2007川大高等代数及答案.pdf

1 四川大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学考试题一、(本题满分 15 分) 设1x，2x，3x是多项式1)(3axxxf的全部复根 . 1（5 分）求行列式213132321xxxxxxxxx的值. 2.(5 分)求)(xf的判别式232231221)()()()(xxxxxxfD的值. 3. （5 分）设kkkkxxxS321，求行列式432321210SSSSSSSSS的值. 1. 解:323132123232121313232132132121313232100 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx32312123321)(xxxxxxxxxxx由1x，2x，3x是多项式1)(3axxxf的全部复根，得0321xxx则0213132321xxxxxxxxx2. 解：)( fD的首项为2241xx2 23023222221321013122231320030323313310131121412221003022241321222123033114024xxx有23321323312221)(DCBAfD取11x、12x、03x，有21，12，03有04)(BfD取11x、12x、13x，有31，32，13有09272781)(DCBAfD取11x、12x、23x，有41，52，23有0440125128400)(DCBAfD取11x、12x、33x，有51，72，33有091053433751225)(DCBAfD由、，得4A、4B、18C、27D即23321323312221271844)( fD由01、a2、13，得274)(3afD3. 解：法 1：232231221233222211232221321432321210)()()(111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxSSSSSSSSS故274)(3432321210afDSSSSSSSSS3 法 2： 0 不是)(xf的根，则有0,321xxx有30302010 xxxS03211xxxSaxxxxxxxxxxxxS2)(2)(32312123212322212321232231322221321221332133323136)(3)(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxS636)(36)()()( 33333231212331223221Sxxxxxxxxxxxx，得33S)(2)(23222321222122322214342414xxxxxxxxxxxxS)()()(42221232321222322212xxxxxxxxxa2)(2)(2)(42122123312312232232212xxxxxxxxxxxxxxxa)2()2()2(42123233122223221212xxxxxxxxxxxxa4232132143424124)(2)(4Saxxxxxxxxxa，故242aS有27423232020332432321210aaaaaSSSSSSSSS二、 （本题满分 10 分）设 F 是数域，)(xFxp不可约 . 1（5 分）证明：)(xp在复数域上没有重根 . 2（5 分）证明：如果)(xp与某个多项式)(xFxf有公共复根，那么必有)()(xfxp1. 证明：)(xp在 F 上不可约，则1)( ),(xpxp由CF，则在 C 上，有1)( ),(xpxp故)(xp在复数域上没有重根2. 证明：反证法：设)(xp不能整除)(xf令)(xp的首项系数为na（0na）4 有)()(),(xdxfxp，则)()()(xdxqxp、)()()(xdxgxf由)(xp在 F 不可约，有naxq)(，则)(1)(),(xpaxfxpn有)()(xfxp与假设矛盾，故假设不成立，则有)()(xfxp三、(本题满分 15 分)设 F 是数域，)(:)(xFxaxaxMijnnijn，即：xMn中的n阶方阵的元素是xF中的多项式 . 称xMAn是可逆的，如果存在xMBn使得nEBAAB，其中，nE是n阶单位阵，称 B是 A的逆矩阵 . 1（5 分）证明：关于通常的矩阵的加法和数乘运算，xMn是 F 上的无穷维线性空间 . 2（5 分）证明：xMAn可逆当且仅当行列式)det(A是 F 中的非零数 . 3（5 分）证明：如果xMAn可逆，那么它的逆矩阵是唯一的. 1. 证明：取xMn中k 个矩阵) 1 , 1 , 1 (1diagE、),(2xxxdiagE、),(111kkkkxxxdiagE有1E、2E、kE线性无关，又 k 为任意正整数， 故xMn是 F 上的无穷维线性空间 . 2. 证明：必要性：xMAn可逆，则存在xMBn，使得nEAB，有0nEBA故)det(A是 F 中的非零数 . 充分性：由nEAAA，又)det(A是 F 中的非零数，则有nEAAA)1(则存在1xMAAn，使得nEAAA)1(，则 A可逆. 3. 证明：假设 A有两个逆矩阵 B 、C ，即EACAB有CECABCACBEBB，即证. 5 四、 （本题满分25 分）叙述并证明线性方程组有解的判别定理；当线性方程组有解时，给出它的通解并证明之 . 