《概率论与数理统计》浙大四版第一章123节.ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计冯冯 熙熙fengxi@第一章 概率论的基本理论w 随机试验w 样本空间、随机事件w 频率与概率w 等可能概型（古典概型）w 条件概率w 独立性确定性现象：在一定条件下必然发生的现象确定性现象：在一定条件下必然发生的现象 （（抛石头必然下落、同性电荷必不抛石头必然下落、同性电荷必不 相互吸引等等）相互吸引等等） 另一类现象，在试验或观察之前不能预知确切的另一类现象，在试验或观察之前不能预知确切的结果，但是在大量试验或观察下，它的结果呈现结果，但是在大量试验或观察下，它的结果呈现出某种规律性出某种规律性多次重复抛一枚硬币正面朝上的次数（多次重复抛一枚硬币正面朝上的次数大概是总试验数的一半）大概是总试验数的一半）统统计计规规律律性性：：大大量量重重复复试试验验或或观观察察中中所所呈呈 现的固有规律性现的固有规律性.随机现象：随机现象：在个别试验中其结果呈现不确在个别试验中其结果呈现不确 定性，而在大量重复试验中结定性，而在大量重复试验中结 果又具有统计规律性的现象果又具有统计规律性的现象 下面的现象哪些是随机现象？下面的现象哪些是随机现象？A. 太阳从东方升起；太阳从东方升起；B. 明天的最高温度；明天的最高温度；C. 上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D. 新生婴儿的体重新生婴儿的体重. §§1 1 随机试验随机试验观察下列试验：观察下列试验：E1: 抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H、、反面反面T出现的情况出现的情况.E2: 将一枚硬币抛三次，观察正面将一枚硬币抛三次，观察正面H、、反面反面T出现的情出现的情况况.E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面将一枚硬币抛三次，观察出现正面H的情况的情况.E4: 抛一颗骰子，观察出现的点数抛一颗骰子，观察出现的点数.E5: 纪录某城市纪录某城市120急救台一昼夜接到的传呼次数急救台一昼夜接到的传呼次数.E6: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.E7: 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.这些试验的共同特点：这些试验的共同特点：1、可以在相同的条件下重复进行；、可以在相同的条件下重复进行；2、每次试验的可能结果不止一个，并且能、每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果；事先明确试验的所有可能结果；3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果、进行一次试验之前不能确定哪一个结果 出现出现具有以上特点的试验称为具有以上特点的试验称为随机试验随机试验通过研究随机试验来研究随机现象通过研究随机试验来研究随机现象。

 §§2 2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件 （一）（一） 样本空间样本空间 对于随机试验，虽然每次试验之前不能对于随机试验，虽然每次试验之前不能预知试验的结果，但是试验的所有结果预知试验的结果，但是试验的所有结果组成的集合是已知的据此定义组成的集合是已知的据此定义 样本空间：样本空间：随机试验随机试验E的的所有可能结果组所有可能结果组 成的集合，记为成的集合，记为S；； 样本点：样本点： 样本空间的元素，即样本空间的元素，即E的每个的每个 结果结果S1: {H，，T}；；S2: {HHH，，HHT，，HTH，， THH，，HTT，，THT，， TTH，，TTT}；；S3: {0，，1，，2，，3}；；S4: {1，，2，，3，，4，，5，，6}；；S5: {0，，1，，2，，3，，…}；；S6: {t | t ≥≥ 0}S7: {（（x，，y) | T0 ≤≤x x ≤y≤≤y≤ T1 ，，x表示最低气温，表示最低气温，y表示最表示最高气温，设此地区的温度不高气温，设此地区的温度不会小于会小于T0也不会大于也不会大于T1 }样本空间的元素（即样本空间的元素（即样本点）由试验目的样本点）由试验目的确定，确定， E2 E3实验方法实验方法一样，但是样本空间一样，但是样本空间却不一样却不一样（二）随机事件（二）随机事件在实际中，往往关心满足某些条件的在实际中，往往关心满足某些条件的样本点所组成的集合。

