8第八讲鸽巢原理.doc

第八讲鸽巢原理课程目标课程重点课程难点教学方法建议1、知识与技能：（1）初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简 单的实际问题2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、 推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧密联系，体验学数学、用数学的乐趣2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育3）感受数学 在实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知的良好品质引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”并运用抽屉原理的知识解决简单的实 际问题理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理探究证明→得出结论→巩固练习一、知识梳理“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法和以往的义务教育教 材相比，这部分内容是新增的内容教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍 “鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题 加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决在数学问题中，有一类与“存在性”有关的 问题在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指 出是哪个物体（或人）。

这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”抽屉原理”最先是 19 世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称 之为“鸽巢问题”鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的但“鸽 巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令 人惊异的结论因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用二、方法归纳鸽巣原理是一个重要又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用 1①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把 3 个苹果放在 2 个盒子里, 共有四种 不同的放法, 如下表放法1234盒子 13210盒子 20123无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果” 这个结论 是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”类似的, 如果有 5 只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了 2 只或 2 只 以上的鸽子 如果有 6 封信, 任意投入 5 个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有 2 封信我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信 箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式① 利用公式进行解题：物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+12、摸 2 个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多 1物体数＝颜色数×（至少数－1）＋1②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定 有两个球是同色的③公式：两种颜色：2＋1＝3（个）三种颜色：3＋1＝4（个） 四种颜色：4＋1＝5（个）鸽巢原理（一）：如果把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里（m>n，且 n 是非零自然数），若 m÷n=b……余数，那么一定有 1 个抽屉里至少放进（b+1）本书2鸽巢原理（二）：古国把 kn 个的物体任意分别放进 n 个空抽屉（k 是正整数，n 是非 0 的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体三、课堂精讲例 1 （1）用枚举法证明由此发现，把 4 枝铅笔分配到 3 个文具盒中， 一共有（ ）种情况，在每一种情况中，总 有一个文具盒中至少有 （ ）枝铅笔2）用数的分解法证明似，共有（ ） 中，至少有 1 个数是由此发现，把 4 分解成 3 个数，与上面的枚举法相 共有（ ）种情况，每一种情况分得的 3 个数少大于等于（ ）的3）用假设法证明把 4 枝铅笔放进 3 个文具盒中，假设先在每个文具盒中放 1 枝铅笔，那么 3 个文具盒里就放了（ ）枝铅笔，还剩（ ）枝铅笔。

把剩下的铅笔再放进任意 1 个文具 盒里，则这个文具盒里就有（ ）枝铅笔了以上三种方法都足以证明：把 4 枝铅笔放进 3 个文具盒中，不管怎么放，总有 1 个文具 盒里至少放进（ ）枝铅笔例 2 某班有男生 25 人，女生 18 人，下面说法正确的是（ ）A.至少有 2 名男生是在同一个月出生的B.至少有 2 名女生是在同一个月出生的C.全班至少有 5 个人是在同一个月出生的 D.以上选项都有误【规律方法】主要考查用抽屉原理的知识解决实际问题解析：一年有 12 个月，因为 25÷12=2……1，2+1=3，所以至少有 3 名男生是在同一个月出生的；18÷12=1……6，1+1=2，3至少有 2 名女生是在同一个月出生的；43÷12=3……7，3+1=4，全班至少有 4 个人是在同一 个月出生的变式训练 1】【难度分级】 A1、填一填：（1）水东小学六年级有 30 名学生是二月份（按 28 天计算）出生的，六年级至少有 （ ）名学生的生日是在二月份的同一天2）有 3 个同学一起练习投篮，如果他们一共投进 16 个球，那么一定有 1 个同学至少投 进了（ ）个球3）把 6 只鸡放进 5 个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同 1 个鸡笼里。

4）某班有个小书架，40 个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（ ）本书，才可以 保证至少有 1 个同学能借到 2 本或 2 本以上的书2．某班 48 名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三 人，计票一段时间后的统计结果如下：规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（ ）票才能当选？ A.6 B.7 C.8 D.9例 3 把一些苹果平均放在 3 个抽屉里，总有一个抽屉至少放入几个呢？请完成下表：【规律方法】主要考查简单的抽屉原理解析：解决此类抽屉原理问题的一般思路为：放 苹果最多的抽屉至少放进的个数=苹果个数除以抽屉数所得的商+1（有余数的情况下）4例 4研究发现，在抽屉原理的问题中，“抽屉”至少放入物体数的求法是用物体数除以（ ）数，当除得的商没有余数时，至少放入的物体数就等于（ ）；当除得的商有余 数时，至少放入的物体数就等于（ ）规律方法】主要考查解决简单抽屉原理问题的一般思路解析：重点考查学生的归纳概括能力，加深对已学知识的理解根据简单的抽屉原理：把多于 个的物体放到 个抽屉中，至少有一个抽屉里的东西的个数不少于 2 ；把多于（乘以 ）个物体放到 个抽屉中，至少有一个抽屉里有不少于（ ）个物体。

