《指数、对数、幂函数总结归纳》.doc

指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.　2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．　3．理解对数的概念及其运算性质．　4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.　5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.　6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1). 【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：3．运算法则当a＞0,b＞0时有：（1）；（2）；（3）；（4）.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.要点二、根式的概念和运算法则1．n次方根的定义：若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根，即x=.n为奇数时， y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.2．两个等式（1）当且时，；（2）要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．②如果，则是个常量，就没研究的必要了。

而a=0时y=0没意义．要点二、指数函数的图象：y=ax01时图象----图象要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论2）指数函数与的图象关于轴对称要点三、指数函数底数变化与图像分布规律① ② ③ ④ 则：0＜b＜a＜1＜d＜c观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点（0,1）又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大） x∈(－∞,0)时，（底小幂小）要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法：(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a¹1， N>0， bÎR.2.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .要点二、对数的运算法则已知(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：错误1：loga(M±N)=logaM±logaN， 错误2： (M·N)=logaM·logaN，要点三、对数公式1．对数恒等式：2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:(1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 则所以得出结论:.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.对数函数及其性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．要点诠释：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论要点二、对数函数的图象0＜a＜1a＞1图象要点诠释：（1）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.（2）以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.（3）由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，a越接近1，图象越陡，a越远离1，图象越平缓这刚好和指数函数的规律相反 所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡要点四、反函数1．反函数的定义一般地，设y=f(x)(x∈A)的是B，根据这个函数中x、 y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y)若对于y在B中的任何一个值，通过x= g(y) （这时候x= g(y)里面的y是，x是），x在A中都有唯一的值和它对应，那么这个函数x= g(y)(x∈B)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。

反函数y=f -1  (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f-1 (x)的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f-1 (x)的定义域．由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数变化关系如右图： 要点诠释： 不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x2．一般说来，单调函数有反函数．2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．幂函数及图象变换【要点梳理】要点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中x是自变量， 为常数.要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质各种幂函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．要点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：的图象变换，（1）平移变换y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（）、右（）平移y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（）、下（）平移（2）对称变换y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称y=f(x)→ 图象关于直线y=x对称（3）翻折变换： y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数） y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称指数函数、对数函数、幂函数配置习题指数幂的概念与运算1.求下列各式的值：（1）.。