A版版函数与导数数学全品理科人教A 目 录目 录 第4讲 函数及其表示 第5讲 函数的单调性与最值 第6讲 函数的奇偶性和周期性 第7讲 二次函数 第8讲 指数与指数函数 第9讲 对数与对数函数 第10讲 幂函数与函数的图象 第二单元 函数与导数第二单元 函数与导数函数与导数数学全品理科人教A 第11讲 函数与方程 第12讲 函数模型及其应用 第13讲 导数及其运算 第14讲 导数的应用 第15讲 定积分与微积分基本定理 函数与导数数学全品理科人教A 第二单元 函数与导数第二单元 函数与导数 函数与导数数学全品理科人教A 知识框架第二单元第二单元 │ 知识框架知识框架函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 知识框架知识框架函数与导数数学全品理科人教A 考纲要求第二单元第二单元 │ 考纲要求考纲要求 1 1．函数概念与基本初等函数．函数概念与基本初等函数Ⅰ(Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函指数函数、对数函数、幂函数数) ) (1) (1)函数函数 ① ①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．域；了解映射的概念． ② ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法( (如图如图象法、列表法、解析法象法、列表法、解析法) )表示函数．表示函数． ③ ③了解简单的分段函数，并能简单应用．了解简单的分段函数，并能简单应用． ④ ④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．合具体函数，了解函数奇偶性的含义． ⑤ ⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质．会运用函数图象理解和研究函数的性质．函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 考纲要求考纲要求 (2)指数函数指数函数 ①①了解指数函数模型的实际背景．了解指数函数模型的实际背景． ②②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．握幂的运算． ③③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．指数函数图象通过的特殊点． ④④知道指数函数是一类重要的函数模型．知道指数函数是一类重要的函数模型．函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 考纲要求考纲要求函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 考纲要求考纲要求函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 考纲要求考纲要求 (5)函数与方程函数与方程 ①①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ②②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．解． (6)函数模型及其应用函数模型及其应用 ①①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． ②②了解函数模型了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．的广泛应用．函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 考纲要求考纲要求 2．导数及其应用．导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义导数概念及其几何意义 ①①了解导数概念的实际背景．了解导数概念的实际背景． ②②理解导数的几何意义．理解导数的几何意义．函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 考纲要求考纲要求函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 考纲要求考纲要求 (3)导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 ①①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次其中多项式函数一般不超过三次). ②②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超其中多项式函数一般不超过三次过三次)．． (4)生活中的优化问题生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．会利用导数解决某些实际问题． (5)定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 ①①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；积分的概念； ②②了解微积分定理的含义．了解微积分定理的含义．函数与导数数学全品理科人教A 命题趋势第二单元第二单元 │ 命题趋势命题趋势 纵观近几年新课标各省市的高考试卷，函数的主干知识、函纵观近几年新课标各省市的高考试卷，函数的主干知识、函数的综合应用函数与导数以及函数与方程的重要思想方法的考查，数的综合应用函数与导数以及函数与方程的重要思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中都有一直是高考的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中都有函数试题，其特点是：稳中求变，变中求新、新中求活，试题设函数试题，其特点是：稳中求变，变中求新、新中求活，试题设计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题，也有挖掘本质，计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题，也有挖掘本质，活用性质，出现了不少创新情境、新定义的信息试题，以及与实活用性质，出现了不少创新情境、新定义的信息试题，以及与实际密切联系的应用题，和其他知识尤其是数列、不等式、几何等际密切联系的应用题，和其他知识尤其是数列、不等式、几何等知识交汇的热点试题．知识交汇的热点试题． 另外还具有以下特点：另外还具有以下特点：函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 命题趋势命题趋势 1．以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的．以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数；概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数； 2．把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合，重点．把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合，重点考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力；考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力； 3．突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待．突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待定系数法、配方法、构造法等数学思想方法；定系数法、配方法、构造法等数学思想方法； 4．在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何．在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等研究函数的单调性、极值和最值等)；； 5．在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应．在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论，转化化归等思想．查学生的分类讨论，转化化归等思想．函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 命题趋势命题趋势 函函数数是是高高中中数数学学的的主主要要内内容容，，它它把把中中学学数数学学的的各各个个分分支支紧紧密密地地联联系系在在一一起起，，是是中中学学数数学学全全部部内内容容的的主主线线，，预预测测2012年年高高考考在在选选择择题题、、填填空空题题中中主主要要考考查查函函数数的的概概念念、、性性质质和和图图象象、、导导数数的的概概念念及及运运算算，，解解答答题题主主要要以以函函数数为为背背景景，，与与导导数数、、不不等等式式、、数数列列、、甚甚至至解解析析几几何何等等知知识识相相整整合合设设计计试试题题，，考考查查函函数数知知识识的的综综合合应应．．预预测测2012年年高高考考试试题题对对本本部部分分内内容容的的考考查查将将以以小小题题和和大大题题的的形形式式出出现现，，小小题题主主要要考考查查导导数数的的概概念念、、几几何何意意义义、、导导数数的的运运算算，，大大题题主主要要以以函函数数为为背背景景，，以以导导数数为为工工具具，，考考查查应应用用导导数数研研究究函函数数的的单单调调性性、、极极值值或或最最值值问问题题，，在在函函数数、、不不等等式式、、解解析析几几何何等等知知识识网网络络交汇点命题．交汇点命题．函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 使用建议使用建议函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 使用建议使用建议函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 使用建议使用建议函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 使用建议使用建议函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 使用建议使用建议函数与导数数学全品理科人教A 第二单元第二单元 │ 使用建议使用建议函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 函数及其表示函数及其表示 第第4讲 函数及其表示讲 函数及其表示 函数与导数数学全品理科人教A 知识梳理第第4讲讲 │ 知识梳理知识梳理1．