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集合运算典例解析安徽　李庆社　　例1设集合A＝｛x∈Z｜-10≤x≤-1｝，B＝｛x∈Z｜｜x｜≤5｝，则A∪B中的元素个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)　　A.11　　　B.10　　　C.16　　　D.15　　分析符号“∪”是“并集”，即指由A和B中元素合并在一起组成的集合，相同元素只计一次.用列举法知，A＝｛-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1｝，B＝｛-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5｝，因此，A∪B＝｛-10，-9，…，5｝，共含16个元素.∴选C.　　例2已知集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求A∪B的元素个数.　　解：设A∪B＝U，　　因为card (A)＝12，card(B)＝12，且card(A∩B)＝4，　　所以card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B)＝12+12-4＝20　　点评：符号card(A)表示集合A中元素的个数，类似card(A∩B)等含义相同，它们之间有公式：　　card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B).　　例3试证A∪(A∩B)＝A.　　证明：A∪(A∩B)＝(A∪A)∩(A∪B)＝A∩(A∪B)＝A.　　点评：∵AA∪B　　∴A∩(A∪B)＝A.　　例4　在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?　　分析　本题的条件较多，利用文氏图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如右图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.　　解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得　　a+b+c+d+e+f+g＝25,①　　b+f＝2(c+f),②　　a＝d+e+g+1,③　　a＝b+c.④　　②代入①得a+2b-c+d+e+g＝25,⑤　　③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g＝24,⑥　　④代入⑤得3b+d+e+g＝25,⑦　　⑦×2-⑥得4b+c＝26.⑧　　由于c≥0，所以b≤6.　　利用②、⑧消去c，得f＝b-2(26-4b)＝9b-52.　　因为f≥0，所以b≥5.　　则有b＝6，即只解出第二题的学生有6人.　　例5　已知A＝｛x｜x2+x-6＝0｝,B＝｛x｜mx+1＝0｝，且B∪A＝A，求实数m的取值范围.　　错解：∵A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3，2｝，且B∪A＝A，　　∴B＝｛-3｝，或B＝｛2｝，即-3m+1＝0，或2m+1＝0.　　故m∈｛,-｝.　　分析：问题错在对集合B考虑的不全面，B＝｛x｜mx+1＝0｝代表方程mx+1＝0的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B＝，这种情况又恰恰满足B∪A＝A的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+1＝0会无解；其二是忽略了A∪B＝ABA及是任何集合的子集.　　正确解：∵A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3,2｝,且B＝｛x｜mx+1＝0｝，B∪A＝A，　　∴B＝｛-3｝，B＝｛2｝，或B＝，即-3m+1＝0，2m+1＝0，或m＝0.　　故实数m∈｛,-，0｝.　　例6　填空题　　(1)已集集合A＝｛y｜y＝x2-6x+6,x∈R｝,B＝｛y｜y＝-x2+6x-6,x∈R｝，则A∩B＝＿＿＿＿　　(2)已知集合A＝｛(x,y)｜y＝x2-6x+6,x∈R｝，B＝｛(x,y)｜y＝-x2+6x-6,x∈R｝，则A∩B＝＿＿＿＿。