样本点所组成的集合随机事件（事件）：随机事件（事件）：试验试验E的样本空间的样本空间S的子集每次试验中，当仅当此子集中的一个样每次试验中，当仅当此子集中的一个样本点出现时，称这一本点出现时，称这一事件发生事件发生 基本事件：基本事件：由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集如（如E1两个基本事件两个基本事件{ H }和和{ T }））两个特殊的子集：两个特殊的子集：样本空间样本空间S是自身的子集，在每次试是自身的子集，在每次试验中总是发生，称为验中总是发生，称为必然事件必然事件（或用（或用Ω表表示）示） 空集空集φ不包含任何事件，也是样本空不包含任何事件，也是样本空间间S的子集，每次试验都不发生，称为的子集，每次试验都不发生，称为不可不可能事件能事件同一个样本空间，可以有不同的子集，因而同一个样本空间，可以有不同的子集，因而所对应的事件可以不同所对应的事件可以不同例例1 试验试验E2: 将一枚硬币抛三次，观察正面将一枚硬币抛三次，观察正面H、、反反面面T出现的情况出现的情况.样本空间样本空间S2: {HHH，，HHT，，HTH，，THH，，HTT，，THT，，TTH，，TTT} 事件事件A1：：“第一次出现的是正面第一次出现的是正面”，，即即 A1 = {HHH，，HHT，，HTH，， HTT}事件事件A2：：“三次出现同一面三次出现同一面”，，即即 A2 = {HHH，，TTT}又如又如E6: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.S6: { t | t ≥ 0}A3 = { t | 0≤ t < 1000}E7: 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度记录某地一昼夜的最高温度和最低温度. S7: {（（x，，y) | T0 ≤≤x x ≤y≤≤y≤ T1 ，，x表示最低气表示最低气温，温，y表示最高气温，设此地区的温度不表示最高气温，设此地区的温度不 会小会小于于T0也不会大于也不会大于T1 }A4 = {（（x，，y) | y – x = 10，，T0 ≤≤x x ≤y≤≤y≤ T1 }在掷骰子试验中，试举例说出下列事件在掷骰子试验中，试举例说出下列事件必然事件：必然事件：不可能事件：不可能事件：“掷出点数小于掷出点数小于7”;“掷出点数掷出点数8”事件是一个集合，事件是一个集合，事件的关系和运算就自然的按照集合的关事件的关系和运算就自然的按照集合的关系和运算进行系和运算进行事件的关系和运算对应着各自在概率论中事件的关系和运算对应着各自在概率论中的意义。

的意义三）事件间的关系与事件的运算（三）事件间的关系与事件的运算1 若若 ，则称事件，则称事件B包含事件包含事件A ，即指事件，即指事件A发生必导致事件发生必导致事件 B发生发生 若若 ，，则称事件则称事件A与事件与事件B相等 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S，，而而A，B，Ak（（k = 1,2,…）是是S的子集2 事件事件 称为事件称为事件A与事件与事件B的的和事件和事件；；事件事件 发生发生 A、、B中中至少有一个至少有一个发生发生；类似的，；类似的，3 事件事件 称为事件称为事件A与事件与事件B的的积事件积事件；；事件事件 发生发生 A、、B同时发生同时发生（也（也记作记作AB）；）；类似的，类似的，4事件事件 称为事件称为事件A与事件与事件B的的差事件差事件；；A发生、发生、B不发生不发生 事件事件 发生发生5 若若 ，则称事件，则称事件A与事件与事件B是是互不相容互不相容的，或的，或互斥互斥的，即事件的，即事件A与事件与事件B不能同时发生。

