2262.培养合情推理思维提高创新能力.doc

培养合情推理思维，提高创新能力摘要：本文根据作者主持的台州市规划课题《数学教学中通过类比归纳培养创造和发现能力》的结题报告缩写而成，文中主要内容分别以《强化归纳推理教学，培养创新能力》、《发现与创新观下的定理教学》、《强化类比推理教学，培养创新能力》为题发表于《中学数学杂志》、《创新·实践——谈素质教育》等书刊文章指出了现行数学教育中存在的主要弊端，介绍了合情推理的思想方法，分析了类比和归纳这两种重要的合情推理方法在培养发现和创造能力中的重要作用，提出了通过类比归纳发现和创造的一般模式、高中数学教学中强化类比归纳推理能力培养的主要途径和方法，并借鉴波利亚的“怎样解题表”，提出了一个着重启发学生进行“合情推理”的“怎样解题表”，最后提出了防止滥用类比归纳法的措施一、问题的提出目前的数学教育，处在两大背景中，一是以创新精神和实践能力为核心的素质教育的不断深入，二是以计算机技术为代表的信息技术的迅猛发展.前者对高中数学教育的一个最直接的促进，就是现在使用的新教材中，增加了研究性学习内容、强调数学在实际中的应用和与相关学科的联系.而后者，使数学具有了科学的方法论属性、关于客观世界的模式的属性和技术的属性.以往人们对数学的描绘，就是利用纸、笔进行运算与证明，因此人们很难体会到试验、合情推理（类比归纳等）、模型模拟、矫正与调控、逐步优化与近似逼近等一系列的科学活动过程.随着计算机、计算器引入课堂，中学生有更多的条件通过数学学习体会科学研究的基本方法：观察、尝试、合情推理、建立猜想与实验验证.但从现实来看，目前的数学教学基本上是还是纯演绎式的.教材呈现为“概念——定理（公式）——范例”的纯数学系统，教学中偏重知识的系统性和逻辑思维能力的训练，很难看到知识发生、形成的过程，也看不到真实可信的应用，在很大程度上还存在过分强调纯数学意义上的能力的倾向，忽视数学对发展人的一般能力、提高人的整体素质应起的促进作用.由于受应试教育的影响，教师往往着力于精心地传授，使学生获得系统的数学知识，通过大量的重复练习使学生掌握许多解题的“套路”，以使学生在应试中获得高分，对于如何引导学生自我探究，通过亲身的参与和内心的体验去发现和创造重视不够，新教材在这些方面有一些改进，但在教学实践中，仍存在“新教材、旧教法”的现象.合情推理是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念，主要指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法。

在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都经常应用合情推理科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德“称”出来的；在对热在金属中流动的观察研究中，傅立叶发明了级数；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果由上可以看出，“我们所学到的关于世界的任何新的东西都包含着推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理”合情推理是各学科之间、社会生活中的文化大使，是现代化社会公民的必备文化素质因此加强合情推理的教育将有助于发挥学科的两个功能，并学会发现和发明的方法科学思维一般可分两类：一类是进行论证推理的逻辑思维；另一类则是形象思维合情推理是形象思维的一种重要形式逻辑思维是在“抓到真理”后进行完善和“补行证明“的思维，而合情推理则是“发现真理”的思维既教证明，又教猜想”，给合情推理能力的教学以适当的地位，是开发学生创造性素质的需要目前关于合情推理尚无一个比较统一的、明确的定义比较一致的看法是：合情推理就是在认知过程中，主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验，经过非演绎（或非完全演绎）的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式。

