点集拓扑教案fu.doc

点 集 拓 扑拓扑是英文Topology 的译音，Topology 一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科. 拓扑学是数学的一个重要分支. 起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支. 拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支. 即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等. 目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用. 研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，它是拓扑学的基础. 本部分介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识. 第 1 章 拓扑空间 拓扑空间的概念产生于对实直线、欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究，是欧氏空间的一种推广. 本章介绍拓扑空间的概念，给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义，以及它们的性质.§ 1. 1 拓扑空间，拓扑的基与子基 拓扑空间的定义有多种等价形式. 这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑空间的定义. 定义1.1.1 设是非空集, T P ()即T 是集合的子集族），若满足： （1） T ； （2） T 的任意多个元素的并属于T ； （3） T 的有限元素的交属于T ，则称T 为集合上的一个拓扑或拓扑结构，偶对(,T ) 称为拓扑空间（当拓扑自明而无需指明时，简称为拓扑空间）.简称为空间，称为拓扑空间(,T )的基础集，T 的元素称为(,T )的开集或T –开集,的元素,子集分别称为拓扑空间(,T )的点，点集.定义1.1.1中的条件（1），（2）与（3）称为开集公理.例1 设是非空集，T ，则T 是集合上的拓扑，称为集合上的平凡拓扑，（,T )称为平凡拓扑空间.例2 设，T ，则T 是集合上的拓扑，集合上赋予这一拓扑的拓扑空间，称为Sierpinski （西尔宾斯基）空间.例3 设是非空集，T P（），则T 是集合上的拓扑，称为集合上的离散拓扑，拓扑空间（T，P（））称为离散空间.例4. 设是非空集，令T ＝是的有限子集，则T 是集合上的拓扑，称为集合上的余有限拓扑，拓扑空间(,T )称为余有限拓扑空间.证明 即证T 满足定义1.1.1中三个条件.事实上，（1）由T 的定义可知T ；若取,则是有限集.所以T .（2）设T .若或,则T ; 若,则都是有限集.于是是有限集，所以T .（3）设对于任意T ,其中为指标集.若对于任意,则T ; 若存在使得,则.但是有限集，所以T .综上所证.可知T 是集合上的拓扑.例5 设, T ＝, T ＝,T ＝, 则T ，T 都是集合上的拓扑. 于是T 与T 都是拓扑空间. 因为 是T 开集，但不是T 开集，所以T 与T 是两个不同的拓扑空间，虽然它们的基础集相同.由于T　，T　，于是T　不满足定义1.1.1中条件（2），所以T　不是集合上的拓扑.定义1.1.2　设T ，T 是集合上的两个拓扑.若T T ，　　　　　则称拓扑T 小于（或粗于）T ，并且称拓扑T 大于（或细于）拓扑T .明显地，同一个非空集上可以赋予许多拓扑，这些拓扑依据集族的包含关系决定拓扑的粗、细或不可比较，其中平凡拓扑是最粗的，离散拓扑是最细的.定义1.1.3　设(,T )是拓扑空间，B P .若B T　，并且T　的元素都可表示为B　中某些元素的并，则称B是拓扑T　的基，也称为拓扑空间(,T )的基或拓扑基，B中的元素称为基开集.例6　设(,T )是任意　拓扑空间，则T　就是它的基.例7　设是非空集，令B　＝,则B是集合上的离散拓扑的基.定理1.1.4　设(,T )是拓扑空间，B T　，则下列条件等价：（1）B是拓扑T　的基；（2）对于任意T ,任意,存在B ,使得.证明　. 对于T　, 因为B是T　的基，从而，其中 B . 所以对于任意存在，使得..任取T ,　因为对于任意存在B　，使得，于是.又B T　.所以B是T　的基.定理1.1.5　设B是非空集的一个子集族，则B是集合上的某一拓扑的基当且仅当B满足下列条件；（1）; （2）对于任意B ,可表示为B中元素的并.若B满足上述两个条件，则集合上以B为基的拓扑是唯一的，此拓扑称为以B　为基生成的集合上的拓扑.证明　设B是集合上的某一拓扑T的基，则由拓扑基的定义可知.（1）; （2） 对于任意B　，因为B T　，于是T . 所以可表示为B中元素的并.反之，记T ＝可表示为B中元素的并，即T　是B中元素的一切任意并之族，则1）由条件（1）可知T . 因为B　，所以T ; 2) 设T ,则都可表示为B中元素的并，即 与　　. 其中B. 于是　　　　　.但从条件（2）可知是B中元素的并，从而也可表示为B中元素的并，所以T　.3）设对于 T　，则可表示为B中的并，于是也可表示为B中元素的并，所以T　.综上可知，T　是集合上的拓扑，并且以B为基.若集合上另有拓扑T 也以B为基，则T 的元素都是B中元素的并.于是T T　；反之，若T , 则可表示为B中元素的并. 但是B T ，T 是集合上的拓扑，从而作为T 的某些元素的并，T ,因此T T .综上可知T ＝T　.