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义务教育教科书（华师）九年级数学下册义务教育教科书（华师）九年级数学下册 第第2727章章 圆圆 经过圆心的弦（如图中的经过圆心的弦（如图中的AB）叫做）叫做直径直径．．·COAB连接圆上任意两点的线段（如图连接圆上任意两点的线段（如图AC））叫做叫做弦弦，，与圆有关的概念与圆有关的概念弦圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做每一条弧都叫做半圆半圆．．·COB弧⌒⌒圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧．以．以A、、B为端点的弧记作为端点的弧记作 AB ，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”．．·COAB劣弧与优弧劣弧与优弧⌒⌒小于半圆的弧叫做小于半圆的弧叫做劣弧劣弧.大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧.⌒⌒（如图中的（如图中的AC））(用三个字母表示用三个字母表示,如图中的如图中的ACB)想一想想一想判断下列说法的正误：判断下列说法的正误：(1)(1)弦是直径；弦是直径；(2)(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)(3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(4)(4)过圆心的直线是直径；过圆心的直线是直径；(5)(5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(6)(6)直径是最长的弦；直径是最长的弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧等弧就是拉直以后长度相等的弧 一、一、垂径定理垂径定理●OA AB BC CD DM M└③③AM=BM,重视：重视：模型模型““垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形”” 若若 ①① CD是直径是直径②② CD⊥⊥AB可推得可推得⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.　　　　1.1.定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦, ,并且平分并且平分弦所的两条弧弦所的两条弧. .2 2、垂径定理的逆定理、垂径定理的逆定理②②CD⊥⊥AB,n由由 ①① CD是直是直径径③③ AM=BM可推得可推得⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.●OC CD D● ● M MA AB B┗　　平分弦（　　平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.(1)直径直径 (过圆心的线过圆心的线)；；(2)垂直弦；垂直弦； (3) 平分弦平分弦 ；　　　　；　　　　(4)平分劣弧；平分劣弧；(5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意: “ 直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗这句话对吗?( )错错●OA AB BC CD DM M└垂径定理及其推论垂径定理及其推论●OA AB BC CD D1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧●OA AB BC CD D2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧例例⊙⊙O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦AB∥CDAB∥CD，， AB=16AB=16，，CD=12CD=12，则，则ABAB、、CDCD间的间的 距离是距离是___ ___ . .2cm或或14cm圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角.圆周角圆周角:顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角并且两边都与圆相交的角,叫做叫做圆周角圆周角.·OBA●OB BA AC C二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果①①两个圆心角两个圆心角, ,②②两条弧两条弧, ,③③两条弦两条弦, ,④④两条弦心距两条弦心距中中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那那么它们所对应的其余各组量都分别相等么它们所对应的其余各组量都分别相等. .●OA AB B┓D DA A′ ′B B′ ′D′D′┏┏如由条件如由条件:②②AB=A′B′⌒⌒　　⌒⌒③③AB=A′B′④④ OD=O′D′可推出①∠①∠AOB=∠∠A′O′B′二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系•综上所述综上所述, ,圆周角圆周角∠∠ABCABC与圆心角与圆心角∠∠AOCAOC的大小关系是的大小关系是: :•同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角的一半圆心角的一半. .●OA AB BC C●OA AB BC C●OA AB BC C即即 ∠ ∠ABC = ∠AOC.ABC = ∠AOC.三、圆周三、圆周角定理及推论角定理及推论 90° 90°的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 . .●OA AB BC C●OB BA AC CD DE E●OA AB BC C 定理定理: : 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角相等所对的圆周角相等, ,都等于这弧所对的都等于这弧所对的圆心角的一半圆心角的一半. . 推论推论: :直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 . .直角直角直径直径判断判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等. (2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等.(×)(×)(√)　　　　1、如图、如图1，，AB是是⊙ ⊙O的直径，的直径，C为圆上一点，弧为圆上一点，弧AC度数为度数为60°，，OD⊥⊥BC，，D为垂足，且为垂足，且OD=10，则，则AB=_____，，BC=_____；；　　　　2、已知、是同圆的两段弧，且弧、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于等于2倍弧倍弧AC，则弦，则弦AB与与CD之间的关系为（之间的关系为（ ）；）；　　A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定不能确定　　　　　　　　　　　　　图　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3、、 如图如图2，，⊙ ⊙O中弧中弧AB的度数为的度数为60°，，AC是是⊙ ⊙O的直径，的直径，那么那么∠∠BOC等于等于 ( )；；　　A．．