数列和数学归纳法专项训练附含答案解析.doc
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WORD格式整理版 数列与数学归纳法专项训练1.如图,曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△OP1Q1,△Q1P2Q2,…△Qn-1PnQn…设正三角形的边长为,n∈N﹡<记为>,.〔1求的值; 〔2求数列{}的通项公式2. 设都是各项为正数的数列,对任意的正整数,都有成等差数列,成等比数列．〔1试问是否成等差数列？为什么？〔2如果,求数列的前项和．3. 已知等差数列｛｝中,＝8,＝66. 〔Ⅰ求数列｛｝的通项公式；〔Ⅱ设,,求证：.4. 已知数列{}中,〔n≥2,,数列,满足〔 〔1求证数列{}是等差数列； 〔2求数列{}中的最大项与最小项,并说明理由； 〔3记…,求．5. 已知数列{an}中,a1>0, 且an+1=, <Ⅰ>试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列； <Ⅱ>试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立； <Ⅲ>若a1 = 2,设bn = | an+1－an|
7. 已知数列各项均不为0,其前n项和为,且对任意,都有〔p为大于1的常数,并记 .〔1求；〔2比较与的大小；〔3求证：<>.8. 已知,各项为正的等差数列满足,又数列的前项和是〔1求数列的通项公式；〔2求证数列是等比数列；〔3设,试问数列有没有最大项？如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由9. 设数列前项和为,且<3,其中m为常数,m(1) 求证:是等比数列;若数列的公比q=f
当从B口得到16112195的倒数时,求此时对应的的值.16. 已知数列,其前n项和Sn满足是大于0的常数,且a1=1,a3=4.〔1求的值；〔2求数列的通项公式an；〔3设数列的前n项和为Tn,试比较与Sn的大小.17. 定义：若数列满足,则称数列为"平方递推数列"．已知数列中,,且,其中为正整数．<1>设,证明：数列是"平方递推数列",且数列为等比数列；<2>设<1>中"平方递推数列" 的前项之积为,即,求数列的通项及关于的表达式；<3>记,求数列的前项之和,并求使的的最小值．18. 在不等边△ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知,,依次成等差数列,给定数列,,． 〔1试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号： 数列,,〔 ． A．是等比数列而不是等差数列 B．是等差数列而不是等比数列 C．既是等比数列也是等差数列 D．既非等比数列也非等差数列 〔2证明你的判断．19. 已知是等差数列,其前n项和为Sn,已知a2=8,S10=185, 〔1求数列的通项公式； 〔2设,证明是等比数列,并求其前n项和Tn.20. 已知数列{an}中,,〔n＝2,3,4,… 〔I求的值； 〔II证明当n＝2,3,4,…时,21. 已知等差数列{}中,是其前n项的和且 〔I求数列{}的通项公式。
〔II若从数列{}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第项,按原来的顺序组成一个新数列{},求数列{}的前n项和22. 已知正项等比数列{}满足条件：①；②,求{}的通项公式．23. 已知函数f〔x＝〔ax＋b图象过点A〔2,1和B〔5,2．〔1求函数f〔x的解析式； 〔2记,,是否存在正数k,使得…对一切均成立,若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由．24. 已知f
2. 由题意,得, 〔1 〔2 〔1因为,所以由式〔2得,从而当时,,代入式〔1得,即,故是等差数列．〔2由及式〔1,式〔2,易得因此的公差,从而,得 〔3又也适合式〔3,得,所以,从而3. 解：〔Ⅰ〔Ⅱ,, =而是递增数列 , . 4. 〔1, 而 ,∴．∴ {}是首项为,公差为1的等差数列． 〔2依题意有,而,∴． 对于函数,在x＞3.5时,y＞0,,在〔3.5,上为减函数． 故当n＝4时,取最大值3 而函数在x＜3.5时,y＜0,,在〔,3.5上也为减函数． 故当n＝3时,取最小值,＝-1． 〔3,,∴．5. <Ⅰ>欲使数列{an}是一个常数数列,则an+1== an 又依a1>0,可得an>0并解出：an=,即a1 = an = <Ⅱ>研究an+1－an=－=
〔3,设是数列中的最大项,则 由 可得数列有最大项,最大项是9. 〔1由∴是等比数列〔210. 〔Ⅰ经计算,,,． 当为奇数时,,即数列的奇数项成等差数列,； 当为偶数,,即数列的偶数项成等比数列,． 因此,数列的通项公式为． 〔Ⅱ, ……〔1…〔2〔1、〔2两式相减,得．． 11. 设的公差为d,首项为,则 〔1 〔2解得,则〔2当时,在前n-1组中共有项数为：故第n组中的第一项是数列中的第项,且第n组中共有项所以当n=1时,也适合上式,故即数列前8组元素之和,且这8组总共有项数则12. 〔Ⅰ由 得 即可得因为,所以 解得,因而 〔Ⅱ因为是首项、公比的等比数列,故则数列的前n项和 前两式相减,得 即 13. 〔1∵,当时,,, 又∵对任意的,总有两个不同的根,∴∴, 由<1>,∵对任意的,总有两个不同的根, ∴∵对任意的,总有两个不同的根, ∴由此可得, （1） 当,∴当,∴14. 〔1. 〔2,,当时,. 〔3所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式,并求的取值范围． 15. 〔1由已知得当时,, 1分同理可得 3分 猜想下面用数学归纳法证明成立①当时,由上面的计算结果知成立 6分②假设时,成立,即 ,那么当时,即当时,也成立 综合①②所述,对 ,成立。
〔2由〔1可得16. 〔I解：由得, 〔II由,∴数列{}是以S1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,当n=1时a1=1满足 〔III①,②①－②得, 则. 当n=1时, 即当n=1或2时, 当n>2时,17. 〔1由条件an＋1＝2an2＋2an, 得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝<2an＋1>2．∴{bn}是"平方递推数列"．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg<2a1＋1>＝lg5≠0,∴＝2．∴{lg<2an＋1>}为等比数列．〔2∵lg<2a1＋1>＝lg5,∴lg<2an＋1>＝2n－1×lg5,∴2an＋1＝5,∴an＝<。