定义1.1.6　设T）是拓扑空间, S P ，若S　中元素的一切有限交之族，即 B＝是S　中有限个元素的交是集合上的拓扑T　的基，则称S　是拓扑T　的子基. S　中元素称为子基开集.　　定理1.1.7　设为非空集，S P ，则集合上存在唯一拓扑以S　为子基.这个拓扑称为以S 为子基生成的集合上的拓扑.　　 证明　记B＝是S　中有限个元素的交.由于S　，,从而B ,以及B的任意两个元素的交仍为S　中元素的有限交，可见B　的任意两个元素的交必属于B， 因而这个交是B的元素的并. 于是从定理1.1.5中条件的充分性可知，集合上有拓扑T　以　B为它的基.所以S　是此拓扑T　的子集.若T 是以S　为子基的集合上的另一拓扑，则根据子基定义，T 以B为基. 所以由定理1.15可知T ＝T　.例8　设S P（），则S　中元素的一切有限交之族B＝.并且B中元素的一切任意并之族T ＝.所以，　T 是以S 为子基生成的集合上的拓扑.§ 1. 2　 度量空间定义1.2.1　设是非空集，R为实数集，若映射R .满足；对于任意.有（1）； （2）当且仅当；（3）；（4）（称为三角不等式）.则称是集合上的度量或距离函数，称为与之间的距离，偶对（）称为度量空间，称为度量空间（）的基础集.在不致引起混淆时.也简称为度量空间.定义1.2.2　设（）是度量空间，，对于给定的实数，集合称为以为中心，为半径的球形邻域或开球，简称为的球形邻域或开球，在不致混淆时，简记作.定理1.2.3　设（）是度量空间，则集族B ＝是集合上的一个拓扑的基，称这个拓扑为由集合上的度量诱导的拓扑，记作T ，　　也称为度量拓扑.证明　只需证明球形邻域之族B　满足定理1.1.5的条件：（1）,这是显然的；（2）设 B　.对于任意，则存在 B　使得事实上，取，则对于任意 B　，有＜，即；同理可证, 所以这表明对于B 中的任意两个球形邻域与,可表示为B 中元素的并.综上可知,集族B 是集合上的一个拓扑的基,设是度量空间, 表示由度量诱导的集合上的一个拓扑的, 则约定: 称度量空间为拓扑空间时,指的拓扑空间是 T ).设R是实数集,记RR,,对于任意R,令,则是R上的度量,称为R上的通常度量或欧氏度量.度量空间(R称为维欧几里得空间(或维欧氏空间). R上的通常度量常常略而不提,简称R为维欧氏空间.1维欧氏空间R通常称为直线或实数空间.2维欧氏空间R通常称为平面或平面.3维欧氏空间R称为欧氏空间.以维欧氏空间R中的球形邻域之族B R为基生成的R上的拓扑,即是R上的通常拓扑或欧氏拓扑. 定义1.2.4 设(,T )是拓扑空间,若集合上存在一个度量使得T 是由集合上的度量诱导的拓扑T ,即T T ,则称(,T )为可度量化空间.例1 设是非空集,定义映射如下: R , 则易证是是集合上的度量,称为集合上的离散度量,()称为离散度量空间.在离散度量空间()中,对于的球形邻域 于是B 是集合上的离散度量诱导的拓扑T 的基.由于集合的每一单点集都是这一拓扑T 的开集,所以T 是集合上的离散拓扑. 例1表明,非空集上的离散拓扑可由上述离散诱导出,所以离散拓扑空间是可 度量化空间. 例2 设.若在集合上给以平凡拓扑,则平凡拓扑空间是不可度量化空间. 事实上,若平凡拓扑空间是可度量化空间,则集合上存在度量,使其诱导集合上的平凡拓扑.因为取则.所以是开集,这与是平凡空间矛盾.定义1.2.5 设是集合上的两个度量,若在集合上诱导相同的拓扑,即T = T ，则称与为等价的度量. 例3 设R是实数集,对于任意 R, 令 , 则易证都是集合R上的度量,并且它们与集合R上的通常度量是相互等价的度量. § 1. 3 一些重要的拓扑概念定义1.3.1 设(,T )为拓扑空间,,若T ，则称为(,T ) 的闭集,或T 闭集.定理1.3.2 设(, T )是拓扑空间,则拓扑空间(, T )的闭集有下列性质:(1)都是闭集；(2)有限个闭集的并是闭集；(3)任意个闭集的交是闭集.证明 利用集族运算的De Morgan 律即得证.可以从闭集出发定义拓扑空间.若在非空集上给定子集族F ,满足定理1.3.2中的三条性质,则存在集合上的唯一拓扑T , 在这拓扑下的闭集族恰是F .事实上,只要令T 是F 中集合的补集构成的集族即可.定义1.3.3 设(, T )是拓扑空间,,若存在T ,使得,则称集合为点的邻域.对于.点的所有邻域构成的集族称为点的邻域系,记作N .类似于闭集那样,也可以从邻域出发,定义拓扑空间.一点的邻域不一定是开集.但开集是它的每一点的邻域.并且称开集为它的点的开邻域.定理1.3.4 设(, T )是拓扑空间,又设.则是开集当且仅当是它的每一点的邻域.证明 设是开集,显然是它的每一点的邻域.反之,设是它的每一点的邻域,任何,则存在T . 使得.于是. 所以是(, T )的开集.定义1.3.5 设(, T )是拓扑空间,.(1) 设,若对点的任意邻域有,则称点为集合的附着点或闭包点；(2) 令是的附着点(或记cl). 则称为集合在(, T )中的闭包.定理1.3.6 设(, T )是拓扑空间,则是(, T )的闭集, 即的闭包是包含的最小闭集.证明 设,若 是(, T ) 的闭集,则存在(, T )的闭集,并且,使得.从而.因为是开集,于是是点的邻域.由于,所以点不是的附着点,即.这与假设矛质.反之,是(, T )的闭集. 若,则存在点的邻域,使得. 根据邻域的定义,存在 ,使得, 所以.但是闭集,并且,得出矛盾.综上所证,可知是(, T )的闭集.定理1.3.7 设(, T )是拓扑空间,,则是(, T )的闭集当且仅当.证明 设是闭集, 则是包含的最小闭集. 所以由定理1.3.6可知.反之,设, 则由定理1.3.6可知是闭集. 所以是闭集. 定理1.3.8 设(, T 。