函数．函数(1)函数的定义：设函数的定义：设A、、B都是非空的数集，如果按照某种确都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系定的对应关系f，使对于集合，使对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，在集合，在集合B中中都有都有_____________的的f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称f：：A→B为从为从集合集合A到集合到集合B的一个函数，记作的一个函数，记作y＝＝f(x)，，x∈ ∈A，其中，其中x叫做自叫做自变量，变量， x的取值范围的取值范围A叫做函数叫做函数f(x)的的________，与，与x的值相对的值相对应的应的y值叫做函数值，函数值的集合值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈ ∈A}叫做函数叫做函数f(x)的的______，显然，，显然，{f(x)|x∈ ∈A}⊆ ⊆B. (2)构成函数的三要素是：构成函数的三要素是：________、、__________、、______. (3)函数的表示方法：函数的表示方法：________、、________、、________.唯一确定唯一确定定义域定义域定义域定义域图象法图象法 值域值域值域值域 对应关系对应关系列表法列表法 解析法 解析法函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 知识梳理知识梳理 2．映射的定义：设．映射的定义：设A、、B是两个非空的集合，如果按照是两个非空的集合，如果按照___________的对应关系的对应关系f，使对于集合，使对于集合A中的中的_________元元素素x，在集合，在集合B中都有中都有________元素元素y和它对应，和它对应， 那么就称对那么就称对应应f：：A→B叫做从集合叫做从集合A到集合到集合B的一个映射．的一个映射．映射与函数的关系：函数是映射与函数的关系：函数是______的映射．的映射． 3．分段函数．分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x的不同的不同取值，取值，____________可以不止一个，即对应法则可以不止一个，即对应法则“f”是分几段是分几段给出表达的，它是一个函数，不是几个函数．给出表达的，它是一个函数，不是几个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值，其值域等于各段函数的值域的域等于各段函数的值域的______．．4．函数解析式的求法．函数解析式的求法求函数解析式的常用方法：求函数解析式的常用方法：___________、、_______、、 ______、赋值法和函数方程法．、赋值法和函数方程法．某一种确定某一种确定任意一个任意一个唯一的唯一的特殊特殊表示的式子表示的式子并集并集并集并集待定系数法待定系数法换元法换元法配方法配方法函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 知识梳理知识梳理5 5．常见函数定义域的求法．常见函数定义域的求法(1)(1)整式函数的定义域为整式函数的定义域为____________________；；(2)(2)分式函数的分母不得为分式函数的分母不得为________；；(3)(3)开偶次方根的函数被开方数为开偶次方根的函数被开方数为________________；；(4)(4)对数函数的真数必须对数函数的真数必须______________；；(5)(5)指数函数与对数函数的底数必须指数函数与对数函数的底数必须________________________________；；(6)(6)三角函数中的正切函数三角函数中的正切函数y y＝＝tantanx x，，x x∈∈R R，且，且x x≠____________≠____________；；(7)(7)如果函数是如果函数是________________________确定的解析式，应依据自变量的实确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围；际意义确定其取值范围；(8)(8)对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的范围；对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的范围；(9)(9)对于复合函数对于复合函数y y＝＝f f[ [g g( (x x)])]，若已知，若已知f f( (x x) )的定义域为的定义域为[ [a a，，b b] ]，，其复合函数其复合函数f f[ [g g( (x x)])]的定义域是不等式的定义域是不等式__________的解集．的解集． 全体实数全体实数非负数非负数零零大于零大于零大于零且不等于大于零且不等于1实际意义实际意义a≤g(x)≤b函数与导数数学全品理科人教A 要点探究► 探究点 探究点1 函数与映射的概念 函数与映射的概念第第4讲讲 │ 要点探究要点探究 例例1 已知集合已知集合A ＝＝{1,2,3,4}，，B＝＝{5,6,7}，在下列，在下列A到到B的四的四种对应关系中，构成种对应关系中，构成A到到B的函数的是的函数的是________．．图4－1函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究 [思路思路]利用函数的定义中的两个条件判断对应是否为函数．利用函数的定义中的两个条件判断对应是否为函数． (1)(3) [解析解析] 对于对于(1)，集合，集合A中的每一个元素在中的每一个元素在B中都有唯中都有唯一的元素与之对应，因此一的元素与之对应，因此(1)是函数；对于是函数；对于(2)，集合，集合A中的元素中的元素4在在B中没有元素与之对应，因此中没有元素与之对应，因此(2)不是函数；对于不是函数；对于(3)，集合，集合A中中的每一个元素在的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，因此中都有唯一的元素与之对应，因此(3)是函数；是函数；对于对于(4)，集合，集合A中的元素中的元素3在在B中有两个元素与之对应，因此中有两个元素与之对应，因此(4)不不是函数．是函数． [点评点评] 判断一个对应关系是否是映射或函数关系，关键抓住判断一个对应关系是否是映射或函数关系，关键抓住两个关键词两个关键词“任意任意”、、“唯一唯一”，即，即x的任意性和的任意性和y的唯一性，判断一的唯一性，判断一个图象是否是函数图象也是如此，如：个图象是否是函数图象也是如此，如：函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究 设设M＝＝{x|0≤x≤2}，，N＝＝{y|0≤y≤2}，给出图，给出图4－－2中四中四个图形，其中能表示从集合个图形，其中能表示从集合M到集合到集合N的函数关系的有的函数关系的有图图4－－2A．．0个个 B．．1个个 C．．2个个 D．．3个个函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究B [解析解析] 根据函数的定义逐一判断．根据函数的定义逐一判断．对于图对于图(a)，，M中属于中属于(1,2]的元素，在的元素，在N中没有元素有它对应，中没有元素有它对应，不符合定义；不符合定义； 对于图对于图(b)，，M中任何元素，在中任何元素，在N中都有唯一的元素和它中都有唯一的元素和它对应，符合定义；对应，符合定义； 对于图对于图(c)，与，与M对应的一部分元素不属于对应的一部分元素不属于N，不符合定，不符合定义；义；对于图对于图(d)，，M中属于中属于[0,2)的元素，在的元素，在N中有两个元素与之对中有两个元素与之对应，不符合定义，应，不符合定义， 由上分析可知，应选由上分析可知，应选B.函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究► 探究点探究点2 函数的定义域的求法 函数的定义域的求法函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A ► 探究点 探究点3 函数的值域的求法 函数的值域的求法第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究► 探究点 探究点4 函数的值域的求法 函数的值域的求法函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究► 探究点 探究点5 分段函数 分段函数函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 规律总结规律总结规律总结 1．判断一个对应是否为映射关键看是否满足．判断一个对应是否为映射关键看是否满足“集合集合A中元素中元素的任意性，集合的任意性，集合B中元素的唯一性中元素的唯一性”；判断是否为函数一看是否为；判断是否为函数一看是否为映射；二看映射；二看A、、B是否为非空数集．是否为非空数集． 2．求函数解析式常用的方法有：．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；待定系数法；(2)换元法；换元法；(3)配凑法；配凑法；(4)消参法．消参法． 3．求函数定义域常有三类问题：．求函数定义域常有三类问题： (1)给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量取值的集合；变量取值的集合； (2)实际问题：函数的定义域的求解，除要考虑解析式有意义实际问题：函数的定义域的求解，除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；外，还应考虑使实际问题有意义；函数与导数数学全品理科人教A 第第4讲讲 │ 规律总结规律总结 (3)复合函数：已知复合函数：已知f(x)定义域求定义域求f(g(x))定义域或已知定义域或已知f(g(x))定义域求定义域求f(x)定义域问题，关键抓住一条：同一对应关系符号里定义域问题，关键抓住一条：同一对应关系符号里面式子范围相同，即面式子范围相同，即f(g(x))中中g(x)相当于相当于f(x)中的中的x. 4．解决分段函数问题既要紧扣．解决分段函数问题既要紧扣“分段分段”这个特征，又要将各这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化，还要注意每一区间端点的取值段有机联系使之整体化、系统化，还要注意每一区间端点的取值情况．情况．