A4巧用待定系数法求解部分递推数列的通项公式.doc

巧用待定系数法求解部分递推数列的通项公式湖北省通城县第二中学 熊德平 437400求递推数列的通项公式，是一类普通而又复杂的问题要解决这类问题，对于一般的学生来说，往往感到很吃力，高考对这类问题的要求并不很高，求解的一般方法有：1、由所给的初始条件及递推公式，求出数列的前若干项，发现其所蕴含的规律性，假设，然后用数学归纳法证明公式成立2、求递推数列的通项公式最普通的方法是：把所给的递推公式变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推出所给数列的通项公式方法二的关键之处在于变形的技巧，下面应用待定系数法解决几例变形的技巧，以供研究性学习时参考一、线性型与二阶型递推公式例1、在数列中, 设,且,求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为, 令,则, 于是 ,数列公比为2的等比数列,首项为,, 又当时，上式适合，故 例2、在数列中,，，且，求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为，令，则，，或，于是，，数列是公比为2的等比数列，是常数列，首项为， ，消去得 又当及时，上式适合，故二、分式型递推公式例3、设，且，求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为 ，由例1求得 ， 又当时，上式适合，故例4、设，且，求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为，令，则 ，或，于是， ，又 （否则，，从而，与矛盾）两式相除得 ，于是是公比为6的等比数列，首项为，， 又当时，上式适合，故例5、在数列中，，且，求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为， 令，则 ，或，于是 ， ，又 （否则，，从而，与矛盾）两式相除 ， 又当时，上式适合，故 三、递推数列的通项公式例6、在数列中，，且，求数列的通项公式.解：， ①当时， ， 即 ②①-②得 ， 即 类似例2的方法应用待定系数法求得 又当时，上式适合，故 另解思路：所给递推公式可变形为，用逐差法求之（略）。

四、递推数列，（是关于的多项式）的通项公式例7、在数列中，，且，求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为 ，令 ，比较系数得 ， ， 解得 ，，于是 ，数列是公比为5的等比数列，首项为，于是 ， 又当时，上式适合，故例8、在数列中，，且，求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为令 ，比较系数得 ，,,解得 ，,， 于是 数列是公比为3的等比数列，首项为，于是 ， 又当时，上式适合，故 五、递推数列，（是关于的多项式）的通项公式例9、在数列中，，，且，求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为 ，令 ，则 于是 ，数列与是公比为5的等比数列，首项分别为，，于是 ， ， 例10、在数列中，，，且，求数列的通项公式.解：所给递推公式可变形为，令 ，比较系数得 ，， 解得 ，于是 ，数列与是公比为6的等比数列，首项分别为，，于是， ，总之，递推数列变形灵活，方法广泛，运算比较复杂，教学中要合理掌握标高注：本文参考文献：中国数学学会《数学通报》，广西《中学数学解题技巧》，江苏《高中数学教与学》等 3 -。