三角函数的图象与性质.ppt

高一数学组 倪杰,*,1.4 三角函数的图形与性质(1),4,x,O,y,y=sinx,y=cosx,π,2π,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,,,1.4,三角函数的图像与性质,执教： 克州一中 阿吉买买提,O,′,①,下面我们借助正弦线,(,几何法,),来画出,y=sinx,在,[0,，,2π],上的图象,.,首先，我们来作坐标为,(x,0,，,sinx,0,),的点,S,，不妨设,x,0,>0,，,如图所示，在单位圆中设,AP,的长为,x,0,(,即∠,AO,′,P= x,0,),，,则,MP,=,sinx,0,，所以点,S (x,0,，,sinx,0,),是以,AP,的长为横坐标，正弦线,MP,,的数量为纵坐标的点,.,⌒,⌒,S (x,0,，,sinx,0,),M,y,-,-,-,-,-,x,1,-1,π,2π,O,1.4.1,正弦函数、余弦函数的图像,P,A,为了更直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象,.,,2,,知道如何作出,y=sinx,的图象的一个点，就可以作出一系列的点，例如，在单位圆中，作出对应,,于 的角及相应的正弦线,,,相应地,,,,把,x,轴上从,0,到,2π,这一段分成,12,等份，把角,x,的正弦线向右平移，使它的起点与,x,轴上表示数,x,的点重合，再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来，既得到正弦函数,y=sinx,在,[0,，,2π],区间上的图象，如图所示,.,-,-,-1,1,y,x,A,O,2π,π,链接,,3,,最后我们只要将函数,y=sinx,，,x∈ [0,，,2π],的图象向左、右平移,(,每次,2π,个单位,),，,就可以得到正弦函数,y=sinx,，,x∈R,的图象,，,如图所示,.,正弦函数的图象叫做正弦曲线,(sine curve).,正弦曲线,-,-,y,x,O,1,-1,2π,4π,6π,-2π,-4π,-6π,以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以利用图形计算器、计算机作出正弦曲线,.,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,,4,,②用描点法,(,代数法,),作出正弦函数在,[0,，,2π],上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象,.,x,0,,π,,2π,y=sinx,0,1,0,-1,0,(1),列表,(2),,描点,(3),,连线,-,-,-,-,-,x,y,1,-1,O,π,2π,(,五点法,),由上图可以看出，函数,y=sinx,，,x∈[0,，,2π],的图象上起着关键作用的点有以下五个,:,(0,，,0),，,(,，,1),，,(,π,,，,0),，,( π,，,-1),，,(2,π,,，,0),,5,,,观察正弦和余弦曲线,(,如下图,),,的形状和位置,,,说出它们的异同点，,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,y=cosx,y=sinx,它们的形状相同，且都夹在两条平行直线,y=1,与,y=,－,1,之间,.,但它们的位置不同，正弦曲线交,y,轴于原点，余弦曲线交,y,轴于点,(0,，,1).,由,cox=sin(x+ ),，可知,y=cosx,图象向左平移 个单,,位得到,，,余弦函数的图象叫做余弦曲线,.,y=cosx,图象的最高点,( 0,，,1),，与,x,轴的交点,(,，,0),，,,(,，,0),,,,图象的最低点,(π,，－,1).,,6,,事实上，描出五点后，函数,y=sinx,，,x∈[0,，,2π],的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要求不高时，我们常常找出这五个关键点,，,然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图,，,今后，我们将经常使用这种,“,五点,(,画图,),法,”,例,1,画出下列函数的简图：,,(1) y=1+sinx,；,(2) y=,－,cosx x∈[0,，,2,π,,),-,-,-,-,-,x,y,1,-1,O,π,2π,-,-,-,-,-,x,y,1,-1,O,π,2π,,7,,x,0,,,,π,2x,0,,π,,2π,sin2x,0,1,0,－,1,0,例,2,用“五点法”画出下列函数的简图：,,y=sin2x x∈[0,，,2,π,,),描点画图，然后由周期性得整个图象,(,如图所示,),y,x,O,1,-1,π,2π,-3π,-π,-2π,3π,y=sin2x,y=sinx,两图象有何关系？