函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │函数的单调性与最值函数的单调性与最值 第第5讲 函数的单调性与最值讲 函数的单调性与最值 函数与导数数学全品理科人教A 增函数增函数第第5讲讲 │知识梳理知识梳理知识梳理减函数减函数增函数增函数减函数减函数函数与导数数学全品理科人教A (3)设复合函数设复合函数y＝＝f，其中，其中u＝＝g(x)．如果．如果y＝＝f(u)和和u＝＝g(x)的单调性相同，那么的单调性相同，那么y＝＝f是是____函数；如果函数；如果y＝＝f(u)和和u＝＝g(x)的的单调性相反，那么单调性相反，那么y＝＝f是是____函数．函数． (4)利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性的一般上的单调性的一般步骤：步骤：①①任取任取x1，，x2∈∈D，且，且x10，则函数，则函数y＝＝f(x)为区间为区间I上的上的______，若，若f′(x)<0，则函数，则函数y＝＝f(x)为区间为区间I上上的的______；；④④运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝______，减函，减函数＋减函数＝数＋减函数＝______；；⑤⑤复合函数单调性的判断方法：复合函数单调性的判断方法：“同增异减同增异减”，即若，即若y＝＝f(x)和和u＝＝g(x)的单调性相同，则函数的单调性相同，则函数y＝＝f(g(x))是是_______，若，若y＝＝f(x)和和u＝＝g(x)的单调性相反，则函数的单调性相反，则函数y＝＝f(g(x))是是______；；第第5讲讲 │知识梳理知识梳理增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数增函数增函数函数与导数数学全品理科人教A (6)简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性_______，偶函数在其关于原点对称区间上的单调性，偶函数在其关于原点对称区间上的单调性_______．． 2．函数的最值．函数的最值对于函数对于函数f(x)，假定其定义域为，假定其定义域为A，则，则(1)若存在若存在x0∈∈A，使得对于任意，使得对于任意x∈∈A，恒有，恒有f(x)≥f(x0)成立，则称成立，则称f(x0)是函数是函数f(x)的的________；；(2)若存在若存在x0∈∈A，使得对于任意，使得对于任意x∈∈A，恒有，恒有f(x)≤f(x0)成立，则称成立，则称f(x0)是函数是函数f(x)的的_________．．第第5讲讲 │知识梳理知识梳理最小值最小值最大值最大值相同相同相反相反函数与导数数学全品理科人教A 要点探究► 探究点 探究点1 判断、证明函数的单调性 判断、证明函数的单调性第第5讲讲 │要点探究要点探究 例例1 [ 2010·黄浦模拟黄浦模拟] 已知已知a、、b是正整数，函数是正整数，函数f(x)＝＝ax＋＋(x≠－－b)的图象经过点的图象经过点(1,3)．．(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)判断函数判断函数f(x)在在(－－1,0]上的单调性，并用单调性定义证明上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．你的结论．函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │ 要点探究要点探究 判断函数判断函数f(x)＝＝x＋＋(a≠0)在区间上的单调性，并用在区间上的单调性，并用定义加以证明．定义加以证明．函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A ► 探究点 探究点2 抽象函数与复合函数的单调 抽象函数与复合函数的单调性性第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │ 要点探究要点探究图图5－－1 函数与导数数学全品理科人教A ► 探究点 探究点3 与单调性有关的参数问题 与单调性有关的参数问题第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A ► 探究点 探究点4 利用函数单调性求最值 利用函数单调性求最值第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │规律总结规律总结函数与导数数学全品理科人教A 第第5讲讲 │规律总结规律总结函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性 第第6讲 函数的奇偶性和周期性讲 函数的奇偶性和周期性函数与导数数学全品理科人教A 知识梳理第第6讲讲 │ 知识梳理知识梳理 1．函数的奇偶性．函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义 如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内的任意定义域内的任意x都有都有_____________，则称，则称f(x)为奇函数；如果对于函数为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意定义域内的任意x都有都有__________，则称，则称f(x)为偶函数．为偶函数．如果函数如果函数f(x)不具有上述性质，则不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性；如果不具有奇偶性；如果函数同时具有上述两条性质，则函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是既是________，又是，又是________．．f(－－x)＝＝f(x)奇函数奇函数偶函数偶函数f(－－x)＝＝ －－ f(x)函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 知识梳理知识梳理 (2)利用定义判断函数奇偶性的步骤利用定义判断函数奇偶性的步骤 ①①首先确定首先确定______________，并判断其定义域是否关于，并判断其定义域是否关于_____对称；对称； ②②确定确定______与与_____的关系；的关系； ③③作出相应结论：若作出相应结论：若f(－－x)＝＝f(x)或或f(－－x)－－f(x)＝＝0，则，则f(x)是偶函数；若是偶函数；若 f(－－x) ＝－＝－ f(x)或或f(－－x) ＋＋ f(x) ＝＝0，则，则f(x)是奇函数是奇函数函数的定义域函数的定义域原点原点f(－－x)f(x)函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 知识梳理知识梳理 (3)函数奇偶性的简单性质函数奇偶性的简单性质①①奇函数的图象关于奇函数的图象关于_____对称；偶函数的图象关于对称；偶函数的图象关于_____对称；对称；②②在定义域的公共部分内，两个奇函数之积在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商商)为为________；两个偶函数之积；两个偶函数之积(商商)也是也是________；一奇一偶函数之积；一奇一偶函数之积(商商)为为________(注：取商时应使分母不为注：取商时应使分母不为0)；；③③奇奇(偶偶)函数有关定义的等价形式：函数有关定义的等价形式：f(－－x)＝＝-f(x) f(－－x) + f(x) ＝＝0( ) (f(x) ≠0)；；④④若函数若函数y＝＝ f(x)是奇函数且是奇函数且0是定义域内的值，则是定义域内的值，则f(0)＝＝__；若函数；若函数f(x)是偶函数，则有是偶函数，则有f(|x|)＝＝ f(x) ．．原点原点y轴轴偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数0函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 知识梳理知识梳理 (4)一些重要类型的奇偶函数一些重要类型的奇偶函数 ①①函数函数f(x) ＝＝ax＋＋a－－x(a>0且且a≠1)为为____函数，函数函数，函数f(x) ＝＝ax－－a－－x(a>0且且a≠1)为为____函数；函数； ②②函数函数f(x) ＝＝loga (a>0，且，且a≠1)为奇函数；为奇函数； ③③ f(x) ＝＝loga(x＋＋ )(a>0，且，且a≠1)为奇函数为奇函数偶偶奇奇函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 知识梳理知识梳理f(x＋＋T)＝＝f(x) 2．周期性．周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域，使得对于函数定义域内的任意内的任意x，都有，都有____________，则称，则称f(x)为周期函数，其为周期函数，其中中T称为称为f(x)的周期．若的周期．若T中存在一个最小的正数，则称它为中存在一个最小的正数，则称它为f(x)的的____________．． (2)性质：性质：①①f(x＋＋T)＝＝ f(x)常常写作常常写作f ＝＝f ；； ②② f(x)的周期为的周期为T，则函数，则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周也是周期函数，且周期为期为____．．最小正周期最小正周期函数与导数数学全品理科人教A 要点探究► 探究点 探究点1 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性第第6讲讲 │ 要点探究要点探究例例1 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究 [点评点评]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的定义域不关于原解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，再判点对称，则函数不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，再判断断f(－－x)与与f(x)的关系；若定义域关于原点对称，且函数的解析的关系；若定义域关于原点对称，且函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程(要要保证定义域不变保证定义域不变)．．函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究例例2 (2)[2010·保定模拟保定模拟] 已知函数已知函数y＝＝f(x)是定义在是定义在R上的不上的不恒为零的函数，且对于任意恒为零的函数，且对于任意x1，，x2∈∈R，都有，都有f(x1·x2)＝＝x1f(x2)＋＋x2f(x1)，则对函数，则对函数f(x)，下列判断正确的是，下列判断正确的是( )A．． f(x)为奇函数为奇函数B．． f(x)为偶函数为偶函数C．． f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数D．． f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究 [思路思路] (1)分段函数的奇偶性，要将分段函数的奇偶性，要将x在每一段的情况都要在每一段的情况都要验证，然后在整个定义域内得出验证，然后在整个定义域内得出f(－－x)与与f(x)的关系．