必修1高一数学对数与对数函数.doc

高一数学——对数与对数函数一、本次课教学目标　1. 掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；　2. 掌握对数函数的概念、图象和性质.二、考点、热点回顾知识点一、对数及其运算　　我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:　　1. 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底　　　 数，N叫做真数.　　2. 对数恒等式：　　3. 对数具有下列性质：　　(1)0和负数没有对数，即；　　(2)1的对数为0，即；　　(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数　　通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数， .(三)对数式与指数式的关系　　由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.　　　　　　　　　　　　　　　由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数　　已知　　(1)；　　　 推广：　　(2)；　　(3).(五)换底公式　　同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a＞0， a≠1， M＞0的前提下有:　　(1) 　　　　令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，　　　　即:.　　(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 　　　　即， 即，即　　当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:　　.知识点二、对数函数　　1. 函数y=logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数.　　2. 在同一坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0＜a＜1时，对数函数的图　 　　象随a的增大而远离x轴.(见图1)　　　　　　　　　　　　　　(1)对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R　　(2)对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像过点(1，0)　　(3)当a＞1时，三、规律方法指导　　容易产生的错误　　(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a＞0 且a≠1， N＞0， b∈R)容易记错.　　(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：　　一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.　　二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：　　loga(M±N)=logaM±logaN，　　loga(M·N)=logaM·logaN，　　loga.　　(3)解决对数函数y=logax (a＞0且a≠1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.　　(4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.　　以1为分界点，当a， N同侧时，logaN＞0；当a，N异侧时，logaN＜0.三、典型例题类型一、指数式与对数式互化及其应用　　1.将下列指数式与对数式互化：　　(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).　　思路点拨：运用对数的定义进行互化.　　解：(1)；　　　　　　(2)；　　(3)；　　　　(4)；　　　(5)；　　(6).　　总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.　　举一反三：　　【变式1】求下列各式中x的值：　　(1) (2) (3)lg100=x (4)　　思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.　　解：(1)；　　　　(2)；　　　　(3)10x=100=102，于是x=2；　　　　(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值　　2．求值： 　　解：.　　总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.　　举一反三：　　【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)　　思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.　　解：.类型三、积、商、幂的对数　　3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.　　(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15　　解：(1)原式=lg32=2lg3=2b　　　　(2)原式=lg26=6lg2=6a　　　　(3)原式=lg2+lg3=a+b　　　　(4)原式=lg22+lg3=2a+b　　　　(5)原式=1-lg2=1-a　　　　(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a　举一反三：　　【变式1】求值　　(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 　　解：(1) 　　　　　　　　　　(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1　　　　(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2　　　　　 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.　【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.　　解：由3a=c得：　　　　同理可得　　　　.　【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.　　证明：　　　　 　　　.　【变式4】已知：a2+b2=7ab，a＞0，b＞0. 求证：.　　证明：∵ a2+b2=7ab， ∴ a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， ∴ lg(a+b)2=lg(9ab)，　　　　　∵ a＞0，b＞0， ∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb　　　　　即 .类型四、换底公式的运用　　4.(1)已知logxy=a， 用a表示；　　　　　 (2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.　　解：(1)原式=；　　　　(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.　　　　　 方法一：am=x， bn=x， cp=x　　　　　 　　　　∴， 　　　　　 　　　　∴ ；　　　　　 方法二：.　举一反三：　　【变式1】求值：(1)；(2)；(3).　　解：(1)　；　　　　(2)；　　　　(3)法一：　　　　　 法二：.　　总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用　　5.求值　　(1) log89·log2732　　(2)　　(3)　　(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)　　解：(1)原式=.　　　　(2)原式=　　　　(3)原式=　　　　(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)　　　　　　　 　　举一反三：　　【变式1】求值：　　解：　　　　另解：设 =m (m＞0).∴ ，　　　　∴ ，∴ ，　　　　∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.　　【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?　　解：∵ ∴，　　　　类型六、函数的定义域、值域　　求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.　　6. 求下列函数的定义域：　　(1)； (2).　　思路点拨：由对数函数的定义知：x2＞0，4-x＞0，解出不等式就可求出定义域.　　解：(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数；　　　　(2)因为4-x＞0，即x＜4，所以函数.　　举一反三：　　【变式1】求下列函数的定义域.　　(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).　　解：(1)因为， 所以，　　　　　 所以函数的定义域为(1，)(，2).　　　　(2)因为 ax-k·2x＞0， 所以()x＞k.　　　　　 [1]当k≤0时，定义域为R；　　　　　 [2]当k＞0时，　　　　　 (i)若a＞2，则函数定义域为(k，+∞)；　　　　　 (ii)若0＜a＜2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；　　　　　 (iii)若a=2，则当0＜k＜1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，　　　　　 　　 否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.　　思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题　　7．作出下列函数的图象：　　(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.　　解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).　　　　　 类型八、对数函数的单调性及其应用　　利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.　　8. 比较下列各组数中的两个值大小：　　(1)log23.4，log28.5　　(2)log0.31.8，log0.32.7　　(3)loga5.1，loga5.9(a＞0且a≠1)　　思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.　　(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，　　　　　　　所以，log23.4＜log28.5；　　　 解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5；　　　 解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5；　　(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7；　　(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.　　　 解法1：当a＞1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以，loga5.1＜loga5.9　　　　　　　当0＜a＜1时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以，loga。