它们包含的基本事件是不能同时发生它们包含的基本事件是两两互不相容的两两互不相容的6若若 ，则称事，则称事件件A与事件与事件B互为互为逆事件逆事件，或互为，或互为对立对立事件事件，即指对每次试验而言，事件，即指对每次试验而言，事件A、、B中中必有且仅有必有且仅有一个发生一个发生A的对立事的对立事件记为件记为 ，， 事件的运算定律交换律：交换律：结合律：结合律：分配律：分配律：德摩根律：德摩根律：例例2 试验试验E2: 将一枚硬币抛三次，观察正面将一枚硬币抛三次，观察正面H、、反面反面T出出 现的情况现的情况. S2: {HHH，，HHT，，HTH，，THH，，HTT，，THT，， TTH，，TTT} A1：：“第一次出现的是正面第一次出现的是正面”，， A1 = {HHH，，HHT，，HTH，， HTT} A2：：“三次出现同一面三次出现同一面”，， A2 = {HHH，，TTT}求求请说出这些事件在概率论中的意义请说出这些事件在概率论中的意义例例3 所示的电路中，所示的电路中，A表示表示“信号灯亮信号灯亮”；； B、、C、、D分别代表分别代表I、、II、、III接合接合 补充例题补充例题从某系的学生中任选一名学生，事件从某系的学生中任选一名学生，事件A表示表示被选学生为男生，事件被选学生为男生，事件B表示该生是三年级表示该生是三年级学生，事件学生，事件C表示该生为运动员，问表示该生为运动员，问1、、 的意义的意义 2、、 什么条件下什么条件下ABC = C成立成立§§3 3 频率与概率频率与概率问题：问题： 对于一个事件（除必然事和不可对于一个事件（除必然事和不可能事件），在每一次试验中，它有可能发能事件），在每一次试验中，它有可能发生也有可能不发生，要找一个数来表示事生也有可能不发生，要找一个数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小。

为此，件在一次试验中发生的可能性大小为此，引入引入频率频率——描述事件发生的频繁程度和描述事件发生的频繁程度和概率概率——表征事件在一次试验中发生的可表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数能性大小的数（一）（一）频率频率定义定义 在相同的条件下进行在相同的条件下进行n次试验，在这次试验，在这n次试验中，事件次试验中，事件A发生的次数发生的次数 称为事称为事件件A发生的发生的频数频数比值 称为事件称为事件A发生的发生的频率频率，记为，记为频率的基本性质：频率的基本性质：1 23 若若 是两两互不相容的事件，则是两两互不相容的事件，则当重复试验的次数当重复试验的次数n逐渐增大时，频率逐渐增大时，频率 呈现出呈现出稳定性，逐渐稳定与某一常数稳定性，逐渐稳定与某一常数 “频率稳定性频率稳定性”——统计规律性统计规律性因此让因此让实验重复大量次数实验重复大量次数，计算频率，计算频率 可用它可用它来表示事件来表示事件A发生的可能性大小发生的可能性大小频率的大小表示事件频率的大小表示事件A发生的频繁程度，频率大，发生的频繁程度，频率大，A发生的可能性就大，是否能用频率来表示事件发生的可能性就大，是否能用频率来表示事件A在一在一次试验中发生的可能性大小呢？次试验中发生的可能性大小呢？（二）概率（二）概率定义定义 设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于E的每一个事件的每一个事件A，，赋于一个实数，记作　　　赋于一个实数，记作　　　，，称为事件Ａ的称为事件Ａ的概率概率，如果集合函数Ｐ，如果集合函数Ｐ( )满足满足１非负性：对于每一个事件Ａ，有１非负性：对于每一个事件Ａ，有２规范性：对于必然事件Ｓ，有２规范性：对于必然事件Ｓ，有３可列可加性：对于两两不相容事件３可列可加性：对于两两不相容事件　　　　　　　　　　　　概率的性质概率的性质１２有限可加性：若　　　 是两两不相容的事件，则有３设Ａ、Ｂ是两个事件，若 ，则有4 对任一事件A，5 （逆事件的概率逆事件的概率）对任一事件A，有6 （加法公式加法公式）对于任意两事件A，B，有 事件互斥时的加法公式事件互斥时的加法公式 事件相容时的加法公式事件相容时的加法公式 ABB答案： (1)0.8 (2)0.3 (3) 0.2 (4)0.1 (5) 0.82. 已知解：1、已知求：3、。