第八章建立实验数学模型的一般方法.ppt

第八章第八章 建立实验数建立实验数学模型的一般方法学模型的一般方法获得变量间关系获得变量间关系方式：方式：1 1 纯数学推导得出理论公式纯数学推导得出理论公式2 2 ★★ 将实验数据整理成反映变量间关系的将实验数据整理成反映变量间关系的数数学模型，学模型，解决实际问题解决实际问题 利用实验数据获得利用实验数据获得数学模型数学模型两个步骤：两个步骤：确定函数形式确定函数形式求公式系数求公式系数第一节第一节 寻求数学模型寻求数学模型函数形式函数形式的几种方法的几种方法 由实验数据建立数学模型，关键的问题是如由实验数据建立数学模型，关键的问题是如何确定变量间何确定变量间可能存在的函数形式可能存在的函数形式 确定数模的函数形式：确定数模的函数形式： 实验理论实验理论 ( (专业专业) )经验经验 据实验据实验曲线的形状曲线的形状确定函数形式确定函数形式 1 1．由．由实验理论实验理论推求数模的函数形式推求数模的函数形式 相似理论，准则数之间的函数形式相似理论，准则数之间的函数形式 NuNu = f ( Re, Pr ) = a Re = f ( Re, Pr ) = a Re b b Pr Pr c c 准则数：几个参量综合而成无因次量，有准则数：几个参量综合而成无因次量，有一定的物理意义。

一定的物理意义  2 2．利用．利用经验经验确定数模函数形式确定数模函数形式（（1 1）常用）常用n n次多项式拟和实验数据，即次多项式拟和实验数据，即工程热力学，工程热力学，比热随热力学温度比热随热力学温度变化关系变化关系（（2 2）多元问题，多元线性方程：）多元问题，多元线性方程：（（3）） 指数函数指数函数应用于放射性同位素测化石年代、概率应用于放射性同位素测化石年代、概率中的指数分布、细菌的繁殖、原子弹的中的指数分布、细菌的繁殖、原子弹的裂变、元素的衰减、化学反应速度、室裂变、元素的衰减、化学反应速度、室内空气品质污染物含量内空气品质污染物含量（（4）） S型曲线型曲线主要用于描述动、植物的主要用于描述动、植物的自然生长过程，又称生长曲线自然生长过程，又称生长曲线.（（5））对数函数对数函数 将乘法运算转换成加法运算，降低复杂度将乘法运算转换成加法运算，降低复杂度 声压值声压值 空气品质气味浓度空气品质气味浓度 应用于应用于PH值的计算值的计算（（6））幂函数幂函数 传热准则数关联式传热准则数关联式 幂级数幂级数（（7））双曲线函数是拟合地基沉降、水泥土桩极限承双曲线函数是拟合地基沉降、水泥土桩极限承载力曲线中常用的函数形式载力曲线中常用的函数形式3 3．将实验数据标绘成曲线，．将实验数据标绘成曲线，与各种典型曲线与各种典型曲线对照，对照，确定函数形式。

确定函数形式第二节第二节 建立建立n n次多项式的数学模型次多项式的数学模型 理论和经验证明，当次数增加时，通常可理论和经验证明，当次数增加时，通常可以达到与原函数的任意接近程度以达到与原函数的任意接近程度 如果有如果有n+1 n+1 对对实验数据（实验数据（x xi i, ,ΦΦi i），可以把），可以把数模选成数模选成n n次次多项式的形式多项式的形式 解解n+1 n+1 个个 y yi i= = ΦΦ(x(xi i) )方程组，即可方程组，即可求出求出n+ 1 n+ 1 个未知的系数个未知的系数 a a0 0 ，，a al l , a , a2 2 , ….a , ….an n之值之值一、一、 n n 次多项式次多项式项数项数的确定的确定 用用差分检验法差分检验法决定多项式模型的决定多项式模型的项数项数步骤：步骤：选取成等差数列的自变量数值选取成等差数列的自变量数值x xi i，， Ø列出对应列出对应x xi i的的 y yi i 值值Ø一阶差分一阶差分 ，，Ø二阶差分二阶差分 ，， Ø三阶差分三阶差分 ，，Ø…………Ø作出差分表。

