专题20 正方形_答案.doc

专题　20　正方形例1　①④⑤　提示：在AD上取AH＝AE，连EH，则∠AHE＝45，∴∠HED＝∠HDE＝22.5，则HE＝HD．又∵HE＝HD＞AE，故②不正确．又 ，故③不正确．例2　提示：(1)延长DM交CE于N，连DF，NF，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF得FD＝FN，∠DFN＝∠CFE＝90，故MD⊥MF且MD＝MF．(2)延长DM到N点，使DM＝MN，连FD，FN，先证明△ADM≌△ENM，得AD＝EN，∠MAD＝∠MEN，则AD∥EN．延长EN，DC交于S点，则∠ADC＝∠CSN＝90．在四边形FCSE中，∠FCS＋∠FEN＝180，又∵∠FCS＋∠FCD＝180，故∠FEN＝∠FCD，再证△CDF≌△ENF．∴(1)中结论仍成立．例3　提示：延长BC至点H，使得CH＝AE，连结DE，DF，由Rt△DAE≌Rt△DCH得，DE＝DH，进而推证△DEF≌△DFH，Rt△DGE≌Rt△DCH．例4　设AG＝a，BG＝b，AE＝x，ED＝y，则 由①得a－x＝y－b，平方得a2－2ax＋x2＝y2－2by＋b2．将②代入得a2－2ax＋x2＝y2－4ax＋b2，∴(a＋x)2＝b2＋y2，得a＋x＝．∵b2＋y2＝CH2＋CF2＝FH2，∴a＋x＝FH，即DH＋BF＝FH．延长CB至M，使BM＝DH，连结AM，由Rt△ABM≌Rt△ADH，得AM＝AH，∠MAB＝∠HAD．∴∠MAH＝∠MAB＋∠BAH＝∠BAH＋∠HAD＝90．再证△AMF≌△AHF．∴∠MAF＝∠HAF．即∠HAF＝∠MAH＝45．例5　(1)如图，延长CD至点E1，使DE1＝BE，连结AE1，则△ADE1≌△ABE．从而，∠DAE1＝∠BAE，AE1＝AE，于是∠EAE1＝90．在△AEF和△AE1F中，EF＝BE＋DF＝E1D＋DF＝E1F，则△AEF≌△AE1F．故∠EAF＝∠E1AF＝∠EAE1＝45．(2)如图，在AE1上取一点M1，使得AM1＝AM，连结M1D，M1N．则△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1，故∠ABM＝∠ADM1，BM＝DM1，MN＝M1N．∵∠NDM1＝90，从而M1N2＝M1D2＋ND2，∴MN2＝BM2＋DN2．例6　(1)BM＋DN＝MN成立．如图a，把△AND绕点A顺时针旋转90，得到△ABE，E、B、M三点共线，则△DAN≌△BAE，∴AE＝AN，∠EAM＝∠NAM＝45，AM＝AM，得△AEM≌△ANM，∴ME＝MN．∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN．(2)DN－BM＝MN．如图b，对于图2，连BD交AM于E，交AN于F，连EN，FM可进一步证明：①△CMN的周长等于正方形边长的2倍；②EF2＝BE2＋DF2；③△AEN，△AFM都为等腰直角三角形；④．A　级1．75 2．② 3． 4．3 5．C 6．B 7．B 8．B9．提示：△ABE≌△DCE，△ADF≌△CDF，证明∠ABE＋∠BAF＝90．10．提示：延长CE交DA的延长线于G，证明FG＝FC．11．提示：连PC，则PC＝EF．12．(1)延长DM交EF于N，由△ADM≌△ENM，得DM＝NM，MF＝DN，FD＝FN，故MD⊥MF，且MD＝MF．(2)延长DM交CE于N，连结DF，FN，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF，(1)中结论仍成立．B级1.2 2.60提示：MA2＋MC2＝MD2＋MB2 3.5 4.D 5.C 6.B 7.B8.提示:⑴在AD上截取AF＝AM，∠DFM＝∠MBN，由△DFM≌△MBN，故DM＝MN.⑵证法同上，结论仍成立. ⑶在AD延长线取一点E，使DE＝BM，可证明△DEM≌△MBN，故DM＝MN.9.提示：构造边长为1的正方形ABCD，P为正方形ABCD内一点，过P作FH∥AB交AD于F，交BC于H,作EG∥AD交AB于E，交CD于G.设AE＝a,则BE＝1－a.设AF＝b，则DF＝1－b.∴PA＝,同理：PB＝,PC＝，PD＝.又∵PA＋PB＋PC＋PD≥2AC＝2，∴命题得证.10.提示：MN＝BM＋DN，延长CD至M,使MD＝BM，证明△ADM≌△ABM，△AMN≌△AMN，则∠MAN＝∠MAN＝∠M’AM＝45.11.提示：八边形八个内角分成两组，每一组四个角都相等.12.连结RN,MP，△MPC≌△BAC≌△BRN，则RB＝MP，又△RNM≌△PCB，则RM＝BP，从而四边形RBPM是平行四边形，故BP∥RM.。