第二章-弹性力学典型问题的讨论.ppt

弹性力学典型问题的讨论 平面问题是工程实际中最常遇到的问题，许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求解平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题2.1 平面问题平面应力问题平面应变问题 平面应力问题是指，(1)所研究的对象在z方向上的尺寸很小（即呈平板状），(2)外载荷（包括体积力）都与z轴垂直、且沿z方向没有变化，(3)在 z =h/2 处的两个外表面（平面）上不受任何载荷，如图1-15所示 2.1.1 平面应力问题（1）平面应力问题图1-15 平面应力问题 在 z =h/2 处的两个外表面上的任何一点，都有z=zx =zy =0另外，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物体内任意一点的z、zx、yz 都等于零，而其余的三个应力分量x、y、xy 则都是x, y的函数此时物体内各点的应力状态就叫做平面应力状态 在平面应力状态下，由于z=zx =zy =0 ，所以可以很容易得到平面应力问题的平衡方程 2.1.1 平面应力问题（1.117）平面应力问题的几何方程平面应力问题的物理方程2.1.1 平面应力问题（1.118）（1.119）对于平面应力问题Z方向的应变等于0吗？2.1.1 平面应力问题 与上述情况相反，如图1-16所示，（1）当物体z方向上的尺寸很长，（2）物体所受的载荷（包括体积力）又平行于其横截面（垂直于z轴）且不沿长度方向（z方向）变化，即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化，那么这类问题称为平面应变问题。

2.1.2 平面应变问题（2）平面应变问题图1-16 平面应变问题 对于平面应变问题，一般可假想其长度为无限长，以任一横截面为xy面、任一纵线为z轴，则所有应力分量、应变分量和位移分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x, y的函数在这种情况下，由于任一横截面都可以看作是对称面，所以物体内各点都只能在xy平面上移动，而不会发生z方向上的移动根据对称条件可知，zx =zy =0，并且由剪应力互等关系可以断定，xz =yz =0但是，由于z方向上的变形被阻止了，所以一般情况下z 并不等于零2.1.2 平面应变问题 在平面应变状态下，由于x 、y 、z 及xy 都只是x, y的函数，而xz=yz=0，且因外力都垂直于z轴，故无z方向的分量由应力平衡微分方程式可以看出，其中的第三个方程能够自动满足，剩余的两个式子与式（1-118）相同 2.1.2 平面应变问题 对于平面应变问题，因位移分量都不沿z方向变化，且w =0，故有z=zx =zy =0，所以其几何方程与平面应力问题的几何方程相同但是，由于z=0，因而平面应变问题的物理方程与平面应力问题的物理方程不同，即（1.120）对于平面应变问题，可以用如下类似的矩阵表达式2.1.2 平面应变问题 式中的D 矩阵与平面应力问题的弹性矩阵形式相同，但是需要将平面应力问题中的E用 代替， 用 代替。

1.121）p 最大主应力准则p 最大剪应力准则p 最大变形能准则2.2 机械结构的失效准则 最大主应力准则最早由Rankine提出，认为材料所能承受的最大主应力是引起材料失效的主要原因因此，判断材料是否失效，只要求得材料的最大主应力前面已述，弹性体内任一点共有三个互相垂直的主应力，即 ，且有 ，因此，只要求得 而不必考虑其他两个主应力设 是材料的屈服极限，则最大主应力准则的失效判据为最大主应力准则（1.122） 由于最大主应力准则的十分简单，人们经常采用它进行初步的判定，它还可以应用于不发生屈服失效的脆性材料 但是，最大主应力准则没有在实验结果中得到足够的验证绝大多数材料能够承受很高的各面均匀作用的静水压力而不发生断裂或永久变形下面给出的例子就可以证明最大主应力准则不能作为很好的失效准则2.2.1 最大主应力准则2.2.1 最大主应力准则 如图1-17所示，一物体受应力 和 作用，其中 为拉应力，为压应力当杆受纯扭转时，如果 和 大小相等，那么在 平面上，剪应力 与 大小相等根据最大主应力失效准则， 是有限值，但是，试验证明，对于受纯扭转塑性材料，当发生屈服时，剪应力要远远小于 图1-17 矩形单元的 滑移面 最大剪应力准则又称Tresca理论。