作出差分表原则：当原则：当第第n n阶阶差分列内所有的数值接近相等时，就差分列内所有的数值接近相等时，就意味着用意味着用n n次多项式次多项式来表示未知函数已足够准确来表示未知函数已足够准确（（t，，T））求二次多项式模型的系数求二次多项式模型的系数 c = a0 + a1T + a2T2牛顿插值公式牛顿插值公式用用两点插值两点插值，从直线方程点斜式出发，，从直线方程点斜式出发， y(xy(x) = y) = y0 0 + +推广到具有推广到具有n+1 n+1 个插值点个插值点的情况的情况牛顿插值公式牛顿插值公式牛顿插值公式的优点是：牛顿插值公式的优点是：增加一个节点时，只增加一个节点时，只要再增加一项就行了要再增加一项就行了x yx y y yn n(x(x)=b)=b0 0+b+b1 1(x-x(x-x0 0)+b)+b2 2(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)+…)+… +b +bn n(x-x(x-x0 0)…(x-x)…(x-xn-1n-1) )展开成如下形式：展开成如下形式：确定确定 a a0 0,a,a1 1,a,a2 2…………牛顿插值公式牛顿插值公式y =y =二次多项式二次多项式三次多项式三次多项式(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x1)[例例8-2] 求求 [ 8-1 ] 二次多项式模型的系数二次多项式模型的系数 c = a0 + a1 T + a2 T2 求二次多项式系数用到求二次多项式系数用到a0 ---- y0 ΔΔy0 ΔΔ2 2y0 h x0 x1 a1 ---- ΔΔy0 h ΔΔ2 2y0 x0 x1 a2 ---- ΔΔ2 2y0 h Δ y0 Δ 2y0 Δc0 、、 Δ2c0 取平均值取平均值Δc0 、、 Δ2c0 取平均值取平均值 除了与差分有关，除了与差分有关， a0与与 x0 、、 y0 有关，有关， a1与与 x0 有关，有关， 用其它点作为用其它点作为x0 、、 y0 代入，求出不同的代入，求出不同的a0、、a1 a0、、a1取平均值取平均值a a a a 2 2 2 2 与与与与 x x x x0 0 0 0, y, y, y, y0 0 0 0无关无关无关无关取平均值取平均值 ，，数学模型为：数学模型为： 与工程热力学结果一致。

与工程热力学结果一致c c 计算计算，， 与实测与实测 c c 比较比较，两者完全吻合两者完全吻合插值法要求插值法要求曲线过实验点曲线过实验点 过分地追求符合实验数据（即使曲线通过过分地追求符合实验数据（即使曲线通过实验点）也是徒劳无益的实验点）也是徒劳无益的y=f(x)y=p(x) 采用牛顿插值公式，求二次多项式数模的系采用牛顿插值公式，求二次多项式数模的系数，与回归分析或曲线拟合法不同数，与回归分析或曲线拟合法不同不同点：不同点：n插值是插值是通过实验点通过实验点连接曲线连接曲线n回归和拟合是在实验点回归和拟合是在实验点附近附近找出较找出较靠近的曲线靠近的曲线 插值公式所求出的结果要准确些插值公式所求出的结果要准确些( (前提：测量数据前提：测量数据准确无误差准确无误差) )，， 实验误差敏感实验误差敏感第三节第三节 根据实验曲线选取数学模型根据实验曲线选取数学模型 Ø理论推导和专业经验均无法确定函数形式理论推导和专业经验均无法确定函数形式Ø多项式方次高多项式方次高 根据实验曲线选取数学模型根据实验曲线选取数学模型步骤：步骤：|将实验数据标绘成曲线将实验数据标绘成曲线|按曲线的形状，对照各种典型曲线，初选一个函按曲线的形状，对照各种典型曲线，初选一个函数形式数形式|用用直线化检验法直线化检验法鉴别选择是否合理鉴别选择是否合理一、数模选择的直线化法一、数模选择的直线化法 直线化转化：直线化转化： 所选出的函数所选出的函数 y y ＝＝ f(xf(x) ) 转换关系转换关系（根据原函数特点）（根据原函数特点）：： X =X =ΦΦ（（x, yx, y）） Y =Y =ΨΨ（（x x，，y y）） 转换成线性函数转换成线性函数 Y = A + B * XY = A + B * X ，， 所选函数是否可行的检验方法是：所选函数是否可行的检验方法是：n将已知（实测）的（将已知（实测）的（x xi i,y,yi i）值，代入变量转换公式求出成）值，代入变量转换公式求出成对新变量值（对新变量值（X Xi i,Y,Yi i) ) n以新变量为坐标，将新变量值绘在直角坐标（以新变量为坐标，将新变量值绘在直角坐标（X, YX, Y）上）上n如果这些坐标点接近一条直线，表明所如果这些坐标点接近一条直线，表明所初选的模型公式初选的模型公式 y y＝＝f(xf(x) ) 合适合适［例［例8-38-3］］ 在研究某化学反应在研究某化学反应速度时，得到的数速度时，得到的数据见表据见表 8-5 8-5 ，， t t为从实验开始算为从实验开始算起的时间；起的时间； y y为在反应混合物为在反应混合物中物质的量，中物质的量， 选择一个合适的数选择一个合适的数学模型。