由于合情推理的结论，超出了前提的范围，所以是或然的其表现形式一般为：归纳、类比、联想、猜测、推广、限定、观察、实验、矫正与调控等 类比和归纳，是两种重要的合情推理方法，和学生的学习生活和社会生活的联系比较紧密，以此作为改变“重结果，轻过程；重结论，轻发现；重知识，轻能力”的弊端、培养学生创造和发现能力的入口，具有较强的操作性，这是我们提出并进行这项研究的一个主要原因. 二、理论上的思考“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律.实践是人类认识的基础.毛泽东同志在实践论中提出了一个著名的认识过程模式：“实践——认识——实践”，他认为，人的认识不是一次形成的，而是要经过由特殊到一般、由具体到抽象、由感性认识到理性螺旋式发展过程，经过多次“由此及彼，由表及里，去粗取精，去伪存真”的反复修正，不断逼近真理.作为研究“现实世界的数量关系和空间形式的科学”（恩格斯），数学当然也不例外.数学学习与研究中常用的类比法与归纳法集中体现了“从特殊到一般”的认识规律.前者是由个别事例推出一般性结论的思想方法，后者是根据两个不同的对象，在某些方面有类同之处，推测它们在其它方面也有类同之处的推理方法.著名的哥德巴赫猜想、地图四色定理、费尔马定理的提出，可以说是应用归纳法、类比法的典范，再如勾股定理、多面体的面顶棱定理、前个自然数的立方和公式、二项展开式和杨辉三角形，无一不是观察、实验、归纳、类比的结果.本世纪中叶以来，随着现代认知心理学的产生与发展，国际上一些著名的心理学、教育学理论，无论是皮亚杰的发生认识论、布鲁纳的“认知——发现”学说，加涅的层次学习理论，奥苏贝尔的有意义学习理论，还是加里培林的活动理论，都强调以下几点：①学生不是一张白纸，他们有着丰富的生活经验和知识积累，这其中就包含着大量的数学活动经验，特别是运用数学解决问题的策略；②学生的学习不是一个被动接受知识、记忆、反复练习、强化储存的过程，一个有意义的学习应该是学生以一种积极的心态，调动原有的知识和经验尝试解决新问题，同化新知识，并构建它们的意义；③所有的新知识只有通过学生的“再发现”、“再创造”活动，使其纳入自己的认知结构，才可能成为一个有效的知识.对于每一个学生主体，没有活动，没有做，就形不成学习；④应该让学生从现实中学数学、做数学.布鲁纳有一句名言：任何一个知识都能够以一种合适的方式教给任何一个年龄的学生，我们可以进一步理解为：任何一个知识如果能够以与学生的年龄特征、生活经验相适应的方式出现，就能被学生所感知，为学生所接受；⑤让学生体验做数学的成功乐趣，树立学好数学的自信心.我国有人认为：“数学概念形成的过程，是学习者认知结构中的一种递归过程”，“数学问题解决，是一个经验的创造性学习过程”.问题解决的实现，经历以下几个步骤：提出问题→分析问题→提出假设→检验假设他还提出了一个数学问题解决学习的模型[1] 傅敏，试论数学学习的心理过程，西北师范大学学报，1995年第2期．.类比与归纳在培养学生的创造能力与发现能力，激发学生学习数学的兴趣，让学生在“做数学”中学习数学、感悟数学方面具有独特的作用，为许多数学家和数学教育家所看重.欧拉说过，“类比是伟大的引路人”.高斯也曾说过，他的许多定理都靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续.著名的美籍匈亚利裔数学家、数学教育家G·波利亚在《怎样解题》（1945）、《数学与猜想》（1954）、《数学的发现》（1962）等著作中，深刻阐述了他的启发法与发现观，并研究了数学解题的一般规律与思维方法.他认为数学解题不仅仅重结果，更要了解解题过程.他说：“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，它们是发现的伟大源泉”，特别值得一提的是，波利亚将归纳、类比等非证明推理，总结为一种合情推理模式.合情推理，直观来说，就是合乎情理的推理，它是一种似真推理，并非严格证明，但科学史表明，它是获取新的结论的一种创造性思维方法.波利亚曾说过“不错，完成了的数学的确是演绎体系.但是，数学的创造过程却和其它知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，你总是先得猜测这个定理的内容，当你完成其证明之前，同样总是先得猜测其证明思路，而且往往得一次次地进行尝试.数学家的创造性成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的[2] G·波利亚《发现与猜测》，科学出版社．”.从本世纪80年代，我国部分省市中学开展了《贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质》的数学教育实验（即MM教育方式实验），MM教育方式是徐利治教授提出的一种探索式的教学方式，它直接体现了数学方法论的指导作用，强调教学、学习与数学发现同步.MM教育方式实验已在无锡、天津、武汉等地取得可喜的成果，这对我们从事这项研究与实践，是一个鼓励.三、通过类比归纳发现和创造的两个典型案例与一般模式我们先看两个通过类比归纳发现和创造的两个典型案例，并由此归纳通过类比归纳发现和创造的一般模式.【案例1】开普勒第三定理的发现.第谷是一位经验丰富的天文学家，他积累了大量的观测资料，但并未从中引出规律性的东西.开普勒是第谷事业的合作者，他利用第谷的资料，利用归纳的方法，发现了行星公转的周期与行星和太阳的距离的关系.开普勒从下表（表1）中六个行星的资料中发现了，于是建立了猜想：行星公转的周期的平方与它同太阳的距离的立方成正比.表1：行星名称公转周期太阳距离水星0.2410.3870.0580.058金星0.6150.7230.3780.378地球1.0001.0001.0001.000火星1.8811.5243.5243.524木星11.8625.203140.7140.7土星29.4579.539367.7367.7这里应该注意的是，这一猜想的提出并不是开普勒的偶然发现，而是开普勒确信行星运动的周期与它们的轨道大小应该是和谐的，于是才悉心探求，借助于归纳法找到了规律.开普勒第三定理的发现，为后来勒维烈和亚当斯发现海王星起了关键的导航作用.勒维烈曾说过：天王星“我是用笔算出来的”.【案例2】无穷级数的和的发现.著名的瑞士数学家贝努利曾发现了许多无穷数列的和，但是，他却未能求出一切自然数平方的倒数之和，即无穷级数的和.于是，他公开征求这个问题的解答，可惜直到他逝世时都没有人能解决.瑞士的另一位著名的数学家欧拉，用类比的方法解决了这个问题.具体作法是：把一个次方程的根与系数的关系类推到“无穷次”方程（见表2）.表2：方程次方程“无穷次”方程，即方程的根设它有个相异根它有无穷多个根根与系数的关系由，比较系数即得： ①由 ②再将推出①式的方法（比较系数法）类推到②，就有以下猜想：，即 ③这是一个有限与无限类比发现公式的典型案例.公式③的严格证明则要用到积分的方法.但值得注意的是，欧拉发现公式③时并没有用到微积分.案例1中用到的就是归纳法，而案例2用到的则是类比法.归纳法是由个别事例推出一般性结论的思想方法，其基础是观察与实践.它是人们认识自然，总结生产、生活经验，处理科学实验材料的一种十分重要而又被普遍使用的方法.物理学家、化学家的最基本的研究手段就是实验和归纳.例如物理学中的波义耳—马略特定律，化学中的门捷列夫元素周期表等，就都是运用归纳法的典型例证.实验和归纳同样是数学领域里寻找、发现真理的主要手段.如勾股定理、多面体欧拉定理、前个自然数的立方和定理、二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果.归纳法有完全归纳法与不完全归纳法之分.完全归纳法也叫完全归纳推理，是在考察了某类事物中的所有对象后，推出的该类对象的某种性质的方法，其结论正确无误.不完全归纳是通过对一类事物的部分对象的考察，从中作出有关这一类事物的一般性结论的猜想的方法，它大致包括以下几个阶段：观察、试验推广猜测一般性结论这是一种由点到线、由线到面的推理。