指数函数对数函数幂函数的图像与性质.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑指数函数对数函数幂函数的图像与性质 1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（留神a 务必使n a 有意义） 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=∈、且; ②正数的负分数指数幂: 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==∈、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂举行根式的运算 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a0,b0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 2 注：如下图，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线 x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1d 11a 1b 1,∴cd1ab 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 假设(01)x a N a a =≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法那么 （1）对数的性质（0,1a a ≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N = 3 （2）对数的重要公式： ①换底公式：log log (,1,0)log N N a b b a a b N =均为大于零且不等于； ②1log log b a a b = （3）对数的运算法那么： 假设0,1a a ≠且，0,0M N 那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=； ④b m n b a n a m log log =。

提示：作一向线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数 ∴0cd1ab. 4、反函数 指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质识别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置 2、幂函数的图象 注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x， 1 2 y x =，y=x-1方法：可画出x=x0； 当x01时，按交点的上下，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x， 1 2 y x =，y=x-1； 当0x01时，按交点的上下，从高到低依次为y=x-1， 1 2 y x =，y=x，y=x2，y=x3 三：例题诠释，举一反三 学识点1：指数幂的化简与求值例1.(2022育才A) （1）计算： 25 .0 2 1 2 1 3 2 5.0 3 2 0625 .0 ] ) 32 .0( ) 02 .0( ) 008 .0( ) 9 4 5( ) 8 3 3 [( ? +- - - ； 4 5 （2）化简：533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-++-- 变式：（2022执信A ）化简以下各式（其中各字母均为正数）: （1）;)(653 12121 132b a b a b a ????-- （2）.)4()3(6 521332121231 ----?-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+学识点2：指数函数的图象及应用 例2.(2022广附A)已知实数a 、b 得志等式b a )3 1()21(=，以下五个关系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b.其中不成能成立的关系式有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式：（2022华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|-=a a y x 且)1≠a 的图象有两个公共点，那么a 的取值范围是_______. 学识点3：指数函数的性质 例3.（2022省实B ）已知定义域为R 的函数 12()22 x x b f x +-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性; （Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-恒成立，求k 的取值范围． 变式：（2022东莞B ）设a ＞0,f(x)=x x a a e e +是R 上的偶函数 . （1）求a 的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数 . 学识点4：对数式的化简与求值 例4.（2022云浮A ）计算：（1）)32(log 32-+ （2）2(lg 2)2+lg 2lg5+12lg )2(lg 2 +-; 6 （3）21lg 4932-34lg 8+lg 245. 变式：（2022惠州A ）化简求值. （1）log 248 7+log 212-21log 2 42-1; （2）(lg2)2+lg2 lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)(log 43+log 83). 学识点5：对数函数的性质 例5.（2022深圳A ）对于01a ，给出以下四个不等式： ①1log (1)log (); a a a a a ++ ②1log (1)log (1)a a a a ++； ③1 11;a a a a ++ ④1 11;a a a a ++ 其中成立的是（ ） （A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④ 变式：（2022韶关A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，那么log a b b b b a 1log ,log ,1的大小关系是 （ ） A.log a b b b b a 1log log 1 B.b b b b a a 1log 1log log C.b b b a b a 1log 1log log D.b b b a a b log 1log 1log 例6.（2022广州B ）已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，假设对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)| ≥1成立，试求a 的取值范围. 变式：（2022广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围. 学识点6：幂函数的图象及应用 例7.(2022佛山B) 已知点在幂函数()f x 的图象上，点124??- ?? ?，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x ；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x ． 变式：（2022揭阳B ）已知幂函数f(x)=x 322--m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上 是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）议论F （x ）=a ）（）（x xf b x f -的奇偶性. 四：方向预料、告成在望 1．（A ）函数4 1lg )(--=x x x f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．[1，4) C ．(－∞，1)∪(4，＋∞) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ） (A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln2 3（B ）设a1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21那么a=( ) (A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）4 7 4.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x 时，()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =那么（ ） （A ）a b c （B ）b a c （C ）c b a （D ）c a b 5.（B ）设f (x )= 1232,2,log (1),2, x e x x x -???-≥??那么不等式f (x )2的解集为（ ） (A)（1，2）?（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）? （10 ，+∞） (D)（1，2） 6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，那么（ ） Ａ．R Q P Ｂ．P R Q Ｃ．Q R P Ｄ．R P Q 7．(A)已知c a b 212121log log log ，那么( ) A ．c a b 222 B ．c b a 222 C ．a b c 222 D ．b a c 222 8．（B ）以下函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+。