高中数学推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法学案新人教A版.docx
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2．2.2 反证法学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？答案 运用了反证法思想．梳理 (1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．反证法属于间接证明问题的方法．( √ )2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( × )3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( √ )类型一 用反证法证明否定性命题例1 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1 已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设，，成等差数列，则2＝＋，∴4b＝a＋c＋2.①∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②由②得b＝，代入①式，得a＋c－2＝(－)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，∴假设不成立．故，，不成等差数列．类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.所以≥>1.同理≥>1，≥>1.三式相加，得＋＋>3，即3>3，矛盾．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.引申探究 已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.证明 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a，b，c都是小于1的正数，∴1－a,1－b,1－c都是正数．∴≥>＝.同理，>，>.三式相加，得＋＋>，即>，显然不成立．∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，且Δ3＝4a2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．类型三 用反证法证明唯一性命题例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则＝3, ＝3，两式相除得＝1，∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．∴假设不成立，从而原命题得证．反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．跟踪训练3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)