学模型 【【解解】】 首先将所得实验数据标绘在图上初选模型（图首先将所得实验数据标绘在图上初选模型（图8-3 8-3 指数函数，指数函数，b < 0b < 0）） 验证初选模型是否正确验证初选模型是否正确 将公式两边取对数直线化将公式两边取对数直线化t,lgyt,lgy））为坐标轴的图为坐标轴的图8-18-1上这些点都落在一条直线上，证明这些点都落在一条直线上，证明所初选的数学模型是合理的所初选的数学模型是合理的直线关系直线关系二、适合于线性化的二、适合于线性化的典型函数典型函数及图形及图形 为便于将实验曲线与典型曲线相对照初选为便于将实验曲线与典型曲线相对照初选数学模型数学模型 列出了一些非线性方程、典型图示和线性列出了一些非线性方程、典型图示和线性化的变换方法化的变换方法并非所有函数形式均能设法转换为直线关系并非所有函数形式均能设法转换为直线关系通常对含有通常对含有两个系数的方程两个系数的方程最适合最适合1 1 幂函数模型幂函数模型幂函数模型的一般形式为：幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：对上式两边取对数得到：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型：则可将原模型化为标准的线性回归模型：幂函数最重要的应用就是级数。

利用幂级数，可以把任幂函数最重要的应用就是级数利用幂级数，可以把任意一个函数表示成多项式，方便近似计算意一个函数表示成多项式，方便近似计算 .2 2 指数函数模型指数函数模型指数函数模型的一般形式为指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到对上式两边取对数得到令令则可将原模型化为标准的线性回归模型；则可将原模型化为标准的线性回归模型；放射性同位素测化石年代，概率中的指数分布，细菌的繁殖，放射性同位素测化石年代，概率中的指数分布，细菌的繁殖，原子弹的裂变，元素的衰减，室内空气品质污染物含量原子弹的裂变，元素的衰减，室内空气品质污染物含量3 对数函数模型对数函数模型对数函数模型的一般形式为：对数函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型对数函数应用于对数函数应用于PH值的计算值的计算PH=-lg(H+…)4 双曲线函数模型双曲线函数模型双曲函数模型的一般形式为：双曲函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型x y = 1 双曲线函数双曲线函数 双曲线函数双曲线函数是拟合地基是拟合地基沉降、水泥沉降、水泥土桩极限承土桩极限承载力曲线中载力曲线中常用的函数常用的函数形式形式S型曲线主要用于描述动、型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，又称植物的自然生长过程，又称生长曲线生长曲线.一般，事物总是经过发生、一般，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每一发展、成熟三个阶段，每一个阶段的发展速度各不相同。

个阶段的发展速度各不相同通常在发生阶段，变化速度通常在发生阶段，变化速度较为缓慢；在发展阶段，变较为缓慢；在发展阶段，变化速度加快；在成熟阶段，化速度加快；在成熟阶段，变化速度又趋缓慢变化速度又趋缓慢.按上述三个阶段发展规律得到的变化曲线为生长曲线按上述三个阶段发展规律得到的变化曲线为生长曲线5 S-型曲线（生长曲线）模型型曲线（生长曲线）模型5 S-型曲线（生长曲线）模型型曲线（生长曲线）模型S-型曲线模型的一般形式为：型曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：首先对上式做倒数变换得：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型6 多项式函数模型多项式函数模型多项式函数模型的一般形式为：多项式函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型 非线性方程进行线性化的典型实例非线性方程进行线性化的典型实例，表，表 8 - 6 附录附录8中更多的中更多的典型曲线典型曲线，排列成表以供对，排列成表以供对照选取数模照选取数模  对于每一个函数，针对对于每一个函数，针对不同的系数值不同的系数值，给出，给出了许多条曲线。