的关系． (2)对对x1，，x2合理赋值，利用函数的性质和已知条件，判断合理赋值，利用函数的性质和已知条件，判断f(x)与与f(－－x)的关系的关系．．函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究► 探究点 探究点2 函数奇偶性的性质及其应用函数奇偶性的性质及其应用例例3 [2010·广州模拟广州模拟] 已知已知f(x)是是R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x>0时，时，f(x)＝＝x2－－x－－1，求，求f(x)的解析式．的解析式．函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究 [2010·江苏卷江苏卷] 设函数设函数f(x)＝＝x(ex＋＋ae－－x)(x∈∈R)是偶是偶函数，则实数函数，则实数a＝＝______. [思路思路] 利用奇偶函数的性质，得到参数利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方程满足的方程．． －－1 [解析解析] 本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在高考考纲中为知识点在高考考纲中为B级要求．级要求．设设g(x)＝＝ex＋＋ae－－x，，x∈∈R，由题意分析，由题意分析g(x)应为奇函数应为奇函数(奇函奇函数数×奇函数＝偶函数奇函数＝偶函数)，，∵∵x∈∈R，，∴∴g(0)＝＝0，则，则1＋＋a＝＝0，所以，所以a＝－＝－1.函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究► 探究点 探究点3 函数的周期性函数的周期性函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究► 探究点 探究点4 函数性质的综合应用函数性质的综合应用函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 要点探究要点探究 [点评点评]周期函数的研究方法是先研究周期函数在一个周期周期函数的研究方法是先研究周期函数在一个周期上的性质，再将它拓展到整个定义域上，这样，可简化对函数上的性质，再将它拓展到整个定义域上，这样，可简化对函数的研究．的研究．函数与导数数学全品理科人教A 第第6讲讲 │ 规律总结规律总结规律总结 1．判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对．判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再将称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再将f(－－x)与与f(x)比较，得出结论．其中，分段函数的奇偶性应分段证明比较，得出结论．其中，分段函数的奇偶性应分段证明f(－－x)与与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇奇偶偶性．性． 2．利用函数的奇偶性、周期性把研究整个定义域内具有的性．利用函数的奇偶性、周期性把研究整个定义域内具有的性质问题转化到只研究部分质问题转化到只研究部分(一半一半)区间上的问题，是简化问题的一种区间上的问题，是简化问题的一种途径．途径． 3．函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运．函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运用函数的奇偶性就是运用函数图象的对称性．用函数的奇偶性就是运用函数图象的对称性． 4．要善于发现函数特征，图象特征，运用数形结合，定向转．要善于发现函数特征，图象特征，运用数形结合，定向转化，分类讨论的思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，化，分类讨论的思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，既快又准．既快又准． 函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 二二次函数次函数 第第7讲 讲 二次函数二次函数函数与导数数学全品理科人教A 知识梳理第第7讲讲 │ 知识梳理知识梳理 1 1．二次函数的解析式的三种形式．二次函数的解析式的三种形式 (1) (1)一般式：一般式：________________________________________________；； (2) (2)顶点式：顶点式：________________________________________________；； (3) (3)两根式：两根式：____________________________.____________________________.f(x)＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a≠0)f(x) ＝＝a(x－－m)2＋＋n(a≠0)f(x) ＝＝a(x－－x1)(x－－x2)(a≠0)函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 知识梳理知识梳理 2．二次函数．二次函数f(x)＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a≠0)配方法的步骤配方法的步骤f(x) ＝＝___________＝＝______________＝＝ 二次函数二次函数f(x) ＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，的图象是一条抛物线，对称轴方程为对称轴方程为________，顶点坐标是，顶点坐标是______________；当；当a＞＞0时，开口向上，当时，开口向上，当a＜＜0时，开口向下．时，开口向下．函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 知识梳理知识梳理函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 知识梳理知识梳理函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 知识梳理知识梳理函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 知识梳理知识梳理函数与导数数学全品理科人教A 要点探究► 探究点 探究点1 求二次函数的解析式求二次函数的解析式第第7讲讲 │ 要点探究要点探究 例例 1 已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(2)＝－＝－1，，f(－－1)＝－＝－1，且，且f(x)的的最大值为最大值为8，试确定此二次函数的解析式．，试确定此二次函数的解析式．函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究 [点评点评] 二次函数的解析式有三种形式，分别为一般式，二次函数的解析式有三种形式，分别为一般式，顶点式及两根式，一般情况下，若给出抛物线过某三个点，顶点式及两根式，一般情况下，若给出抛物线过某三个点，则选用一般式；若给出对称轴或顶点坐标，则选用顶点式；则选用一般式；若给出对称轴或顶点坐标，则选用顶点式；当给出抛物线与当给出抛物线与x轴的两交点坐标，一般选用两根式．学会轴的两交点坐标，一般选用两根式．学会根据题目的条件正确选择函数的解析式，从而简化运算，根据题目的条件正确选择函数的解析式，从而简化运算，如：如：函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究 (1)已知函数已知函数f(x)＝＝2x2＋＋bx＋＋c，当－，当－32时，时，f(x)>0，则，则b＝＝___，，c＝＝____.(2)二次函数二次函数f(x)，对任意的，对任意的x都有都有f(x) ≥f(1)＝－＝－2恒成立，且恒成立，且f(0)＝＝1，则，则f(x)＝＝___________.(3)已知已知f(x)是二次函数，且满足是二次函数，且满足f(x＋＋1)－－2f(x－－1)＝＝x2－－2x＋＋17，则，则f(x) ＝＝______________.2 2-12-123x2－－6x＋＋1－－x2－－4x－－28函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究► 探究点 探究点2 二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值例例 2 试求二次函数试求二次函数f(x)＝＝x2＋＋2ax＋＋3在区间在区间[1,2]上的最小值．上的最小值． [解答解答] f(x)＝＝x2＋＋2ax＋＋3＝＝(x＋＋a)2＋＋3－－a2.当－当－a<1，即，即a>－－1时，函数在区间时，函数在区间[1,2]上为增函数，故此时最小值上为增函数，故此时最小值为为f(1)＝＝2a＋＋4；；当当1≤－－a≤2，即－，即－2≤a≤－－1时，函数的最小值为时，函数的最小值为f(－－a)＝－＝－a2＋＋3；；当－当－a>2，即，即a<－－2时，函数在区间时，函数在区间[1,2]上为减函数，此时最小值为上为减函数，此时最小值为f(2)＝＝4a＋＋7.综上可知，当综上可知，当a<－－2时，最小值为时，最小值为4a＋＋7；当－；当－2≤a≤－－1时，最小值时，最小值为－为－a2＋＋3；当；当a>－－1时，最小值为时，最小值为2a＋＋4.函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究 已知函数已知函数f(x)＝－＝－x2＋＋2ax＋＋1－－a在在0≤x≤1上有最上有最大值大值2，求，求a的值的值．函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究 例例 3 已知函数已知函数f(x)＝＝ax2－－|x|＋＋2a－－1(a为实常数为实常数)．．(1)若若a＝＝1，作函数，作函数f(x)的图象；的图象；(2)设设f(x)在区间在区间[1,2]上的最小值为上的最小值为g(a)，求，求g(a)的表达式的表达式．．► 探究点 探究点3 二次函数的综合应用二次函数的综合应用[思路思路] 利用分类讨论思路，将函数转化为分段函数求解．