证明：线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩令 A 为nm矩阵，为m维列向量必要性：Ax有解，有可由 A的列向量组n,21线性表出则向量组n,21，,21n等价故系数矩阵 A与增广矩阵 A有相同的秩充分性：令 A 的极大无关组为r,21系数矩阵 A与增广矩阵A有相同的秩，有向量组n,21、,21n等价，则n,21与都可由r,21线性表出故可由n,21线性表出，即Ax有解五、 （本题满分 20 分） 设142412222A. 1（7 分）证明 A可以写成若干初等矩阵的乘积. 2（8 分）把1A写成 A的多项式 . 3（5 分）在有理数域上A是否相似于一个对角矩阵？说明理由6 1 证明：054900630222360630222142412222A, 则 A 可逆故 A 可以写成若干初等矩阵的乘积2 解：0)6()3(1424122222AE有054273，则OEAA54273则AAE27543，EAA21541213 证明： A的特征值为 3、3、6当3时，0000002213AE基础解系由2)3(AErn个线性无关的向量构成，)1 ,0 ,2(、)1 , 1 , 0(当6时，9904520005424522286AE基础解系由1)6(AErn个向量构成，)2, 2, 1(由Q6, 3 , 3、又3)2,2, 1 ( ,)1 , 1 ,0( ,)1 ,0, 2(Q故在有理数域上 A可以相似于一个对角矩阵六、 （本题满分 10 分）判断矩阵100101112与110011001是否相似，说明理由 . 7 证明：3) 1(10011112AE，则 A的特征值为 1，1，1当1时，000000111000111111AE特征值 1对应2)(AErn个线性无关的特征向量3) 1(110011001BE，则 B 的特征值为 1，1，1当1时，010001000BE特征值 1对应1)(AErn个特征向量由、，则100101112与110011001不相似七、（本题满分30 分）设 F 是数域，),(Fngl是 F 上的n阶方阵的全体. 对任意),(,FnglBA，定义：BAABBA,1（5 分）证明：对任意),(,321FnglAAA都有：OAAAAAAAAA,2131323212（10 分）设 0)(),(),(AtrFnglAFnsl，其中0)(Atr表示方阵nnijaA)(的迹：niiiaAtr1)(. 证明：),(Fnsl是),(Fngl的子空间，并写出它的一个基. 8 3（7 分）设nD是),(Fngl中的数量矩阵组成的子空间. 证明nDFnslFngl),(),(4（8 分）证明),(,),(FnglBABAFnsliiii有限和1. 证明：)()(,1221331221321AAAAAAAAAAAAA123213312321AAAAAAAAAAAA同理：231321123132132,AAAAAAAAAAAAAAA312132231213213,AAAAAAAAAAAAAAA把、代入，得OAAAAAAAAA,2131323212. 证明：取任意),(FnslA，有),(FnglA，则),(),(FnglFnsl取),(FnslB，有njiijijniiiiiEkEkB1,1（ji）且01niiiknjiijijEk1,中有nn2个线性无关的矩阵构成由01niiik，得关于 K 齐次线性方程OEkEkEknnnn22221111该方程的基础解系由1n个线性无关的向量构成故niiiiiEk1中有1n个线性无关的矩阵构成则 B 由1122nnnn个线性无关的矩阵构成，有1),(dim2nFnsl故),(Fnsl是),(Fngl的子空间，),(Fnsl的一组基为)( ,),(),( ,),(),(1,2111211nnnnnnnnnnnnnEEEEEEEEEE3 证明：取nDC，有nEC，nE中由一个矩阵构成，得1dimnD有),(dim),(dimdim2FnglnFnslDn，故nDFnslFngl),(),(4 证明：由nDFnslFngl),(),(得),(Fnsl由),(Fngl中全部的非数量矩阵和零矩阵构成9 有限和有限和)(,iiiiiiABBABA由)()(iiiiABtrBAtr，得有限和,iiBA的对角线元素全为零故有限和,iiBA表示),(Fngl中全部的非数量矩阵和零矩阵由、，得),(,),(FnglBABAFnsliiii有限和八、 （本题满分 10 分）设 V 是数域 F 上的n维线性空间，A，B是V 上的线性变换，其中B可逆. 证明，存在无穷多个Ft使得BtA可逆. 证明：由B可逆，则B的对应特征值0ib（ni,2 , 1）由BtA对应特征值为iitba只要取Ft且iibat，就有0iitba，使得BtA可逆故存在无穷多个Ft使得BtA可逆九、 （本题满分 15 分）证明下述1n实矩阵 A是正定矩阵：122322212325242322242322212322221232135432432132nnnnnnnAnnnnnnn解：10 1223222123252423222423222123222222211321321321322nnnnnnnAnnnnnnnnnnnnnnn222112232221232524232224232221232222222)1(121312111315141312141312111312112122nnnnnnnnn11 12131211131514131214131211131211nnnnnnn为倒数对称行列式根据公式有：)!12()!2()!1() ! 3! 2(121312111315141312141312111312113nnnnnnnnnnn有0)!12()!2()!1() ! 3! 2(23122nnnnAnn故有 A的所有顺序主子式大于零，则A 正定。