例 5 箱子中有 5 个红球，4 个白球，至少要取出（ ）个才能保证两种颜色的球都有，至 少要取（ ）个才能保证有 2 个白球规律方法】主要考查灵活运用抽屉原理的知识解决问题解析：把两种颜色分别看作 2 个抽屉，考虑最差情况，5 个红球全部取出来，那么再任意 取出一个都是白球，所以至少取出 6 个才能保证两种颜色的球都有；要保证有 2 个白球， 在取完所有红球的情况下再取 2 个即可变式训练 2】【难度分级】 A1．在如下图的盒子中，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出多少个，才能保证摸出的球至 少有 3 种不同的颜色？（三红四蓝四黄五绿）5例 6 某班同学为地震灾区小朋友捐献图书，所捐图书共分为故事书、科技树和教辅资料书三类，捐书的情况是：有捐一本的，有捐两本的，还有捐三本的问至少要有几位同学来捐书才能保证一定有两位同学所捐书的类型相同？（每种类型的书最多捐一本）【规律方法】主要考查考查综合运用排列组合、抽屉原理的知识解决实际问题解析：分析捐书的情况，捐一类的：故事书、科技书、教辅资料书共三种；捐两类的：故事书和科技书、故事书和教辅资料书，科技书和教辅资料书共三种；捐三类的是一种；总共有 7 种不同的捐法。

把这 7 种情况看作 7 个抽屉，要保证有两位同学捐书的类型相同， 只要 8 名同学即可例 7“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择两种水果，那么至少要有（ ）个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有（ ）个小朋友才能保证两人 拿的水果是相同的规律方法】主要考查排列与组合的知识；抽屉原理解析：在已知的四种水果中任意选 择两种，共有 6 种不同的选择方法，那么至少要有 7 个小朋友才能保证有两个人选的水果 是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么共有 10 种不同的选择方法， 至少要有 11 个小朋友才能保证有两人拿的水果相同变式训练 3】【难度分级】 B1．在下面的方格中，将每一个方格涂上红色或黄色，不论怎么涂，至少有几列的颜色是完 全相同的？① 两红 ②两黄 ③上红下黄 ④上黄下红6例 8 将红、黄、蓝三种颜色的帽子各 5 顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子有两种颜色，至少应取出（ ）顶帽子；要保证三种颜色都有，则至少应取出（ ）顶；要保证 取出的帽子中至少有两顶是同色的，则至少应取出（ ）顶。

规律方法】主要考查综合运用抽屉原理的知识解决问题解析：解答此题的关键是从极 端的情况进行分析假设取出的前 5 顶都是同一种颜色的帽子（把一种颜色取完），再取 一顶就一定有两种颜色；（2）假设前 10 次取出的是前两种颜色的帽子（把两种颜色的帽 子取完），再取出一顶，就能保证三种颜色都有；（3）把三种颜色看作三个抽屉，保证取 出的帽子中至少有两个是同色的，至少应取 4 顶例 9 扑克牌里学数学：一副扑克牌（取出两张王牌）1）在剩下的 52 张牌中任意抽出 9 张，至少有多少张是同花色的？（2）扑克牌一共有 4 种花色，每种花色都有 13 张牌，问至少要抽出几张牌才能保证有一 张是红桃？（3）至少要抽出多少张才能保证有 5 张牌是同一花色的？【规律方法】主要考查综合运用抽屉原理的知识解决实际问题解析：（1）任意抽出 9 张牌，假设每种花色的各有 2 张，剩下的一张不管是什么花色，都可以保证至少有 3 张是同花色的；（2）要保证有一张是红桃，考虑到最差情况，将不是红桃的牌都抽光，只要再抽一张就一定是红桃；（3）要保证 5 张是同花色的，可以假设 4 种 花色的都抽取了 4 张，只要再抽一张即可。

四、讲练结合题(一)填一填：1、鸽巢原理（一）：如果把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里（m>n，且 n 是非零自然数），那 么一定有一个抽屉里至少放进了放进了（ ）个物体2、（1）把 7 本书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有 1。