利用分类讨论思路，将函数转化为分段函数求解．函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究 设函数设函数f(x)＝＝x2＋＋|2x－－a|(x∈∈R，，a为实数为实数)．．(1)若若f(x)为偶函数，求实数为偶函数，求实数a的值；的值；(2)设设a>2，求函数，求函数f(x)的最小值．的最小值．[思路思路] (1)利用函数奇偶性的定义得到利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式；满足的关系式；(2)利用分段函数的最值的求解方法解决．利用分段函数的最值的求解方法解决．函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第7讲讲 │ 规律总结规律总结规律总结 1．对二次函数的三种表示形式，要善于运用题目隐含条．对二次函数的三种表示形式，要善于运用题目隐含条件，恰当选择不同形式，简化运算．件，恰当选择不同形式，简化运算． 2．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程(统称三个统称三个二次二次)是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行转化，是准确迅速解决此类问题数方程的思想方法将它们进行转化，是准确迅速解决此类问题的关键．的关键． 3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或顶点处取得，对于在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定轴变区间定”和和“轴定区间变轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征两种情形，要借助二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与开口方向、对称轴与该区间的位置关系该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解．函数的单调性进行分类讨论和求解．函数与导数数学全品理科人教A 第第8讲讲 │ 指数与指数函数指数与指数函数第第8讲 讲 指数与指数函数指数与指数函数函数与导数数学全品理科人教A 知识梳理第第8讲讲 │ 知识梳理知识梳理1函数与导数数学全品理科人教A 第第8讲讲 │ 知识梳理知识梳理a 函数与导数数学全品理科人教A ar＋＋s 第第8讲讲 │ 知识梳理知识梳理(3)有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质①①aras＝＝______(a＞＞0，，r、、s∈ ∈Q)．．②②(ar)s＝＝______(a＞＞0，，r、、s∈ ∈Q)．．③③(ab)r＝＝______(a＞＞0，，b＞＞0，，r∈ ∈Q)．．arsarbr函数与导数数学全品理科人教A 第第8讲讲 │ 知识梳理知识梳理2 2．指数函数．指数函数指数函数指数函数定义式定义式y＝＝ax(0＜＜a＜＜1)y＝＝ax(a＞＞1)定义域定义域(－－∞，＋，＋∞)值域值域(0，＋，＋∞)图象图象性质性质过定点过定点(0,1)减函数减函数增函数增函数x≥0时，时，00且且a≠1，这是隐含条件．，这是隐含条件．(2)指数函数指数函数y＝＝ax的单调性与底数的单调性与底数a与与1的大小有关，当的大小有关，当底数底数a与与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．的大小关系不确定时应注意分类讨论．函数与导数数学全品理科人教A 第第8讲讲 │规律总结规律总结 (3)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同、指数不同时，构造同一指数函数，然后比较底数相同、指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同、底数不同时，构造两个指数函数，大小；当指数相同、底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；如果底数和指数都不同，利用中间利用图象比较大小；如果底数和指数都不同，利用中间变量变量0或或1比较大小．比较大小． (4)解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数与与1的大小不确定时，注意分类讨论．的大小不确定时，注意分类讨论．函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 对数与对数函数对数与对数函数第第9讲 对数与对数函数讲 对数与对数函数函数与导数数学全品理科人教A 知识梳理第第9讲讲 │ 知识梳理知识梳理logaN(a>0，，a≠1，，N>0)10 lgN e lnN函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 知识梳理知识梳理 logaM＋＋logaN logaM－－logaNnlogaM 函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 知识梳理知识梳理b0N函数与导数数学全品理科人教A 对数函数对数函数定义式定义式y＝＝logax(01)定义域定义域值域值域图象图象性质性质过定点过定点(1,0)减函数减函数增函数增函数x≥1时，时，y≤1；；0＜＜x＜＜1时，时，y＞＞0x≥1时，时，y≥0；；0＜＜x＜＜1时，时，y＜＜0y＝＝logax与与y＝＝ax的图象关于的图象关于y＝＝x对称对称第第9讲讲 │ 知识梳理知识梳理4 4．对数函数的图象和性质．对数函数的图象和性质函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 知识梳理知识梳理反函数反函数直线直线y＝＝x函数与导数数学全品理科人教A 要点探究► 探究点探究点1 对数式的化简与求值 对数式的化简与求值 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究例例1 1函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究 [思路思路] (1)熟练运用对数运算性质和法则进行运算；熟练运用对数运算性质和法则进行运算； (2)因因f(x)是分段函数，故先判断自变量的范围，再选择合适的是分段函数，故先判断自变量的范围，再选择合适的解析式，同时注意对数恒等式的运用；解析式，同时注意对数恒等式的运用；(3)当指数的取值范围扩当指数的取值范围扩充到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算．因此，当一充到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算．因此，当一个题目中同时出现指数式与对数式时，一般要把问题转化，即个题目中同时出现指数式与对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达式．统一到一种表达式．函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究 [ [点评点评] ]熟练运用对数式的运算公式和对数的性质是解熟练运用对数式的运算公式和对数的性质是解决本题的基础和前提．运用对数的运算法则时，要注意取决本题的基础和前提．运用对数的运算法则时，要注意取值范围，同时不要将积、商、幂的对数与对数的积、商、值范围，同时不要将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆．幂混淆． 涉及对数之积的形式无法直接使用对数的运算性质，涉及对数之积的形式无法直接使用对数的运算性质，可先因式分解再使用．可先因式分解再使用．如如函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究计算：计算：函数与导数数学全品理科人教A ► 探究点探究点2 对数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究例例2 [2010·2 [2010·南京模拟南京模拟] ] 函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究 [思路思路] (1)利用函数奇偶性的定义，列出利用函数奇偶性的定义，列出m所满足的方所满足的方程；程；(2)严格按照用定义证明函数单调性的步骤进行；严格按照用定义证明函数单调性的步骤进行；(3)利利用函数的单调性，脱掉符号用函数的单调性，脱掉符号“f”求解．求解．函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A ► 探究点探究点3 与指数函数、对数函数有关的大小比较 与指数函数、对数函数有关的大小比较 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究例例3 [2010·3 [2010·全国卷全国卷ⅠⅠ] ][思路思路] 利用中间变量比较大小．利用中间变量比较大小．函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A ► 探究点探究点4 指数函数的性质的综合应用 指数函数的性质的综合应用第第9讲讲 │ 要点探究要点探究例例4 4函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │ 要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 规律总结第第9讲讲 │规律总结规律总结 1．应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了．应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数指数、对数”问题的关问题的关键．键． 2．指数函数．指数函数y＝＝ax与对数函数与对数函数y＝＝logax互为反函数，互为反函数，可以从概念、图象、性质几方面了解它们间的联系与区可以从概念、图象、性质几方面了解它们间的联系与区别．别． 3．对数函数的真数和底数应满足的条件是求解有．对数函数的真数和底数应满足的条件是求解有关对数问题时必须予以特别重视的，另外对数函数问题关对数问题时必须予以特别重视的，另外对数函数问题尽量化同底，以方便运算和运用性质．尽量化同底，以方便运算和运用性质．函数与导数数学全品理科人教A 第第9讲讲 │规律总结规律总结 4．对数函数的性质主要是单调性，对数函数．对数函数的性质主要是单调性，对数函数y＝＝ logax单调性与底数单调性与底数a与与1的大小有关，当底数的大小有关，当底数a与与1的大的大小关系不确定时应注意分类讨论．小关系不确定时应注意分类讨论． 