微分形式及应用I.doc

微分形式的应用微分形式具有独立于描述参数的优点，其运算简单，适用性广在多元微积分、几何、物理领域特别有用下面列出其一部分应用，并用例子演示，包括 1 判定函数之间是否互为函数2 计算函数相切的条件和切点3 计算函数极值或约束下的极值4 计算函数族的包络子空间5 复杂多元微分导数6 热力学关系7 时变积分区间的积分量的时间导数（1） 判定函数之间是否互为函数比如 , ,也许一眼就能看出来他们相互有函数关系 ，yxf/23yxg )1(3fg复杂的就难处理了特别是三个函数，如 ,实32 223 z-y 3-y x -x ;;hzgf际上有 就难以判别3gh用微分形式计算，对第一种情况 0))(22()()(1 )2()(3)()(()()(/ 4322 232233223  xdyyxxdyyx dyxxydyxxydxyxydf对第二种情况 0)363( )36(z-y - xy3 - (( )))(22 22323 2 2  zyxdyzx dzdyxhgf实际上对于多元函数 ，如果},1),.({1mixfni 01imidf那么就存在函数关系 0),.(1mfF因此外积就是排除相关性的操作。

中，函数 中与 相关的部分不起作用dgfg“ ，则 互为函数”可以这样理解，将 看成从自变量空间（高于 10dgff, },{维的，比如二维的 ）到二维的函数值空间的映射自变量空间的面区域或体区域就)(yx映射为面积为 0 的东西（比如是线段或点） ，这条线或点就是这两个函数间满足的约束关系如图所示xyfg（2） 计算函数相切的条件和切点两个函数 相切条件是，在切点处 0),(),(yxgf 0dgf比如曲线 和曲线 ，在参数 取什么值时相切？切点坐320cxygc标是什么？就可以这样计算02dcfgxyf即0)(2322dcyxcf可以求得2/3,/,2/3,cyxcyx用隐函数 定义的平面曲线有时会自相交或自相切，其自相交点或自相切点就可0),(f以这样计算),(yxdf一般没有解但是用隐函数 定义的曲线族中往往会出现上述情况，计算方法是0),(cf),(dyxfc比如 线族中，就有023cx)(23 dydyx可以求得 ，图所示分别对应0,c 2.0,1.,0cc实际上他们是三鞍面按照高度截出来的三维曲面一般相交成曲线，有些情况也会在一些点处相切。

与0),(zyxf相切的条件为 ，一般不会出现，但是曲面族可以做到，如曲面0),(zyxg0dgf族 与 相切的条件为 ，于是计算面相切条cf ),(czyxdcgf件及相切点的方程为0),(dcgfzyxf例如 与 相切条件0),(2zyx czyczxg1),(cf无解，这两族曲面不可能相切多个（超）曲面族 ，相切的条件及切点的计算},10),.,.({11 micxflni 0),.,.(1jljimi lnidcfx（3） 计算函数极值或约束下的极值我们知道函数 的极值点是 ，用 给出的方12yxf )0,(yx0,ffyx程计算用微分形式表达为 0df存在约束条件时，比如 ，在约束条件 下的极122yx 02yxg值可以这样计算 ，得到0dgf)()(022dd即)12(xy得到极值点为 0,(再如 ，在约束 下的极值问题可以222uzyxf 0;0zyhuxg这样计算0dhgf得到  0)()()2)2()2( dzyudxuzdyxdyzux  0))2()2(0 duzyxduzxyxz即02uyxz于是极值点为 )0,,(uzy一般地，满足约束 条件的函数 的极值可以},.1.{1mixgni ),.(1nxf按照下面方程计算 0),.(},.{1dfxdginimii可以这样解释自变量空间上，在极值点附近，曲线极值函数=const 与约束函数曲线相切。

如图所示xy约束 0),(yxg2),(cyxf134),(cyxf（4） 计算函数族的包络子空间将曲线族 画出来，可以明显看到波峰间的重叠较强的斜线0)sin(xy将曲线族 画出来，可以明显看到波峰处的重叠较强的外形曲线，0)sin(2xy这些就是包络线包络线上的点是最相邻曲线族所共有的，因此包络线满足下面条件0),(dyxf具体地，考虑图 1 情况 )sin(fyxf0)1cos(idyxf02ny是许多斜率为 1 的平行直线考虑第二种情况0)si(2dfyxxf  0)cos()sin(22dyxf0)()i(2xyf这就是包络线的参数方程因此参数族 的包络方程为},1),.,.({11 micflni 0,1),.,.(1jnjimi lidxf mic对于速度固定的抛物轨迹曲线族，可以定义为 2121vgty其中 和 为给定常数这个抛物族的包络021012dyxhdgfvtyxf于是有02001211212gtvvthgtvygxf得到02)(21221gtvtvhtygxf02)(2122gtvtvhtygxf约化为 /22xy见图形（5） 复杂多元微分导数已知 ，计算0),(zyxfyxz ffdzfyxdf zxzxfyxyx  //,,,0,已知 ， ，计算),(zf 0),(zg/xzzy xzygfff gfdzyfxdgfyxxd,,,, ,,,,0,/// 已知 ，计算0)(0)(ygx ),(/),(zyxdvzuzyxzyxzyxzyx gffvgfu gffdfgdv,,,,,,,,,,,, / ,,,/, 此处的简写记号为 bAb,时间参数表达的抛物线 ，计算221/gttvydxy/将此方程看成约束 0/221ttgxf1212)(/ vgtdytxvtgdfxyd 总之，外微分将参数空间扩展，并将相互关联的部分去掉。

因此特别适合多元微分的运算6） 热力学关系 PdVTSdE外微分，得到 Maxwell 关系可得 PTPVS可得dSdPTS可得VVTV可得VSP含温度状态方程自洽关系与 要满足自洽关系),(TP),(E，对其外微分ddS10VT变换参数 1dPdE010,,2,,2  TPTTVVPET,,即 VT变换变量，将任意表达式表示为 导数形式),(YX ),(/),(/ YXCABdCAdBCABC 等温声速和等熵声速关系TVTSsPc22VTTVTSVsCPcdSddS2222 )(（7） 时变积分区间的积分量的时间导数空间中线元，面元和体元 idrekjikdreω!21!zyx设流场速度为 ),(trv随着流场的线元的变化率 r,dtdt),(随着流场的面元的变化率 jikij)( )(!21 ))()(!21)(!21 )(!21,, ,,,, ,,,, ,, ,, ,, ,,vωvωeeeeeω jiiji kiikjiiji mlkilmlimljilmlji kilklilkjiljlilji mjlilkmlkijli jlljik lkjkljikkjijkvvvvvv drvdrvdrdtt随着流场的体元的变化率 πdvyxdzvxdzyv ztttπ  321跟随流场运动的线段，沿着线段的积分 )(tlMrA设流场速度为 ),(tv这个积分的变化率  )( )(,)()( )()()()(tl tltl vtl tltl ddddt tlrvAvrvA,rrrr跟随流场运动的曲面，在曲面的积分 )(tSMωA设流场速度为 ),trv这个积分的变化率  )()( )()()(tStS tt ddt vωAvArr跟随流场运动的区域，对区域的积分 )(tVM设流场速度为 ),trv这个积分的变化率)()()( )()()(tVtVt tVtVAMdtωvvvr。