对于主应力 ，材料失效准则为 2.2.2 最大剪应力准则 即当最大剪应力的值达到材料屈服极限Sy的一半时，材料发生失效 也可以认为是单轴拉伸试验在屈服点的剪切应力最大剪应力理论适用于塑性材料的失效判断1.123） 对塑性材料进行简单拉伸或压缩试验，可以发现最大剪应力发生在与轴线成的平面上试验中试件断裂时就沿着面断裂，即滑移线与轴线大致成简单拉伸试验验证了最大剪应力理论同样可以验证，对于塑性材料在三维应力状态下，最大剪应力理论也是适用的 脆性材料的拉伸试验表明，试件通常不会发生塑性变形而会直接发生断裂脆性材料的压缩试验表明，滑移面或剪切失效面与最大剪应力面完全不同另外，对于脆性材料，拉伸和压缩时最大剪应力也不同对于承受三维应力状态的脆性材料，最大剪应力准则也不适用因此，可以说最大剪应力理论并不适用于脆性材料2.2.2 最大剪应力准则 最大变形能准则是工程中最常用的一种失效准则，又称von Mises准则这个准则把在一般应力状态下某一点的变形能和拉伸试件的屈服联系了起来 2.2.3 最大变形能准则按照变形能理论，当主应力满足下式时发生屈服 2.2.3 最大变形能准则若定义von Mises应力为（1.132）（1.131）则最大变形能准则可表示为（1.133） 2.2.3 最大变形能准则(a) Tresca(最大剪应力)准则 (b) von Mises(最大变形能)准则 图2-10 Tresca准则和von Mises准则的比较 虚位移原理(也叫虚功原理，Virtual displacement principle)是指：如果一个质点处于平衡状态，则作用于质点上的力，在该质点的任意虚位移上所做的虚功总和等于零。

2.3 虚位移原理 从本质上讲，虚位移原理是以能量(功)形式表示的平衡条件对于弹性体，可以看作是一个特殊的质点系，如果弹性体在若干个面力和体力作用下处于平衡，那么弹性体内的每个质点也都是处于平衡状态的假定弹性体有一虚位移，由于作用在每个质点上的力系在相应的虚位移上的虚功总和为零，所以作用于弹性体所有质点上的一切力(包括体力和面力)，在虚位移上的虚功总和也等于零对于弹性体，由于弹性体内部的各个质点应始终保持连续，在给定虚位移时，必须使其满足材料的连续性条件和几何边界条件 2.3 虚位移原理 假定弹性体在一组外力 的作用下处于平衡状态，由外力所引起的任一点的应力为 并且，按前述条件对弹性体取了任意的虚位移 ，由虚位移所引起的虚应变为 ，这些虚应变分量满足相容性方程那么，外力在虚位移上所做的虚功为2.3 虚位移原理（1.134） 受到外力作用而处于平衡状态的弹性体，在其变形过程中，外力将做功对于完全弹性体，当外力移去时，弹性体将会完全恢复到原来的状态在恢复过程中，弹性体可以把加载过程中外力所作的功全部还原出来，也即可以对外做功这就说明，在产生变形时外力所作的功以一种能的形式积累在弹性体内，即上文所述的弹性变形势能(或称应变能)。

2.3 虚位移原理2.3 虚位移原理 对弹性体取虚位移之后，外力在虚位移上所做的虚功将在弹性体内部积累有虚应变能根据能量守恒定律，可以推出弹性体内单位体积中的虚应变能（即一点的虚应变能密度）（1.135）整个弹性体的虚应变能为2.3 虚位移原理 因此，弹性体的虚位移原理可以叙述为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功就等于弹性体所具有的虚应变能，即（1.136）（1.137）。