5．利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些复．利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型，应注意数形结合、分类合函数的相应问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想方法的灵活运用．讨论、化归转化等数学思想方法的灵活运用．函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │ 幂函数与函数的图象幂函数与函数的图象第第10讲 幂函数与函数的图象讲 幂函数与函数的图象函数与导数数学全品理科人教A 知识梳理第第10讲讲 │知识梳理知识梳理 1．幂函数．幂函数 (1)幂函数定义：一般地，形如幂函数定义：一般地，形如______(α∈ ∈R)的函数称为幂的函数称为幂函数，其中函数，其中α为常数．为常数． 几种常见幂函数的图象：几种常见幂函数的图象：图图10－－1y＝＝xα函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │知识梳理知识梳理 (2)幂函数性质幂函数性质 ①①所有的幂函数在所有的幂函数在__________都有定义，并且图象都过点都有定义，并且图象都过点______；； ②②α>0时，幂函数的图象通过时，幂函数的图象通过______，并且在区间，并且在区间[0，，＋＋∞)上是上是________．特别地，当．特别地，当α>1时，幂函数的图象时，幂函数的图象______；当；当0<α<1时，幂函数的图象时，幂函数的图象______；； ③③α<0时，幂函数的图象在区间时，幂函数的图象在区间(0，＋，＋∞)上是上是__________．在第一象限内，当．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限轴右方无限地逼近地逼近y轴正半轴，当轴正半轴，当x趋于＋趋于＋∞时，图象在时，图象在x轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近x轴正半轴．轴正半轴．(0，＋，＋∞)(1,1)增函数增函数原点原点下凸下凸上凸上凸减函数减函数函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │知识梳理知识梳理 2．函数图象．函数图象 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即____________和和____________．． 描点法：描点法： (1)作函数图象的步骤：作函数图象的步骤：①①确定函数的确定函数的________；；②②化简函化简函数的解析式；数的解析式；③③讨论函数的性质，即讨论函数的性质，即________________________；；④④描点连线，画出函数的图象．描点连线，画出函数的图象． 变换法：变换法： (2)几种图象变换：平移变换、对称变换和翻折变换、伸缩变几种图象变换：平移变换、对称变换和翻折变换、伸缩变换等等；换等等； 列表描点法列表描点法 图象变换法 图象变换法定义域定义域单调性、奇偶性、周期性单调性、奇偶性、周期性函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │知识梳理知识梳理x轴方向轴方向平移平移|a|函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │知识梳理知识梳理关于关于y轴轴函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │知识梳理知识梳理原点原点直线直线x＝＝a函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │知识梳理知识梳理③③翻折变换：翻折变换：ⅠⅠ.函数函数y＝＝|f(x)|的图象可以将函数的图象可以将函数y＝＝f(x)的图象的的图象的x轴下方部轴下方部分沿分沿________翻折到翻折到x轴上方，去掉原轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留轴下方部分，并保留____________________即可得到；即可得到；y＝＝f(x)的的x轴上方部分轴上方部分图图10－－2x轴轴函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │知识梳理知识梳理 ⅡⅡ.函数函数y＝＝f(|x|)的图象可以将函数的图象可以将函数y＝＝f(x)的图象右边沿的图象右边沿y轴轴翻折到翻折到y轴左边替代原轴左边替代原y轴左边部分，并保留轴左边部分，并保留_____________________即可得到．即可得到．图图10－－3y＝＝f(x)在在y轴右边部分轴右边部分函数与导数数学全品理科人教A 第第10讲讲 │知识梳理知识梳理纵坐标伸长纵坐标伸长(a>1)或压缩或压缩(00Δ＝＝0Δ<0方程方程ax2＋＋bx＋＋c＝＝0(a≠0)的根的的根的个数个数_____________________________________________________________________________函数函数y＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a≠0)的零点的零点个数个数_____________________________________________________________函数函数y＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a≠0)的图象的图象a>0a<0函数函数y＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a≠0)的图象的图象与与x轴交点个数轴交点个数____________________________________________________5．二次函数的零点：．二次函数的零点：有两个零点 有两个零点 有两个不相等的实根有两个不相等的实根有两个相等的实根有两个相等的实根无实根无实根有一个二重零点有一个二重零点无零点无零点有两个交点有两个交点有一个交点有一个交点无交点无交点函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 ► 探究点 探究点1 方程的根与函数的零点 方程的根与函数的零点要点探究[思路思路] 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数．分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 [点评点评] 函数函数f(x)的零点是一个实数的零点是一个实数(不是点不是点)，就是方程，就是方程f(x)＝＝0的实数根，也是函数的实数根，也是函数y＝＝f(x)的图象与的图象与x轴的交点的横坐标，轴的交点的横坐标，因此判断零点的个数就是判断方程因此判断零点的个数就是判断方程f(x)＝＝0的实根个数，有时也的实根个数，有时也可以根据函数图象的交点的个数来判断零点的个数，如：可以根据函数图象的交点的个数来判断零点的个数，如： B [解析解析] 当当x≤0时，令时，令x2＋＋2x－－3＝＝0，解得，解得x＝－＝－3；当；当x＞＞0时，令－时，令－2＋＋lnx＝＝0，解得，解得x＝＝e2，所以已知函数有，所以已知函数有2个零个零点，选点，选B.函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 求函数求函数y＝＝lnx＋＋2x－－6的零点个数．的零点个数． [解答解答] 在同一坐标系画出在同一坐标系画出y＝＝lnx与与y＝＝6－－2x的图象，的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝＝lnx＋＋2x－－6只有一个只有一个零点．零点．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 ► 探究点 探究点2 方程的根与函数的零点 方程的根与函数的零点 [思路思路] 对于区间上连续不断的函数，在区间对于区间上连续不断的函数，在区间[a，，b]内寻根，内寻根，往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)<0是否成是否成立．立．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 [点评点评] 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a，，b]上是否存在零点的定理，该定理只能判断存在零点，不能判断上是否存在零点的定理，该定理只能判断存在零点，不能判断区间区间[a，，b]不存在零点，即如果函数不存在零点，即如果函数y＝＝f(x)在区间在区间[a，，b]上有上有f(a)f(b)>0，函数在区间，函数在区间[a，，b]上也可能存在零点，如：上也可能存在零点，如：函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 ► 探究点 探究点3 二次函数零点的分布问题 二次函数零点的分布问题 例例3 已知关于已知关于x的二次方程的二次方程x2＋＋2mx＋＋2m＋＋1＝＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间若方程有两根，其中一根在区间(－－1,0)内，另一根在区内，另一根在区间间(1,2)内，求内，求m的范围；的范围； (2)若方程两根均在区间若方程两根均在区间(0,1)内，求内，求m的范围．的范围． [思路思路] 设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数性质对参数加以限制．后用函数性质对参数加以限制．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 [点评点评] (1)本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式的基本关系，有效地训练对等式的基本关系，有效地训练对““三个二次三个二次””的整体理解与掌的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法．握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 求求a为何值时，方程为何值时，方程9－－|x－－2|－－4·3－－|x－－2|－－a＝＝0有实根．有实根．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 ► 探究点 探究点4 利用函数零点求参数 利用函数零点求参数 例例4 (1)若函数若函数f(x)＝＝ax2－－x－－1有且仅有一个零点，求实有且仅有一个零点，求实数数a的值；的值； (2)若函数若函数f(x)＝＝|4x－－x2|＋＋a有有4个零点，求实数个零点，求实数a的取值的取值范围．