第十六讲一笔画游戏.doc

第十六讲 一笔画游戏(一)同学们，你能一笔写个“日”字吗？能一笔写个“田”字吗？能一笔写个“吕”字吗？当然，你可以不按照笔画顺序，当要保证笔不离开纸，而且每个笔画都不重复这就是我们这一讲所要研究的一笔画问题例1：下列这些图形，哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成? (1) (2) (3) (4)分析与解：图（1）能一笔画成，可以从图中任意一点开始画图，画到同一点结束经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画成图（3）的两个正方形不是连通的，也不能一笔画成图（4）也可以一笔画成，而且从任意一点开始画都行通过观察，我们发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同由一点出发有双数条线，这个点叫做偶点相应的，由一点出发有单数条线，这个点就叫奇点比如下面的这些图中就告诉我们怎样确定偶点和奇点图中，从A点出发有2条线，从B点出发有3条线，从C点出发有4条线，从D点出发有5条线，这样我们就可以确定A点和C点是偶点，B点和D点是奇点像例1的图（1）和图（4）中，每一个点都是偶点，都可以一笔画，而且可以从任意一点画起而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。

那么，一个图形能否一笔画成与这个图形的奇点、偶点的个数有什么关系呢？我们继续来研究例2：下面各图能否一笔画成 （1） （2） （3） 分析与解：图（1）从任意一点出发都可以一笔画成，因为它的每一点都是与两条线相连的偶点图（2）经过反复试验，也可以找到画法：由A→B→C→A→D→C图中A、C为奇点，B、D为偶点，就是图中有2个奇点，2个偶点，要想一笔画成，要从奇点出发，回到奇点经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点这样我们可以发现，一个图形能否一笔画成的秘密是：（1）如果一个图形中全是偶点，从任意一点出发都可以一笔画成；（2）如果图形中只有2个奇点，也可以一笔画成，必须从一个奇点出发，到另一个奇点结束；（3）如果图形中超过两个奇点，图形就不能一笔画成例3：下面的图形，哪些能一笔画？哪些不能一笔画？分析与解：图（1）中有2个奇点，2个偶点（你会数吗？）可以一笔画成，必须从A开始到B结束，或者从B开始到A结束图（2）有10个奇点（你会数吗？），多于2个奇点，不能一笔画成图（3）有4个奇点，1个偶点，也不能一笔画成。

小结：判断一个图形能否一笔画成，主要是看图中有多少个奇点，超过2个奇点的就不能一笔画成；只有2个奇点的，由1个奇点开始到另一个奇点结束，也能一笔画成；全是偶点的，都能一笔画成，从任意一个偶点开始都行练习与思考1．下面的图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成2．判断下列图形能否一笔画成，并说明理由3．2008年将在中国召开奥运会，你能一笔画成奥运会的五环图案吗？4．下图是商场的平面图，顾客可以从六个门进出商场（六个字母标的地方），怎样才能不重复地走遍商场的每条通道？5．一只蚂蚁由A点出发，到达B点，必须不重复地经过每一条线，你能想出好办法吗？6．一张纸上画有如下图所示的图，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？附参考答案：1、能、能、能、能、能、不能 2、能、能、能、不能、能、能 3、能4、由于C点和F点是奇点，要从C门进，通过其他各门之后再从F门出来 5、能 6、先找到奇点E和H，从E点开始剪，E→I→F→G→I→H第十六讲 一笔画游戏(二)张爱玲例1：下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？分析与解：图中共有9个点，都是偶点，一定可以一笔画成任何一个都可以作为起点，最后仍以这点作为终点。

图2是画法之一例2：判断下图能否一笔画成，如果不能，你能用什么方法把它改成一笔画？分析与解：图中共有4个奇点，（A、B、C、D都是奇点）因此，无法一笔画成要想改为一笔画，关键在于减少奇点的个数（奇点的个数减少到0或2），方法有两种：（1）去边将多余的两个奇点间的边去掉，可以去掉连接奇点B、C的边BC（如图1）；也可以去掉连接AD两点的边（如图2）；或把AD、BC两边全部去掉（如图3）2）添边在多余的两个奇点之间添上一条边可以在奇点A、C之间添上边AC，如图4；也可以在奇点B、D之间添上边BD，如图5；或在A、C和B、D之间分别添边AC和BD，如图6例3：下图是某地区所有街道的平面图甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C问两人谁最先到达C？ 分析与解：题中两人必须走遍所有的街道，最后到达C，而且两人的速度相同，因此谁走的路程少，谁便可以先到达C仔细观察，可以发现图中有两个奇点A和C，根据判断能否一笔画的图形，可以知道：甲从A点出发，能不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而B点是偶点，从B点出发的乙就不能走遍所有的街道因此，甲走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙走的路程一定比这个总和多，这样甲先到达C。

小结：我们不仅要掌握判断一个图形能否一笔画的方法，而且要能够运用这个方法，去改变原来不能一笔画的图形，使它能一笔画像例3这种最短路线问题，其实是一笔画问题的变形，我们不仅要能识别它，还要能灵活地解决这样的问题练习与思考1．下列图形能一笔画成吗？试一试，画一画2．下列图形至少用几笔画出？3．请你将下列图形改成能一笔画成的图形4．下面图形能否一笔画成？如果不能，至少需几笔？5．一只蚂蚁由A点出发，到达B点，必须不重复的经过每一条线，你能想出好办法吗？6．一辆清洁车清扫街道，每段街道长1千米，清洁车由A点出发，走遍所有的街道，再回到A点，怎样走路程最短，全程多少米？附参考答案：1、能、能、能、不能、不能、能 2、1笔、2笔 3、加上下图中的虚线4、3笔、3笔、4笔 5、能 6、图中有8个奇点，在每条边的中间两点，在这两个点中间增加一条连线，就使所有的点变成偶点，就能不重复地走完全程，全程是28千米。