150° B．．130° C．．120° D．．60°　　　　4、在、在△△ABC中，中，∠∠A＝＝70°，若，若O为为△△ABC的外心，的外心，∠∠BOC= 　　；若；若O为为△△ABC的内心，的内心，∠∠BOC= 　　．．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　图　图2 5、两个同心圆的直径分别为、两个同心圆的直径分别为5 cm和和3 cm，则圆环部分的宽，则圆环部分的宽度为度为_____ cm；； 　　 6、如图、如图1,已知已知⊙ ⊙O，，AB为直径，为直径，AB⊥⊥CD，垂足为，垂足为E，由图，由图你还能知道哪些正确的结论你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来请把它们一一写出来 ；；　　　　7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为柱型水管的直径为100 cm，截面如图，截面如图2，若管内污水的面宽，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为，则污水的最大深度为 cm；；　　　　　　　　　　　图　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　图　　　　　　　　　图2.p .p.o .or r.o .o.p .p.o .o.p .p四、点和圆的位置关系四、点和圆的位置关系OpOp＜＜r r 点点p p在在⊙⊙o o内内Op=r Op=r 点点p p在在⊙⊙o o上上OpOp＞＞r r 点点p p在在⊙⊙o o外外　　　　不在同一直线上的三个点确定一个圆　不在同一直线上的三个点确定一个圆　（（这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的内接内接三角形，这个圆叫做三角三角形，这个圆叫做三角形的形的外接外接圆，圆心叫做三角形的圆，圆心叫做三角形的外心外心））　　　　　　　　圆内接四边形的性质：圆内接四边形的性质：（（1））对角互补；对角互补；（（2））任意一个外角都等于它的内任意一个外角都等于它的内对角对角　　反证法的三个步骤：　　反证法的三个步骤：1、提出假设、提出假设2、由题设出发，引出矛盾、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．一个三角形的外接圆有几个？一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？一个圆的内接三角形有几个？ 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外心就是三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分三条边的垂直平分线的交点线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等它到三角形三个顶点的距离相等 这个三角形叫做这个圆的这个三角形叫做这个圆的内接三角形内接三角形 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心●OA AB BC C 有关概念有关概念 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 做一做锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.A AB BC C●OABCCAB┐●O●O　　　　1、、⊙ ⊙O的半径为的半径为R，圆心到点，圆心到点A的距离为的距离为d，且，且R、、d分别是方程分别是方程x2－－6x＋＋8＝＝0的两根，则点的两根，则点A与与⊙ ⊙O的位的位置关系是（置关系是（ ））A．点．点A在在⊙ ⊙O内部内部 B．点．点A在在⊙ ⊙O上上C．点．点A在在⊙ ⊙O外部外部 D．点．点A不在不在⊙ ⊙O上上　　　　2、、M是是⊙ ⊙O内一点，已知过点内一点，已知过点M的的⊙ ⊙O最长的弦最长的弦为为10 cm，最短的弦长为，最短的弦长为8 cm，则，则OM=_____ cm.　　　　　　　　　　　　3、圆内接四边形、圆内接四边形ABCD中，中，∠∠A∶∠∶∠B∶∠∶∠C∶∠∶∠D可以是（可以是（ ））　　　　A、、1∶ ∶2∶ ∶3∶ ∶4 　　　　　　　　 B、、1∶ ∶3∶ ∶2∶ ∶4 　　　　C、、4∶ ∶2∶ ∶3∶ ∶1 　　　　　　　　 D、、4∶ ∶2∶ ∶1∶ ∶3 练习：有两个同心圆，半径分别为练习：有两个同心圆，半径分别为ＲＲ和和r r，，Ｐ是圆环内一点，则Ｐ是圆环内一点，则ＯＰＯＰ的取值的取值范围是＿＿＿＿＿范围是＿＿＿＿＿. .r >切线的判定定理切线的判定定理•定理定理 经过半径的外端经过半径的外端, ,并且垂直于这条半径的并且垂直于这条半径的直线是圆的切线直线是圆的切线. .C CD D●OA A　如图　如图　　∵∵OAOA是是⊙⊙O O的的半径半径, , 且且CD⊥OACD⊥OA, ,∴ ∴ CDCD是是⊙⊙O O的切线的切线. .（１）定义（１）定义（２）圆心到直线的距离（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径＝圆的半径r（３）（３）切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法切线的判定方法切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用　　1 1、如果已知直线与圆有交点，往往、如果已知直线与圆有交点，往往要要作出过这一点的半径，作出过这一点的半径，再证明直线垂直再证明直线垂直于这条半径即可；于这条半径即可；　　　　2 2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要要作出圆心到直线的垂线段，作出圆心到直线的垂线段，再证明这条再证明这条垂线段等于半径即可．垂线段等于半径即可．切线的性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半径过切点的半径. .　　　　∵∵CDCD切切⊙⊙O O于Ａ于Ａ, OA, OA是是⊙⊙O O的半的半径径C CD D●OA A∴ ∴CD⊥ ⊥OA.切线的性质定理出可理解为切线的性质定理出可理解为　　　　如果一条直线满足以下三个性质中的如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个任意两个，那么，那么第三个也成立。