范围．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │要点探究要点探究 已知函数已知函数f(x)＝＝x|x－－4|－－5，当方程，当方程f(x)＝＝a有三个根时，有三个根时，求实数求实数a的取值范围．的取值范围．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │规律总结规律总结 规律总结 1．方程的根．方程的根(从数的角度看从数的角度看)、函数图象与、函数图象与x轴的交点的横坐轴的交点的横坐标标(从形的角度看从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式．形式． 2．函数零点的求法：．函数零点的求法： (1)代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)＝＝0的根．的根． (2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数数y＝＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． (3)二分法：主要用于求函数零点的近似值．二分法：主要用于求函数零点的近似值．函数与导数数学全品理科人教A 第第11讲讲 │规律总结规律总结 4．有关函数零点的重要结论．有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则是定义域上的单调函数，则f(x)至至多一个零点．多一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变．也可能改变． 5．用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度．用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度ε不同，不同，得到的结果也不同．精确度为得到的结果也不同．精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间是指在计算过程中得到某个区间(a，，b)后，若其长度小于后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算．精确度为计算．精确度为0.001与精确到与精确到0.001是不同的．是不同的．函数与导数数学全品理科人教A 第第12讲讲 │ 函数模型及其应用函数模型及其应用第第12讲 函数模型及其应用讲 函数模型及其应用函数与导数数学全品理科人教A 知识梳理第第12讲讲 │知识梳理知识梳理 1．函数模型．函数模型 常用函数模型常用函数模型 (1)一次函数模型：一次函数模型：f(x)＝＝kx＋＋b(k，，b为常数，为常数，k≠0)．． (2)二次函数模型：二次函数模型：f(x)＝＝ax2＋＋bx＋＋c(a、、b、、c为常数，为常数，a≠0)． ． (3)指数函数模型：指数函数模型：f(x)＝＝abx＋＋c(a、、b、、c为常数，为常数，a≠0，，b>0，，b≠1)．． (4)对数函数模型：对数函数模型：f(x)＝＝mlogax＋＋n(m、、n、、a为常数，为常数，a>0，，m≠0，，a≠1)．． (5)幂函数模型：幂函数模型：f(x)＝＝axn＋＋b(a、、b、、n为常数，为常数，a≠0，，n≠1)．． (6)分段函数模型分段函数模型函数与导数数学全品理科人教A 第第12讲讲 │知识梳理知识梳理 2．三种函数模型的性质．三种函数模型的性质 在区间在区间(0，＋，＋∞)上，指数函数上，指数函数y＝＝ax(a>1)，对数函数，对数函数y＝＝logax(a>1)，幂函数，幂函数y＝＝xn(n>0)都是增函数，但它们增长速度都是增函数，但它们增长速度不同．随着不同．随着x的增大，指数函数的增大，指数函数y＝＝ax(a>1)的增长速度越来越快，的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数会超过并远远大于幂函数y＝＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数的增长速度，而对数函数y＝＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，图象逐渐表示为与的增长速度则会越来越慢，图象逐渐表示为与x轴轴趋于平行，因此，总会存在一个趋于平行，因此，总会存在一个x0，当，当x>x0时，就有时，就有logax0⇒⇒f(x)在该区间上在该区间上_____ ____ ；；f′(x)<0⇒⇒f(x)在该区间上在该区间上____________．． 反之，若反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有在某区间上单调递增，则在该区间上有_______恒成立；若恒成立；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有在某区间上单调递减，则在该区间上有________恒成立．恒成立． 2．函数的极值．函数的极值 (1)函数极值的定义函数极值的定义单调单调递减递减单调递增 单调递增 f′(x)≥0f′(x)≤0函数与导数数学全品理科人教A ①①已知函数已知函数y＝＝f(x)，设，设x0是定义域内任一点，如果是定义域内任一点，如果对对x0附近的所有点附近的所有点x，都有，都有f(x)＜＜f(x0)，则称函数，则称函数f(x)在点在点x0处取处取________，记作，记作______________，并把，并把x0称为函称为函数数f(x)的一个的一个__________；； ②②如果在如果在x0附近都有附近都有f(x)＞＞f(x0)，则称函数，则称函数f(x)在点在点x x0 0处取处取________________，记作，记作________________________，并把，并把x0称为函数称为函数f(x)的一个的一个________________________；； ③③极大值与极小值统称极大值与极小值统称________________，极大值点与极小值，极大值点与极小值点统称为点统称为________________．． (2) (2)求函数极值的方法求函数极值的方法极大值极大值第第14讲讲 │知识梳理知识梳理y极大值极大值＝＝f(x0)极大值点极大值点y最小值最小值＝＝f(x0)极小值极小值极小值点极小值点极值极值极值点极值点函数与导数数学全品理科人教A ①①第第1步：求导数步：求导数f′(x)；； ②②第第2步：求方程步：求方程f′(x)＝＝0的所有实数根；的所有实数根； ③③第第3步：当步：当f(x0)＝＝0时，如果在时，如果在x0附近的左侧附近的左侧______，右，右侧侧________，那么，那么f(x0)是极大值；如果在是极大值；如果在x0附近的左侧附近的左侧________，右侧，右侧________，那么，那么f(x0)是极小值．是极小值． 3．函数的最值．函数的最值 (1)函数函数f(x)在在[a，，b]上必有最值的条件上必有最值的条件 如果在区间如果在区间[a，，b]上函数上函数y＝＝f(x)的图象的图象________________________，那么它必有最大值和最小值．，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数求函数y＝＝f(x)在在[a，，b]上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤 ①①求函数求函数y＝＝f(x)在在(a，，b)内的内的______；；第第14讲讲 │知识梳理知识梳理f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0是一条连续不断的曲线是一条连续不断的曲线极值极值函数与导数数学全品理科人教A ②②将函数将函数y＝＝f(x)的各极值与的各极值与_________________________比较，其中最大的一个是最大比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．值，最小的一个是最小值． 4．．f(x)＞＞m恒成立等价于恒成立等价于________；；f(x)＜＜m恒成立等恒成立等价于价于________．． 5．函数．函数f(x)＝＝ax3＋＋bx2＋＋cx＋＋d(a≠0)有极大值为有极大值为f(x1)，，极小值为极小值为f(x2)，若函数有三个零点，则，若函数有三个零点，则________________；；函数有两个零点，则函数有两个零点，则________________；函数有且仅有一个；函数有且仅有一个零点，则零点，则___________________． 第第14讲讲 │知识梳理知识梳理端点处的函数值端点处的函数值f(a)、、f(b)mf(x)maxf(x1)>0f(x2)<0f(x1)＝＝0或或f(x2)＝＝0函数与导数数学全品理科人教A 要点探究第第14讲讲 │要点探究要点探究► 探究点 探究点1 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性函数与导数数学全品理科人教A 第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A [点评点评] (1)利用导函数的性质确定函数的单调性比用函利用导函数的性质确定函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，它是根据导函数的正负性确定函数数单调性的定义要方便，它是根据导函数的正负性确定函数的单调性；的单调性；(2)两个单调递增区间不能两个单调递增区间不能““并并””起来．函数的单起来．函数的单调性是函数在某一区间内的性质，讨论函数的单调性应在函调性是函数在某一区间内的性质，讨论函数的单调性应在函数的定义域范围内进行．数的定义域范围内进行．第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 变式题1 如果函数如果函数y＝＝f(x)的图象如图的图象如图14－－1，那么导函数，那么导函数y＝＝f′(x)的图象可能是的图象可能是( )第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A [ [思路思路] ] 由原函数的图象变化趋势是由原函数的图象变化趋势是““增、减、增、减增、减、增、减””，运用，运用““增则正，减则负增则正，减则负””规律，即可判断导函数的图象．