,,8,,练习,1,.,画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与,正弦曲线,的区别和联系,:,,(1) y=sinx,－,1,；,(2) y=2sinx.,y= sinx,－,1,y=sinx,x,y,O,2π,π,-π,-2π,1,-2,-1,-3π,y=sinx,－,1,的图象可由,正弦曲线,向下平移,1,个单位,.,,9,,y=sinx,y= 2sinx,x,y,O,2π,π,-π,-2π,1,-2,-1,-3π,2,2.,画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与,正弦曲线,的区别和联系,:,(2) y=2sinx.,y=2sinx,的图象可由正弦曲线上的每一点的,纵坐标变为原来的,2,倍，横坐标不变,.,,10,,2.,画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与,余弦曲线,的区别和联系,:,,(1) y= 1+cosx,；,(2) y=cos(x+ ).,y=1+cosx,的图象可由,余弦曲线,向上平移,1,个单位,.,可由,余弦曲线,上每一点向左平移 个单位得到,.,y= 1+cosx,y=cosx,x,y,O,2π,π,-π,-2π,1,2,y=cosx,y= cos(x+ ),x,y,O,2π,π,-π,-2π,1,,11,,周期性的有关概念：,那么函数,f(x),就叫做周期函数,(periodic function),，非零常数,T,叫做这个函数的周期,(period).,一般地对于函数,f(x),，,如果存在,一个非零常数,T,，使得定义域内的,每一个,x,值，都满足,f(x+T)= f(x),最小正周期：,对一个周期函数,f(x),的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周期,.,正弦函数和余弦函数都是周期函数，,2kπ (k∈z,且,k≠0),都是它们的周期，它们最小的正周期都是,2π;,正切函数也是周期函数，其,最小的正,周期是,π,.,1.4.2,正弦函数、余弦函数的性质,,12,,说明,:,①,当,函数对于,自变量的一切值,每增加或减少一个定值,，,函数值就重复出现时,，,这个函数就叫做周期函数,.,②,设,f(x),是定义在实数集,D,上的函数,，,若存在一个,,常数,T( T≠0),，,具有下列性质,:,,,(1),对于,任何的,,x∈D,，,有,(,x±T)∈D,；,,,(2),对于,任何的,,x∈D,，,有,f(,x+T)=f(x),成立，则,f(x),,叫做周期函数,.,③,若,函数,f(x),不是当,x,取定义域内的,“,每一个值,”,时,，,都,有,f(,x+T)= f(x),成立，则,T,就不是,f(x),周期,.,今后本书所说的周期，如果不加特别说明，,,一般都是指函数的最小的正周期,.,,13,,⑤,要重视,,“ T≠0”,且为常数这一条件，,,若,T=0,，,则,f(,x+T)=f(x),恒成立，函数值不变没有研究价值；若,T,为变数，则,失去了周期的,意义,.,一般地，,函数,y=Asin(ωx+φ),，,y=Acos(ωx+φ),,(,其中,A,，,ω,，,φ,为常数，且,A≠0,，,ω>0),的周期,若,函数,y=f(x),的周期为,T,，则,y=Af(ωx+φ),的周期为,，,(,其中,A,，,ω,，,φ,为常数,,,且,A≠0,，,ω≠0),④,若在,函数的定义域内至少能找到一个,x,,，使,f(,x+T)= f(x),不成立，我们就断然函数,f(x),不是,周期,,函数或,T,不是函数,f(x),的周期,.,,14,,y=sinx (x,R),,,y=cosx (x,R),,定义域,值 域,周期性,x,R.,y,[ - 1, 1 ].,T = 2.,我们得到正弦、余弦函数,定义域、值域、周期,:,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,y=sinx,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,y=cosx,,15,,正弦、余弦函数的奇偶性,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,y=sinx,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,sin(,－,x)=,－,sinx,,y=sinx,是奇函数,cos(,－,x)= cosx,,y=cosx,是偶函数,定义域关于 原点对称,,y=sinx,,16,,正弦函数的单调性,,,？？,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,y=sinx (x,R),x,,…,0,…,,…,π,…,,sinx,－,1,,0,,1,,0,,－,1,增区间为 ，,,其值从,,－,1,增至,1.,减区间为 ，,,其值从,,1,增至,－,,1.,,17,,余弦函数的单调性,,,y=cosx (x,R),y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,x,-π,…,,…,0,…,,…,π,cosx,－,1,,0,,1,,0,,－,1,,？？