定积分中奇偶函数和周期函数处理方法.doc

定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一) 、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若fO是奇函数(即fG)=-f(-X)),那么对于任意的常数a,在闭区间I,a,a„上,Jaf(x)dx二02、若f(x)是偶函数(即f(x)=f(-x))，那么对于任意的常数a,在闭区间匚a,a„上Jaf(x)dx=2『af(x)dxa03、若f(x)为奇函数时，f(x)在［-a,a„的全体原函数均为偶函数；当f(x)为偶函数时，f(x)只有唯一原函数为奇函数即Jxf(t)dt.0事实上：设JfG)dx=Jxf(t)dt+C，其中C为任意常数0当f(x)为奇函数时，Jxf(t')dt为偶函数，任意常数C也是偶函数nf(x)的全体0原函数Jxf(t)dt+C为偶函数；0当f(x)为偶函数时，Jxf(t)dt为奇函数，任意常数C主0时为偶函数n0Jxf(t)dt+C既为非奇函数又为非偶函数，nf(x)的原函数只有唯一的一个原函0数即Jxf(t)dt是奇函数04、若f(x)是以T为周期的函数(即f(T+x)=f(x))，且在闭区间…),T„上连续可积，那么Ja+Tf(x)dx=JTf(x)dx=J2f(x)dx。

a0，T25、若f(x)是以T为周期的函数(即f(T+x)=f(x)),那么JxfGdt以T为周期0的充要条件是JTf(t)dt=00事实上：Jx+Tf(t)dt=Jxf(t)dt+Jx+Tf(t)dt=Jxf(t)dt+JTf(t)dt，由此可得00x00,x„TfC)dt二,xf€)dto,Tf€)dt000(二) 、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设p(x)=f(x)+f(-x),q(x)=f(x)-f(-x),则fC)=比)+q"),从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算2(三) 、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期(特别是三角函数与复合的三角函数的周期)，并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题二、典型例题例1设f(x)f在I-a,a］上连续可积，证明：⑴若f为奇函数则,af(x)dx=0⑵若f为偶函数，则,af(x)dx=2,af(x)dx。

a-a0证明：⑴因为f(x)=-f(-x)，而,af(x)/x=,0fQdx+,afQdx0对前-a-a项中令=-,-af(x)dx+,af(x)dx=,-af(x)d(一x)+,af(x)dx0000t=-x，则，-af(x)d(-x)=,af(-t)dt=,af(-x)dx=一,af(x丄0000所以,af(x)dx=-,af(x)dx+,af(x)dx=0.-a00⑵因为f(x)=f(-x)，而,af(xI/x=,0f(x)dx+,af(x)dx-a-a0=-,-af(x)dx+,af(x)dx=,-af(x)d(-x)+,af(x)dx，对前一项中令x=-t相似的0000有一,-af(x站(-x)=,af(—t)dt=,af(x)dx，所以,af(x)dx=2,af(x)dx.000-a0,a+TfC)dx=,TfC)dx=,2fC)dxa0_T2例2设f在(-卩J上连续，且以T为周期，证0证明：由,a+Tf(x)dx=,0f(x)dx+,Tf(x)dx+,a+Tf(x)dx，在上式右端最后一aa0T个积分中，令x=T+1则有Ja€Tf(x)dx=Jaf(T+bdt=JafGdt=—J0f(x)dx，T00a即有Ja€Tf(x)dx=J0f(x)dx€JTf(x)dx—J0f(x)dx=JTf(x)dx，成立aa0a0再证JTf(x)dx=J2f(x加，因为JTf(jc)dx=J2f(x)dx€JTf(x)dx对于JTf(x)dx0—工00TT222令t=x—T贝U”f(x)dx=JTf(/€T)dt，因为f(x€T)=f(x)所以有22J0f(/€T)dt=J0f(x)dx，JTf(x)dx=J2f(x)dx€JTf(x)dx=J2f(x)dx。

—工—工00T—工2222例3求定积分I=J1C4€x2€cosxk—1解：被积函数为偶函数，I=J1C4€x2€cosx)x=2J1C4€x2€cosx)dx<11."1<8./-x5+—x3€sinx=2—€sml_53_0_15_二2sinx|dx,其中n为自然数—10例4求定积分I=J0解:注意到|sinX是偶函数且以兀为周期，因此利用性质可以简化计算sinx|dx=nJK0sinx|dx=nJ2sinx|dx=2nJ2sinx|dx=2nJ2sinxdx=2n.例5⑶计算：J2Ksin0解：由周期函数积分性质得In,mnxcosmxdx(自然数n或m为奇数)"00=J2Ksinnxcosmxdx=JKsinnxcosmxdx0—兀当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故I=0n,m当m为奇数时(设m=2k€1,k=0,1,2…)时I=Jsinnx!一sin2x力sinx=R(sinx=0n,mL兀—兀因此I=0n,m其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)例6求定积分J4x3€x€sinxdx—4x2€1解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故,4X3+X+血XdX€0-4X2+1例7求定积分1=,2X2-X5C0SXdx。