规律，即可判断导函数的图象． A [解析解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况，由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况，依次是依次是“正、负、正、负正、负、正、负”，即导函数的图象与，即导函数的图象与x轴的位置应是轴的位置应是“上、下、上、下上、下、上、下”，符合规律的只有，符合规律的只有A. [点评点评] 解决此类问题时，审题应看清已知条件是导函数解决此类问题时，审题应看清已知条件是导函数还是原函数，然后用还是原函数，然后用““导数的正负性决定原函数的增减性导数的正负性决定原函数的增减性””原原则进行判断．则进行判断．第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 变式题2 已知已知f(x)＝＝ex－－ax－－1. (1)求求f(x)的单调增区间；的单调增区间； (2)若若f(x)在定义域在定义域R内单调递增，求内单调递增，求a的取值范围；的取值范围； (3)是否存在是否存在a，使，使f(x)在在(－－∞，，0]上单调递减，在上单调递减，在[0，，＋＋∞)上单调递增？若存在，求出上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由．． [ [思路思路] (1)] (1)通过解通过解f f′(′(x x)>0)>0求单调递增区间；求单调递增区间；(2)(2)转化转化为为f f′(′(x x)>0)>0在在R R上恒成立问题，求上恒成立问题，求a a；；(3)(3)假设存在假设存在a a，则，则f f(0)(0)是是f f( (x x) )的极小值，或转化为恒成立问题．的极小值，或转化为恒成立问题．第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A [ [解答解答] (1)] (1)f f′(′(x x) )＝＝ e ex x－－a a. .若若a a≤0≤0，，f f′(′(x x) )＝＝e ex x－－a a>0>0恒成立，即恒成立，即f f( (x x) )在在R R上递增．若上递增．若a a＞＞0 0，，e ex x－－a a≥0≥0，，∴∴e ex x≥≥a a，，x x≥ln≥lna a，，∴∴f f( (x x) )的递增区间为的递增区间为(ln(lna a，＋，＋∞∞) )．． (2)∵ (2)∵f f( (x x) )在在R R内单调递增，内单调递增，∴∴f f′(′(x x)≥0)≥0在在R R上恒成上恒成立．立．∴∴e ex x－－a a≥0≥0，即，即a a≤e≤ex x在在R R上恒成立．上恒成立．∴∴a a≤(e≤(ex x) )minmin，又，又∵∵e ex x＞＞0 0，，∴∴a a≤0.≤0. (3) (3)方法一：由题意知方法一：由题意知e ex x－－a a≤0≤0在在( (－－∞∞，，0]0]上恒成上恒成立．立．∴∴a a≥e≥ex x在在( (－－∞∞，，0]0]上恒成立．上恒成立．∵∵e ex x在在( (－－∞∞，，0]0]上为上为增函数，增函数，∴∴x x＝＝0 0时，时，e ex x最大为最大为1.∴1.∴a a≥1≥1，同理可知，同理可知e ex x－－a a≥0≥0在在[0[0，＋，＋∞∞) )上恒成立，上恒成立，∴∴a a≤e≤ex x在在[0[0，＋，＋∞∞) )上恒成上恒成立，立，∴∴a a≤1.≤1.第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 综上所述，综上所述，a a＝＝1.1. 方法二：由题意知，方法二：由题意知，x x＝＝0 0为为f f( (x x) )的极小值点．的极小值点．∴∴f f′(0)′(0)＝＝0 0，即，即e e0 0－－a a＝＝0 0，，∴∴a a＝＝1 1，经检验，经检验a a＝＝1 1符合题意．符合题意． [ [点评点评] ] 已知函数已知函数f(x)在某区间内单调求参数问题，常转在某区间内单调求参数问题，常转化为其导函数化为其导函数f′(x)在该区间内大于等于在该区间内大于等于0(0(单调增函数单调增函数) )或小于或小于等于等于0(0(单调减函数单调减函数) )恒成立问题．恒成立问题． 第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A ► 探究点 探究点2 利用导数研究函数的极值与最值 利用导数研究函数的极值与最值 例例2 已知已知a∈∈R，讨论函数，讨论函数f(x)＝＝ex(x2＋＋ax＋＋a＋＋1)的极值的极值点的个数．点的个数．第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 即此时即此时f(x)有两个极值点．有两个极值点． (2)当当Δ＝＝0即即a＝＝0或或a＝＝4时，方程时，方程x2＋＋(a＋＋2)x＋＋(2a＋＋1)＝＝0有两个相同的实根有两个相同的实根x1＝＝x2.由题易知由题易知f(x)无极值．无极值． (3)当当Δ<0即即00时，列表如下：时，列表如下： ①①x－－1(－－1,0)0(0,2)2f′(x)15a＋＋0－－－－12af(x)－－7a＋＋bb－－16a＋＋b第第14讲讲 │要点探究要点探究函数与导数数学全品理科人教A 由上表可知，当由上表可知，当x＝＝0时，时，f(x)取得极大值，也就是函数取得极大值，也就是函数在在[－－1,2]上的最大值，上的最大值，∴∴f(0)＝＝3，即，即b＝＝3.又又f(－－1)＝－＝－7a＋＋3，，f(2)＝－＝－16a＋＋3，，f(2)g(x)在区间在区间ⅠⅠ上恒成立，上恒成立，则可构造函数则可构造函数h(x)＝＝f(x)－－g(x)，通过讨论，通过讨论h′(x)在区间在区间ⅠⅠ上的上的取值范围，判断出函数取值范围，判断出函数h(x)的单调性，然后由函数的单调性，然后由函数h(x)在区在区间间ⅠⅠ上的一个初始值，证得不等式成立．上的一个初始值，证得不等式成立．第第14讲讲 │规律总结规律总结函数与导数数学全品理科人教A 5．导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法，利用导．导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法，利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下：数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下：(1)细致分析实际细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量量y与自变量与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝＝f(x)，并根据实际问题中的限制条件确定，并根据实际问题中的限制条件确定y＝＝f(x)的定义域；的定义域；(2)求求f′(x)，令，令f′(x)＝＝0，得出方程所有实数根；，得出方程所有实数根；(3)比较函数在比较函数在各个区间端点和在极值点的取值大小，确定其最大值或最小值；各个区间端点和在极值点的取值大小，确定其最大值或最小值；(4)检验结果的实际意义，给出答案．检验结果的实际意义，给出答案．第第14讲讲 │规律总结规律总结函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │ 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理第第15讲 定积分与微积分基本定理讲 定积分与微积分基本定理函数与导数数学全品理科人教A 知识梳理第第15讲讲 │知识梳理知识梳理 某个常数某个常数被积函数被积函数积分变量积分变量被积式被积式积分下限积分下限积分上限积分上限函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │知识梳理知识梳理 直线直线x＝＝a，，x＝＝b(a≠b)，，y＝＝0和曲线和曲线y＝＝f(x)所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形的面积的面积直线直线x＝＝a，，x＝＝b(a≠b)，，y＝＝0和曲线和曲线y＝＝f(x)所围成的曲边梯所围成的曲边梯形的面积的相反数形的面积的相反数函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │知识梳理知识梳理 函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │知识梳理知识梳理 F(b)－－F(a)原函数原函数函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 ► 探究点 探究点1 利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分 利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分要点探究函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 ► 探究点 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分 利用定积分的几何意义求定积分 [思路思路] 画出被积函数的图象，求出对应图形的面积，由画出被积函数的图象，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值．定积分的几何意义便可求出积分值．函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 ► 探究点 探究点3 定积分在求图形面积方面的应用 定积分在求图形面积方面的应用图图15－－1函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 ► 探究点 探究点4 定积分在物理方面的应用 定积分在物理方面的应用 例例4 [2010·福州模拟福州模拟] 一辆汽车的速度一辆汽车的速度—时间曲线如图时间曲线如图15－－2所示，求该汽车在这一分钟内行驶的路程．所示，求该汽车在这一分钟内行驶的路程．图图1515－－2 2函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │要点探究要点探究 函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │规律总结规律总结 规律总结函数与导数数学全品理科人教A 第第15讲讲 │规律总结规律总结 3．利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：．利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：(1)画出画出函数的草图，确定积分变量；函数的草图，确定积分变量；(2)求图象的交点，确定积分上、求图象的交点，确定积分上、下限；下限；(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)利用利用定积分求面积．定积分求面积．函数与导数数学全品理科人教A 。
