证明：质量均匀分布的球壳对球内任一点的引力为零23.doc

质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零晋江一中物理组 庄新恭 2013-6-5 证明如下： 如图，质量均匀分布的球壳（绿色部分） ， 在其内部任放一质点 P，过 P 作一条直线A1A2´，以这条直线为母线，以很小的 Ω 为立体角旋转一周得两圆锥两圆锥截得 两块“球皮”A1A1´和 A2A2´，现证明这 两块“球皮”对质点 P 的引力的合力为零首先，由于两块“球皮”很小，而且 立体角 Ω 很小（或者说圆锥的顶角很小） ， 所以由图易知，P 所受两“球皮”的引力 的方向必相反故只须再证明 P 所受两 “球皮”的引力大小相等为此—— 设 P 点所放质点的质量为 m，两“球皮” 的面积分别为 ΔS1和 ΔS2，球壳的质量面密度为 σ， 两“球皮”到 P 点的距离分别为 r1和 r2，由万有引力定律可得 P 点所放质点 m 受到的两个引力大小分别为和1 12 1mSFGrg g2 22 2mSFGrg g过 P 点沿两圆锥轴线作虚线（蓝色）分别交两“球皮”于 A1´´和 A2´´两点，这条直 线与两半径的夹角均为 θ（为什么） ，如图所示。

现将 ΔS1投影到与直线 A1´´A2´´垂直 的平面上，即投影到图中过 A1点且与直线 A1´´A2´´垂直的平面上因立体角——圆锥顶 角很小，所以投影平面面积与球冠面积相等所以投影得到一球冠，面积为ΔS1·cosθ（为什么？自己想想！） 同样的，将 ΔS2投影到过 A2点的平面上，得到另一 球冠，它的面积为 ΔS2·cosθ根据球冠的面积公式可得与球冠222cos21 cosSRhR RRR对应（的圆锥的）立体角为显然，这一立体角与球的半径221 cosS R R、球冠的高度 h 均无关，仅与圆锥的顶角的一半有关对比平面弧度角与圆的半径无 关，可以更好地加以理解万事具备，只欠——1 1111 22cos coscosmSmmFGGGrrS gg gg gg gA1A1´A1´´A2A2´A2´´POΩΩθθr1r22 2222 22cos coscosmSmmFGGGrrS gg gg gg g因为两个圆锥的顶角相等，从而两个立体角 Ω 相等，从而 F1与 F2大小相等这样，我 们就证明了两块“球皮”ΔS1和 ΔS2对放在 P 点质点 m 的引力的合力为零； 而整个球壳可分解成这样一对对的“球皮” ，每一对“球皮”对放在任意点 P 的质点的引力的合力均为零；所以，质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零！！为零！！OK~~呼呼~~~附录：附录：“球冠面积”与“立体角 Ω” ，将下图立体想象起来。

Rααh222cos21 cosSRhR RRR221 cosS R 式中，R 为球的半径，h 为球冠的高度，α 为与球冠对应的圆锥的半顶角。