 2 37 3 3f (x) = 1+ x2 = êx - 6 + o(x ) ú ×[1 - x+ o(x )] = x - x6+ o(x )ë û故a = 1,b = 0, c = - 7 ，本题选 A.60(4) 设函数 f ( x ) 在区间[0,1]上连续，则ò1 f ( x )dx =n æ 2k -1 ö 1 n æ 2k -1 ö 1(A) lim å f ç ÷ . (B) lim å f ç ÷ .n®¥ k =1è 2nø 2nn®¥ k =1è 2n ø n2n æ k -1ö 1 2n æ k ö 2(C) lim å f ç ÷ . (D) lim å f ç ÷ × .n®¥ k =1【答案】B.è 2n ø nx®0 k =1è 2n ø n【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将 (0,1)分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则1 n æ 2k -1 ö 1ò0 f (x)dx = lim S f ç 2n ÷ n , 即选 B.n®¥ k =1 è ø(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为1 2 3 1 2 2 3 3 1(A) 2, 0 . (B)1,1 . (C) 2,1 . (D)1, 2 .【答案】B.【解析】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3æ 0 1 1 öç ÷所以 A = ç 1 2 1 ÷ ，故特征多项式为è øç 1 1 0 ÷l -1| lE - A |= -1 -2-1 -1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值为-1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.æ 1 öæ 1 öæ 3 ö(6)已知a = ç 0 ÷ ，a = ç 2 ÷ ，a = ç 1 ÷ ，记b =a，b =a - kb ，b =a - l b - l b ，1 ç ÷1ç ÷è ø2 ç ÷1ç ÷è ø3 ç ÷2ç ÷è ø1 1 2 2 13 3 1 1 2 2若b1 ， b2 ， b3 两两正交，则l1 ， l2 依次为5 1(A) , .2 25 1-(B) , . 2 2(C)5 , - 1 .2 2(D)- 5 , - 1 .2 2【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知æ 0 öb =a - [a2 ,b1 ]b = ç 2 ÷ ，02 21ç ÷[b1,b1 ] ç ÷è øb =a - [a3 ,b1 ]b - [a3 ,b2 ] b ， 3 3 [b,b] 1 [b ,b ] 2故l1= [a3 ,b1 ] = 5 ， l2[b1,b1 ] 21 1 2 2= [a3 ,b2 ] = 1 ，故选 A.[b2 ,b2 ] 2(7) 设 A, B 为 n 阶实矩阵，下列不成立的是æ A O ö æ A AB öè øè ø(A) r ç O AT A÷ = 2r ( A ) (B) r ç O AT ÷ = 2r ( A )è øæ A BA ö æ A O öè ø(C) r ç O AAT ÷ = 2r ( A )【答案】C.(D) r ç BA AT ÷ = 2r ( A )æ A O ö Tè ø【解析】(A) r ç O AT A÷ = r (A) + r (A A) = 2r (A). 故 A 正确.(B) AB 的列向量可由 A 的列线性表示，故 r æ A AB ö = r æ A O ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A).ç O AT ÷ ç 0 AT ÷è ø è ø(C) BA 的列向量不一定能由 A 的列线性表示.(D) BA 的行向量可由 A 的行线性表示， r æ A BAö = r æ A O ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A).ç O AT ÷ ç 0 AT ÷本题选 C.è ø è ø(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 < P(B) < 1，下列命题中不成立的是(A) 若 P( A | B) = P( A) ，则 P( A | B) = P( A) .(B) 若 P( A | B) > P( A) ，则 P( A | B) > P( A)(C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，则 P( A | B) > P( A) .(D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，则 P( A) > P(B) .【答案】D.= =P( A( A U B))【解析】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B)) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因为 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正确答案为 D.1 1 2 2(9) 设 ( X ,Y ), ( X,Y ),L, (X,Y ) 为来自总体 N (m,m;s2 ,s2 ;r) 的简单随机样本， 令n n1 2 1 21 n 1 n ˆ q= m1 - m2 , X = n å X i ,Y = n åYi ,q= X - Y , 则i=1i=1s2 +s2n(A) qˆ 是q的无偏估计， D (qˆ) = 1 2ˆ ( ˆ) 1 2s2 +s2(B) q不是q的无偏估计， D q =nˆ ( ˆ) 1 2 1 2s2 +s2 - 2rss(C) q是q的无偏估计， D q =nˆ ( ˆ) 1 2 1 2s2 +s2 - 2rss(D) q不是q的无偏估计， D q =n【答案】C.【解析】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X - Y 也服从二维正态分布，即 E(qˆ) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，q s2 +s 2 - 2rssD( ˆ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 1 2 1 2 ，故正确答案为 C.n(10) 设 X1 , X 2 K, X16 是来自总体 N (m, 4) 的简单随机样本， 考虑假设检验问题：H0 : m£ 10, H1 : m> 10.F ( x) 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W = {X ³ 11} ，1 16其中 X = å X i ，则m= 11.5 时，该检验犯第二类错误的概率为16i=1(A)1- F (0.5) (B)1- F (1)(C)1- F (1.5)【答案】B.【解析】所求概率为 P{X < 11}(D) 1- F (2)X : N (11.5, 1) ，4ì üP{X < 11} = P ï X -11.5 £ 11-11.5ï = 1- F(1)í 1 1 ýï ï故本题选 B.î 2 2 þ二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.）ò+¥(11)0p【答案】4ò+¥【解析】0dx =x2 + 2x +。