第三个也成立①①经过切点、经过切点、②②垂直于切线、垂直于切线、③③经过圆心经过圆心如　　如　　①①　　　　　　②②③③①①③③②②②②③③任意两个任意两个　　　　做一做：做一做：1、两个同心圆的半径分别为、两个同心圆的半径分别为3 cm和和4 cm，大圆的弦，大圆的弦BC与小圆相切，则与小圆相切，则BC=_____ cm；；　　　　2、如图、如图2，在以，在以O为圆心的两个同心圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦中，大圆的弦AB是小圆的切线，是小圆的切线，P为切点，为切点，设设AB=12，则两圆构成圆环面积为，则两圆构成圆环面积为_____；；　　　　3、下列四个命题中正确的是（、下列四个命题中正确的是（ ）．）．①①与圆有公共点的直线是该圆的切线与圆有公共点的直线是该圆的切线 ；； ②②垂直于圆的垂直于圆的半径的直线是该圆的切线半径的直线是该圆的切线 ；； ③③到圆心的距离等于半径到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线的直线是该圆的切线 ；；④④过圆直径的端点，垂直于此过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．直径的直线是该圆的切线．A.①②①② B.②③②③ C.③④③④ D.①④①④一一一一、判断。

判断1、三角形的外心到三角形各边的距离相等；、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （（ ））2、直角三角形的外心是斜边的中点．、直角三角形的外心是斜边的中点． （（ ））二、填空：二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是、直角三角形的两条直角边分别是5cm和和12cm，则，则它的外接圆它的外接圆 半径半径　　　　　　　　，内切圆半径，内切圆半径　　　　　　　　；；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比比　　　　　　　　．．× ×√ √6.5cm6.5cm2cm2cm2:12:1三、选择题：三、选择题：下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ））A、三角形外心到三边距离相等、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆、三角形一定有一个外切圆C C四、一个三角形四、一个三角形,它的周长为它的周长为30cm,它的它的内切圆半径为内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积则这个三角形的面积为为______．．30cm交点个数交点个数 名称名称0外离外离1外切外切2相交相交1内切内切0内含内含同心圆是内含的特殊情况同心圆是内含的特殊情况d , R , r 的关系的关系dR rd > R + rd = R + rR-r< d < R+ rd = R - rd < R - r六六.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系A AB BC CO O七七七七. .三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：A AB BC CI I三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的内心内心内心内心。

三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的三角形外接圆的圆心叫三角形的外心外心外心外心三角形三边垂直平分线的交点三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的到三角形各边的距离相等距离相等到三角形各顶点到三角形各顶点的距离相等的距离相等锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内, ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点, ,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. .A AB BC C●OABCCAB┐●O●O三角形的外心三角形的外心是否一定在三角形的内部？是否一定在三角形的内部？n从圆外一点向圆所引的两条切线长从圆外一点向圆所引的两条切线长相等相等; ;并且这一点和圆心的连线平分并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角两条切线的夹角. .A AB BP P●O┗┏12A AB BC C●┗┏┓ODEF┗●A AB BC C●O●┗┓ODEF┗切线长定理及其推论切线长定理及其推论:n直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆半径与三边关系半径与三边关系.n三角形的内切圆半径与圆面积三角形的内切圆半径与圆面积.∵ ∵PA,PB切切⊙ ⊙O于于A,B ∴ ∴PA=PB ∠ ∠1=∠ ∠2•1. 1.如图：圆如图：圆O O中弦中弦ABAB等于半径等于半径R R，则这条弦所对的，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿圆心角是＿＿＿, ,圆周角是＿＿＿＿＿＿圆周角是＿＿＿＿＿＿. .60度度30或或150度度　　2：已知：已知ABC三点在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO，，如果如果∠∠ AOC=140 °，求，求∠∠ B的度数．的度数．　　3.平面上一点平面上一点P到圆到圆O上一点的距离最长为上一点的距离最长为6cm,最短为最短为2cm,则圆则圆O的半径为的半径为_______.D　　　　解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD. ∵ ∠ AOC=140 ° ∴ ∠ D=70 °∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °2或或4cm　　　　4 4. .怎样要将一个如图所示的怎样要将一个如图所示的破镜破镜重圆重圆？？ABCP　　　　5、、 如图，如图，AB是是⊙ ⊙O的任意一条弦，的任意一条弦，OC⊥⊥AB，垂，垂足为足为P，若，若 CP=7cm，，AB=28cm ，，你能帮老师求出这你能帮老师求出这面镜子的半径吗？面镜子的半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径　　　　6. 6.如图：如图：ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，BDBD是圆是圆O O的弦，的弦，BDBD到到C C，，AC=ABAC=AB，，BDBD与与CDCD的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？　　补充：补充：　　若∠B=70 °,则∠DOE=＿＿＿．E40 °　　　　7 7、如图、如图,AB,AB是圆是圆OO的直径的直径, ,圆圆OO过过ACAC的中点的中点D,DED,DE⊥⊥BCBC于于E E．．　　证明　　证明: :DEDE是圆是圆OO的切线的切线. .ABCDEO.。