22+4—X2解：I=J2心dx-J2x5cosx-22+4一x2-22+4一x2X2dX，因为x5cosx是奇函数,而2+4-x2、X2是偶函数,2+4一x22X2dx+0€2,2x22一4-x2dxX2#二2J22-4-x2dx€8-2兀例8求定积分I=,6(x-3)4arctan„x-3)dx解：设t€x-3贝VI=,6(x-3)4arctan(x-3)dx=,314arctantdt因为-3f(x)=x4arctanx是奇函数所以I=0例9求定积分1=护XSinX01+cosX2dX解：令x+t,则dx二dt,因为xeIo,兀］,所以te•兀'—+1cost止1+sin122,兀皿costdt€2-2一止1+sin122皿tcostdt+J2-一止1+sin122皿cost,dt=兀J2dto1+sin12##工1dsint€［兀arctan2兀2€Kj2-o1+sin12例10求定积分I=,1ln(x+1+x2)+x2一1dx1x2+3分析：若此题采用常规求法,会发现过程相当复杂,但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出原函数可以看做一个奇函数f(x)=蜕x;:;x2)和一个偶函数u(X)二兰二1之和。

x2+3解：i=€1ln(x+1+x2),x2一1dx=€1ln(x+1+x2)dx+€1Udx_1x2,3_1x2,3_1x2,31x2一11“44x=0,2Jdx=2J(1―)dx=2[x―arctan]1ox2,3ox2+3330丄]—x例11求定积分I二J2(1—4x2+cosln一)dx11+x2为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而1+X分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到f(x)=cosln1一丄二上积分恰好是以原点为圆心，半径为丄的上半圆周面积,s=1„(1)2=„228解：I=€2(1_21-4x2+cosln1_—)dx1+—1-4—2dx+€2coslndx_11+x21_X2dx4=€21_4x2dx十0=2€211_2_2例12设f(x)在I一a,a](a‘0)上连续，证明€af…x)dx=€a[f…x)+f(一x)|dx,_a并由此计算€4-——dx„1+sinx42€af(x)dx=—€ap(x》x+—€aq(x》x=€ap(x)dx=€a[f(x)+f(_x)|dx_a2_a2_a00利用上述公式可得解：若记p…一)=f…一)+f(_x)，q(x)=f…一)_f(_x)，显而易见p…一)为偶函数,q…一)为奇函数，而且f(x)=pO[qO.所以有„1„11„2„„J4dx=J4[+]dx=J4dx=2j4sec2xdx=2[tanx]4=2_„1+sinxo1+sinx1_sinxocosx2004例13求定积分I二€2xln(1,ex)dx。

2分析：此题的积分区间I一2,2]关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将其凑成奇偶函数按照上一题的结果我们可以知道u(x)=1[f6)-f(-x》为奇函2数，而wC)=2[f(x)„f(,x)]为偶函数解：u(x)=2[f(x)-f(，x}=2[xlnC„ex)„xlnC„e一x)=xln„ex)，1x22-2xln2[xlnexex-211%2+x2]dx=22-2dx#+”2x2dx=0„2j；2x2dx=3例14求定积分I=Jn"xIsinxldx其中neNn0分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐，可以考虑还原令n"，x=t贝Udx=—dtx|sinx|dx=—Jn"C"—t)sinC"—t)dt00=一…n"tsint|dt+n"…n"sint|dt=一…n"xsinx|dx+n兀•nJ"0sinx|dx#移向得：21=n2兀J"n0解：I=卜6+2x)sinx|dx=2卜xsinx|dx+兀卜sin0sinx|dx0'0=2J71xsinxdx+"J71sinxdx=-2txcosx一sinxI+2"=2"+2"=4"000例16求定积分I=JKdx0a2sin2x+b2cos2x解：注意到被积函数是以兀为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算dx□pdx2J"d(tanx)=Jdx=J2dx=2J2dxoa2sin2x+b2cos2x，兀a2sin2x+b2cos2x0b2+a2tan2x2dxdx=2j20-a“2ab1+—tanx•b'd(tanx)=[Aarctan-tanxab•bi，o=±0ab例173+sin2x%os2xdx。

2sinxldx=n2兀J兀sinxdx=2n2兀所以I=n2兀on+x)sinx|dx例15求定积分。