二次函数与一元二次方程的关系.doc

二次函数与一元二次方程的关系青白江区人和学校 　 彭足琼但凡学过初中数学的学生,你问她们初中数学中，最难的知识是什么？她们会不约而同地说:“二次函数”没错,不仅仅是学生觉得二次函数难,涉及所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受因此，如何才干学好二次函数，成为了初中学生和教师最最苦恼的问题二次函数之因此难，我觉得二次函数难就难在函数自身就是一种比较抽象的知识,再加上二次函数有三个参数,比一次函数和反比例函数都多,尚有就是二次函数的题目不仅仅考它自身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中,可见,二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所固然的事既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其他知识紧密联系起来，是我们教师和学生必须掌握的本领这里,我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及如何运用一元二次方程的知识来解决某些二次函数的题目，但愿能给同窗们和教师一点点启示和收获1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别我们清晰的明白,形如:ax+bｘ+c=０(a、b、ｃ为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax+bx+ｃ（a、b、c为常数，ａ≠0)是二次函数。

认真观测一元二次方程:ax+bx+c=0（ａ、b、c为常数,且a≠０)和二次函数：ｙ= ａｘ+bx+c(ａ、b、ｃ为常数，a≠０）,不难发现,它们在形式上几乎相似,差别也只是一元二次方程的体现式等于0，而二次函数的体现式等于ｙ为什么会这样?重要是由于当二次函数中的变量y取0时,二次函数就变成了一元二次方程2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系正是由于二次函数与一元二次方程在形式上的类似,使得两者在二次函数的图像上的关系格外密切二次函数的图像是一条抛物线,在求抛物线：y= ax＋bx+c与ｘ轴的交点坐标时，令y=0，即：aｘ+bx+c=0,二次函数一下就变成了一元二次方程,再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标由于一元二次方程aｘ+bx＋c=0的根有三种状况①b²-４ac>0时有两个不等的实数根；②ｂ²－4ac=0时有两个相等的实数根③b²-4ac＜0时没有实数根，因此相应地:抛物线ｙ= ax+bx+c与ｘ轴的交点状况有３种:①当b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b²-４ac=０时,抛物线与x轴有一种交点③当b²-4ac＜0时,抛物线与ｘ轴有无交点。

因此,一元二次方程ax+ｂx+c=0的解就是二次函数y= ax+bｘ+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax＋bｘ+ｃ的图像与ｘ轴的交点状况与一元二次方程:aｘ+bx+c=0的根状况有关可见两者在二次函数的图像上的关系格外密切３、应用一元二次方程解决二次函数问题正是由于一元二次方程与二次函数无论在形式上,还是在图形上，关系都十分紧密，因此在解决诸多二次函数题时,常常都要应用一元二次方程的知识这里，我就列举几种典型题:典型例题(1):求证：二次函数y=3ｘ²+（２m+３）ｘ+2m²＋１的值恒为正分析:要证明该函数的函数值恒为正，只要可以证明到该抛物线的开口向上且与x 轴没有交点即可,二次函数y= ax+bx+c中,当ａ>0时,图像开口向上;当b²-４ac＜０时,抛物线与x　轴没有交点因此本题只需证明到a＞0同步b²－4aｃ＜0证明：ｙ=３ｘ²+(2m＋３)ｘ+2m²+1Δ=(2ｍ+３）²-12(2m²+１)=－20（ｍ-)²-，∵（m－)²≥0,∴－2０（ｍ-）²≤0,∴Δ=－２0（m-)²-＜0,∴抛物线与x 轴没有交点,∵3>0,∴抛物线开口向上,∴二次函数y＝３x²＋（2ｍ+3）ｘ+2m²＋１的值恒为正.典型例题(2）：二次函数的图象过点(-1,0)、(３，０）,且与y轴交于（0,3），求该二次函数的解析式。

本题除了用二次函数的交点式和一般式来解外，还可以用一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理来解决该题过程如下:设抛物线的解析式为:y=aｘ+ｂx+c,　∵抛物线与ｙ轴交于(0，３），∴c=3,∵二次函数的图象过点(－1，0)、（３，0),∴一元二次方程:ax+bx＋c=０的两个根为x1 ＝-1,ｘ2=3,∴＝－1×３,∴ａ=-１，∵-＝-１+３,∴ ｂ＝2,∴二次函数的解析式为:ｙ=-ｘ²+2ｘ+3典型例题（３）: 如图，已知抛物线y＝ｘ2-（k＋)ｘ+k．（1）试求ｋ为什么值时，抛物线与x轴只有一种公共点;（2)若抛物线与ｘ轴交于A、Ｂ两点(点A在点B的左边)，与ｙ轴的负半轴交于点C，试问:与否存在实数ｋ,使△AOＣ与△ＣOB相似?若存在，求出相应的k值；若不存在，请阐明理由．分析:问题（1）∵抛物线y=x２-(k+）x＋k与ｘ轴只有一种公共点,∴ｙ＝ｘ２－(k＋)x＋k中Δ＝0,从而可以求出k的值问题(2）若△AOC和△ＣOB中,当时,则△AOＣ和△COB相似；当时,则△AOC和△COB相似A、Ｂ两点的横坐标就是一元二次方程x2-（k+）x+k =0的两个解,因此线段ＯA和OB可以用含k的代数式表达出来,从而建立方程可以把k的值求出来。

具体环节如下:解:(1)∵抛物线抛物线ｙ＝x２-(k+)x＋ｋ与ｘ轴只有一种公共点,∴∴(k-）²＝0,∴k=2)∵c（0，ｋ)且k<０，∴OC=-ｋ,ｘ2-（k+）x+k　=0，ｘ＝,∵k<0，∴x１＝2ｋ， x2 =1,∴ＯA=-2ｋ,ＯB=1,当时，△ＡOC∽△BOＣ，∴,k=－; 当时，△AOＣ∽△ＣＯB∴,∴k=-２，∴当ｋ=－或－2时△AOC和△COB相似通过上面的3个例子，你得到了什么启示，又有哪些收获？正是由于二次函数与一元二次方程有着密切的关系,因此在解决二次函数问题时常常会应用二元一次方程的知识我们一定要牢牢掌握好二次函数与一元二次方程的密切关系,在面对二次函数时，巧妙的运用一元二次方程的知识来解决二次函数中的问题。