初中数学集合的知识点及练习题 巩固和提升.pdf

初中数学集合的知识点及练习题 巩固和提升【学习目标】1.了解集合的含义，会使用符号“e”“金”表示元素与集合之间的关系.2.能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等.【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一、集合的有关概念1 .集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2 .一般地，研究对象统称为元素(e l e m e n t),一些元素组成的总体叫集合(s e t),也简称集.3 .关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1,2,3组成的集合，也可以写成由1,3,2组成一个集合，它们都表示同一个集合.1 4 .元素与集合的关系：(1)如果a 是集合A的元素，就说a 属于(b e l o n g t o)A,记作a A(2)如果a 不是集合A的元素，就说a 不属于(n o t b e l o n g t o)A,记作a 定 A5 .集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(e m p t y s e t),记作：0.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6.常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1 .自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2 且小于等于8的偶数构成的集合.2 .列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1,2,3,4,5 ,x 2,3 x+2,5 y 3-x,x 2+y 2 ,；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2 4.图示法：图示法主要包括V en n图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法图法.如下图,就表示集合1,2,3,4.【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？（1）著名的数学家；（2）比较小的正整数的全体；（3）某 校2011年在校的所有高个子同学；（4）不超过20的非负数；（5）方程9=0在实数范围内的解；（6）的近似值的全体.答 案:（4）、（5）解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以（1）、（2）、（3）不是集合，同理（6）也不是集合.（4）、（5）可构成集合，故答案是（4）、（5）.点评：（1）判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.（2）“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.举一反三：【变 式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.（1）你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；（2）举办2008年奥运会的城市；（3）高一数学课本中的所有难题；（4）在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；（5）大于0且小于1的所有的实数.答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）3 解析：紧 扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.(1)你所在的班，体重超过7 5 k g 的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集;(2)举办2 0 0 8 年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.(4)在 2 0 11年 3月 11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.(5)大于0且小于1 的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.例 2.集合A由形如加+百(加2,”2)的数构成的，判断尸是不是集合4中的元素？2-V 3答案：是解 析：由分母有理化得，一 L产=2 +6 .由题中集合A可知加=2,=1,均 有 帆eZ,eZ ,2-V 32 +限A,即正 e A.2-V 3点评：(1)解答本题首先要理解e与仁的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，2-V 3能否化成此形式，进而去判断产是不是集合A中的元素.2-V 3(2)判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.举一反三：【变 式 1 设5=*伙=0 1+收。

0 1,1 1 w Z（1）若 a e Z,则是否有a e S?对 S中任意两个元素X”X 2,则 x i+x z,x,x2,是否属于集合S?答案：aeS是解析：（1）若 a w Z,则有 a e S,即 n=0 时，XGZ,A a G S；（2）Vx i,X2GS,贝！J X =m +V 5 n ,X 2 =1112+5/2，叫 CZ）:.x+/=（肛+%）+逝（勺 +%）c S （町+m2cz，4+%Z）4 X j-x2 g m +5/2 0,)(m2+V 5 n 2 )=1口m2+2 n,n2+5/2(1 1 1 1 n2)H if m,叱，r)2wZ,mim2+2nin2Z,minz+nhniEZAxi x2 S.类型二：元素与集合的关系例3.用符号 e或“e”填空.(1)2 /3 x|x/2 x|x 4；(2)3 _xx-n2+L n e N+,5 _ _ _xx=n1+1,/?e N+；(3)(1,1)yy=x2,(-1,1)(x,y)y=x2.解析：给定一个对象a,它与一个给定的集合A之间的关系为a e A,或者史A,二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3,x=5,解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.(1).-2 7 3 =V 1 2 V T T,2 /3|x V 1 6 =4,3 7 2 e%|x 4；(2)令3 =1+1,则=0 笠N+，,3 x|x =+,e N+；令5 =+1,则 =2,其中2 e N+，5 e x|x =+1,n G N+；(3)(T,1)是一个有序实数对，且符合关系y=(,，(一1,1)任 y|y =V,(-1,1)6 (x,y)|y =x2.点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合 x x =/+i,n e N+这 个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“I”左边的元素组成的，符 号“I”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合)，|y =f这 个“口袋”是由y构成的，并且 5 是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合(X,田|=%2 是由抛物线丁=/上的所有点构成的，是一个点集.举一反三：【变 式 1】用符号“C”或填空(1)若人=2,则工 A；-2 A.2(2)若8 =幻2 d-%-1 =0 ,则一;B；-2 B.答案：(1)(2),史类型三：集合中元素性质的应用例 4.定义集合运算：408 =卜|2 =孙 0+y)广4：3.设集合4 =0,1 ,B =2,3 ,则集合 A。

3的所有元素之和为A.0 B.6 C.1 2 D.1 8答案：D解析：A Q)5 =z|z=j q y(x+y)，x e A)e 3 ,.,.当 A =0,1 ,3 =2,3 时，AO 3=0,6/2 ,于是A03的所有元素之和为0+6+1 2=1 8.点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.举一反三：【变 式 1】定义集合运算：A*B=z|z=w，XGAyeB，设 人=1,2 ,8 =0,2 ,则集合A*3的所有元素之和为()A.0 B.2 C.3 D.6答案：Dv z=x y,x e A,y e B,且 A =1,2 ,B =0,2 6；.Z的取值有：0,2,4故 A*8=0,2,4 ,集合A*B的所有元素之和为：0+2+4=6.高清课程：集合的表示及运算例5.设集合A =x e R 1 ox 2+2 x +l =0 ,当集合A为单元素集时，求实数a的值.答案：0，1解析：由集合A中只含有一个元素可得，方程a d+2 x+l=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当a W O时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=l.故a的取值为0,1.例6.已知集合A =a +2,(a +l)2 M 2+3。

3卜 若IGA,求实数的值及集合A.答 案:a=0,A =1,2,3 .解析：(1)若 a +2 =l，则一1.所以4 =1,0,1 ,与集合中元素的互异性矛盾，则a =1应舍去.(2)若(1)2 =1,则一2,当 =0时，A =2,1,3 满足题意；当a =-2时，A =0,l,l,与集合中元素的互异性矛盾，则一2应舍去.(3)若3 =1,则a =1或a =2,由上分析知a =-1与a =2均应舍去.综上，7 =0,集合A =1,2,3 .点评：本题中由于1和集合A中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习 7 中引起足够的重视.举一反三：【变 式 1】已知集合人=a +2,/+2,3e A,求实数的值答案：a=-解析：当a+2 =l,即一1 时，A =3,3 ,与集合的概念矛盾，故舍去当 +2=3,即1 时，a =l不满足题意舍去，故 a =1.类型四：集合的表示方法例 7.试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程f 3 =0的所有实数根组成的集合；(2)由大于1 5 小于25 的所有整数组成的集合.答案：(1)7 3,-7 3 ；(2)1 6,1 7,1 8,1 9,20,21,22,23,24 。

解析：(1)设 方 程/一 3 =0的实数根为x,并且满足条件/一3 =0因此，用描述法表示为4 =|/一 3 =0,X GR)；方 程/一 3 =()有两个实数根百,一6因此，用列举法表示为4 =石,-(2)设大于1 5 小于25 的整数为x,它满足条件x e Z,且 1 5 x 25,因此，用描述法表示为8 =|1 5%25,x e Z；大于 1 5 小于 25 的整数有 1 6,1 7。