　　(3)已知集合A的元素满足方程4a2+＝4a-1，a,b∈R，集合B＝｛x｜x(x2-1)(4x2-1)＝0｝.则A∩B＝＿＿＿＿　　分析　要特别注意分清楚每小题里的集合中元素是什么?它们分别有什么特征?　　(1)中集合A，B的元素都是函数y，它们分别表示两个函数的值域；　　(2)中集合A，B的元素都是直角坐标系中点的坐标，它们分别表示两条抛物线上的点的集合；　　(3)中集合A的元素要满足一个二元方程，它应该表示点(a,b)的集合；集合B中元素要满足一个一元方程，它表示这个方程的根的集合.　　解：(1)由A知，y＝(x-3)2-3≥-3；　　由B知,y＝-(x-3)2+3≤3.　　利用数轴不难看出：A∩B＝｛y｜-3≤y≤3｝.　　(2)A∩B应该是这两条抛物线的交点，即解方程组解得方程组有两组解(3+，0)和(3-，0).　　∴A∩B＝｛3+,0｝,(3-,0)｝.　　(3)将方程4a2+＝4a-1配方，得(2a-1)2+＝0.　　∵a、b∈R，∴a＝且b＝-1.∴A＝｛(a,b)｜(，-1)｝.　　解方程x(x2-1)(4x2-1)＝0，得x＝0，或x＝±1，或x＝±.　　∴B＝｛-1，-，0，，1｝.　∴A∩B＝.　　点评：解答第(3)小题，很容易出现下面错误解法，即误认为A＝｛-1，｝，从而得出A∩B＝｛-1，｝.应引起我们的重视.　　例7已知集合A＝｛1，3，-x3｝，B＝｛1，x+2｝.是否存在实数x，使得B∪(CSB)＝A?实数x若存在，求出集合A和B；若不存在，请说明理由.　　分析：解答本例的关键是两点：　　(1)理解B∪(CSB)＝A的含义；　　(2)学会分情况讨论或验证数学问题.　　解：∵B∪(CSB)＝A，∴BA.　　(1)若x+2＝3，则x＝1，符合题意；　　(2)若x+2＝-x3，则x＝-1，但不合题意.　　∴当x＝1时，A＝｛1，3，-1｝，B＝｛1，3｝.　　点评：有些数学问题，很难从整体着手解决，需从分割入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一解决这些问题，达到整体问题的解决.这种重要的数学思想方法就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法。

　　练习　　1、设关于x的方程x2+px-12＝0,x2+qx+r＝0的解集分别为A、B且A≠B，A∪B＝｛-3，4｝，A∩B＝｛-3｝，求p,q,r的值.　　2、已知集合A＝｛x｜2a≤x≤a2+1｝,B＝｛x｜x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0｝，求使AB的a 的取值范围.　　3、设A＝｛x｜x2-3x-2＝0｝，B＝｛x｜x2-ax+2＝0｝，若A∪B＝A，求由实数a的值组成的集合.　　4、某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生有22名，参加物理课外小组的学生有18名，同时参加数学、物理两个课外小组的有13名，问：（1）数学和物理两个小组至少参加一个的学生有多少名？（2）数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名？　　参考答案　　1、由A∩B＝｛-3｝，可知方程x2+px-12＝0有根-3，故有(-3)2-3p-12＝0即3p＝-3, ∴ p＝-1,此时A＝｛x｜x2-x-12＝0｝，即A＝｛-3,4｝，又A≠B，A∪B＝｛-3，4｝，A∩B＝｛-3｝，可知方程x2+qx+r＝0只能有重根-3，即这个方程为(x+3)+＝0 即x2+6x+9＝ 0，故q＝6,r＝9 ∴p＝-1,q＝6,r＝9.　　2、B＝｛x｜(x-2)［x-(3a+1)］≤0｝，故当3a+1≥2，即a≥时，B＝｛x｜2≤x≤3a+1｝;当3a+1＜2即a＜时，B＝｛x｜3a+1≤x≤2｝又AB，故 或 解得 1≤a≤3，或a＝-1。

　　3、由A∪B＝A可知BA，化简集合A得A＝｛1，2｝，∴B可为｛1，2｝，｛1｝，｛2｝， 四种情形.当B＝｛1，2｝＝A时，显然a＝3当B＝｛1｝或｛2｝时，方程x2-ax+2＝0有等根，而由韦达定理知x1·x2＝2故等根为-或，故B≠｛1｝，B≠｛2｝.当B＝时，方程x2-ax+2＝0无实根，故Δ=a2-8＜0，得-2＜a＜2.故所求a值的集合为｛3｝∪｛a｜-2＜a＜2｝.　　4、解：设全集 为，集合，集合　　，则中有50个元素，中有元素22个，中有元素18个， 中有元素13个，中含有22－13=9（个），中含元素18－13=5（个）， 中含元素9+13+5=27（个），（ ）中含有元素50－27=23（个），（1）数学和物理两个课外小组至少参加一个小组的学生有27名；（2）数学和物理两个课外小组都不参加的学生有23名。