,增区间为,[,－,π,，,0],,，,其值从,,－,1,增至,1.,减区间为,[,0,，,,－,π,],，,其值从,,1,增至,－,,1.,[,－,π+2kπ,，,2kπ],，,(k∈z),[2kπ,，,2kπ+π],，,(k∈z),,18,,正弦、余弦函数的对称轴、对称中心,:,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,y=sinx,y,x,O,1,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,y=cosx,,对称轴,对称中心,y=sinx,,,y=cosx,,,函数,轴、中心,,19,,x,0,,π,,2π,cosx,1,0,－,1,0,1,2cosx,2,0,－,2,0,2,(1),先用,“五点法”画一个周期的图象，,列表,:,例,1,用“五点法”画出下列函数的简图：,,(1) y=2cosx x∈R (2) y=sin2x x∈R,描点画图，然后由周期性得整个图象,(,如图所示,),x,O,2,-1,π,2π,4π,-π,-2π,3π,-2,1,y,y=2cosx,y=cosx,两图象有何关系？,,20,,例,2,求下列函数的最大值及取得最大值时自变量,,,x,的集合：,,(1) y=cos,；,解,,函数的,y=cos,的最大值为,1,，,因为使,cosz,取得最大值的,z,的集合为,:,,{z|z=2kπ,，,k∈z},，,令,z =,，,由于,=2kπ,，,得,x= 6kπ.,所以，使函数,y=cos,取得最大值时自变量,x,的集,,合为,:,{z | z = 6kπ,，,k∈z}.,练习,,函数,y=sinx,的值域是,( ),,A.[,－,1, 1] B. [,，,1] C. D.,B,,21,,解,,函数的,y=2,－,sin2x,的最大值为,2,－,(,－,1)=3,，,因为使,sinz,取得最小值的,z,的集合为,:,令,z =2x,，,由于,2x= +2kπ,，,得,所以，使函数,y=2,－,sin2x,取得最小值时自变量,x,,,的集合为,:,例,2,求下列函数的最大值及取得最大值时自变量,,,x,的集合：,(2) y=2,－,sin2x.,练习,,求下列函数的最小值及取得最小值时自变量,,,x,的集合：,(1) y=,－,2sinx,；,(2) y=2,－,cos,,22,,例,3,不通过求值，指出下列各式大于,0,还是小于,0,,,(1) sin( ) – sin( ) ; (2) cos( ) – cos( ),又,y=sinx,,在 上是增函数，,又,y=cosx,,在,[0,，,π],上是减函数,解,(1),,23,,,(1) sin250,0,>sin260,0,; (2) cos,>,cos,练习,1,不,求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小,:,,,(1) sin250,0,,与,,sin260,0,; (2) cos,与,,cos,练习,2,,利用函数的性质,，比较下列各题中两个三角函数值的大小,:,,,(1) sin103,0,45,′,与,,sin sin164,0,30,′,;,,(2) sin508,0,与,,sin144,0,;,,(3) cos760,0,与,,cos(,－,770,0,),；,,,(4) cos,与,,cos .,,(4) cos >cos,sin103,0,45,′>,sin sin164,0,30,′,(2) sin508,0,<,,sin144,0,(3) cos760,0,,>cos(,－,770,0,),,24,,解,,(1),,y=2sin(,－,x ) =,－,2sinx,，,例,4,,求下列函数的单调区间：,,,(1) y=2sin(,－,x ),；,(2) y=sin(2x+,,),,所以单调增区间为,:,函数在 上单调递增,.,∴,函数在 上单调递减，,单调减区间为,:,,25,,例,4,,求下列函数的单调区间：,(2) y=sin(2x+,,),,所以单调增区间为,:,单调减区间为,:,解,,(2),,令,z,=,2x +,，,函数,y=sinz,的单调增区间为,:,函数,y=sinz,的单调减区间为,:,,26,,所以单调增区间为,:,(3) y = sin(x + ),；,解,,(3),,令,z,=,x +,，,函数,y=sinz,的单调增区间为,:,函数,y=sinz,的单调减区间为,:,所以单调减区间为,:,,27,,1.,了解正弦函数图象,(,代数描点法、几何描点,,法,),、余弦函数图象,(,代数描点法、几何描点法、平移变换法,),的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外余弦数图象还可由平移变换法得出．这节课讲授的“五点法”是比较常用的方法，应重点掌握．,2.,掌握正、余弦函数的性质：定义域、值域、,,周期性、奇偶性、单调性，对称轴、对称中心，会求最小正周期,.,回顾总结,求函数的单调区间：,①,,直接利用相关性质；,②,,复合函数的单调性；,③,,利用图象寻找单调区间,.,,28,,3.,,正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,函数,奇偶性,单调性,(,单调区间,),正弦,,函数,,,余弦,,函数,,,奇函数,偶函数,[,－,π+2kπ,，,2kπ],，,(k∈z),[2kπ,，,2kπ+π],，,(k∈z),,对称轴,对称中心,y=sinx,,,y=cosx,,,函数,轴、中心,,29,,作 业,:,教材,P,45,,,习题,1.3,,第,2,—,,6,题,爱拼才会赢！,,30,,O,1,-1,x,y,y=sinx,y=|sinx|,探究拓展,1.,,求函数,y=|sinx|,的单调区间,探究拓展,,2.,求函数,y=|sin(x+ )|,的单调区间,探究拓展,,3.,求下列函数的定义域：,,31,,。