了许多条曲线ü 注意：注意：n实验曲线可能只与典型实验曲线可能只与典型曲线的一部份曲线的一部份（在某（在某区间内）相同区间内）相同n试验曲线的试验曲线的不同部分对应不同的典型曲线不同部分对应不同的典型曲线 所得的数学模型，应严格限制在所得的数学模型，应严格限制在相应范围内相应范围内使用[ 例例 8 - 4 ] 试求办公楼类建筑，空调所需冷冻机容量试求办公楼类建筑，空调所需冷冻机容量R（（ kJ / h ）与建筑规模（面积）与建筑规模（面积At) 大小的经验总结公式大小的经验总结公式（一）（一）在直角坐标上绘制容量曲线在直角坐标上绘制容量曲线对照典型曲线初选对照典型曲线初选函数形式函数形式 实际曲线与图实际曲线与图 8 - 2 的幂函数，的幂函数， y= axb 当当 b > 1 时时的曲线非常相似初选函数形式的曲线非常相似初选函数形式 R = aAt b 图图 8 - 7 冷冻机容量曲线冷冻机容量曲线（二）进行线性化转换（二）进行线性化转换 对上式取对数，得：对上式取对数，得： lgR = lga + b lgAt 新变量：新变量： Y = lgR X = lgAt 图图 8 - 8 线性化后的线性化后的冷冻机容量曲线冷冻机容量曲线（三）（三）验证所选公式验证所选公式 将已知数据，在双对将已知数据，在双对数坐标上绘制容量曲线。

数坐标上绘制容量曲线此曲线呈一直线，说明此曲线呈一直线，说明初选函数符合实际情况初选函数符合实际情况（四）求公式系数（四）求公式系数 a 和和 b 在表在表 8 -7 中取直线上中取直线上相距较远两点的数相距较远两点的数At1= 0.73 , R1 = 25 ; A t2 = 2.50 , R 2 = 91代入模型公式中代入模型公式中lgR = lga + blgAt求得公式系数：求得公式系数：a = 34. 8 ; b=1.049 经验公式为：经验公式为：R＝＝ 34. 8At 1. 049第四节第四节 求数学模型公式系数的方法求数学模型公式系数的方法n选择数模的函数形式选择数模的函数形式ü根据实测数据来确定数学模型根据实测数据来确定数学模型公式系数公式系数确定数学模型公式系数确定数学模型公式系数 实现：实现：工具软件工具软件原理上：原理上：一、用图解法求公式系数一、用图解法求公式系数二、用平均值法求数学模型的公式系数二、用平均值法求数学模型的公式系数三、用最小二乘法求数模公式系数三、用最小二乘法求数模公式系数1 1 当所研究的函数形式是当所研究的函数形式是线性线性时，时， Y = A + B X (8-12) Y = A + B X (8-12) 其中系数其中系数 A A 为该直线与为该直线与 Y Y 轴的轴的截距截距；；系数系数 B B 为该直线的为该直线的斜率斜率。

系数系数 A A 可由直线与可由直线与 Y Y 轴的交点的纵坐标定出轴的交点的纵坐标定出系数系数 B B 可由直线与可由直线与 ox ox 轴夹角的正切（轴夹角的正切（tgtgαα）求 用图解法很直观，也能达到一定精度用图解法很直观，也能达到一定精度2 2 也可选取直线上也可选取直线上相互距离较远的两个点相互距离较远的两个点（两点一线），（两点一线），即两对实测数据（即两对实测数据（X X1 1,Y,Y1 1) (X) (X2 2,Y,Y2 2) ) 代入模型（代入模型（8-128-12）式）式直接求解两方程，即直接求解两方程，即一、用图解法求公式系数一、用图解法求公式系数 例例 在水流量恒定下，对冲洗锅炉水处理装置的滤料，得在水流量恒定下，对冲洗锅炉水处理装置的滤料，得出出洗涤水浓度洗涤水浓度 c c 与时间与时间t t的关系的关系，求数学模型求数学模型 绘图绘图——与标准曲线比较与标准曲线比较——判断曲线类型判断曲线类型 lnClnC = lnC = lnC0 0 + A t + A t 将实验数据绘在半对数将实验数据绘在半对数纸上纸上 所有点均在一条直线所有点均在一条直线上，所选指数模型是正上，所选指数模型是正确的确的。

 在表中选择在表中选择两对相距两对相距““较远较远””的数据的数据，， 如如 t t1 1＝＝ 1, C1, C1 1 = 6.6, t = 6.6, t2 2 = 8, C = 8, C2 2= 0.56 = 0.56 代入模代入模型中型中, ,求求A,CA,C0 0 所求数学模型为所求数学模型为 二、用平均值法求数学模型的公式系数二、用平均值法求数学模型的公式系数 两点确定一条直线，将任何两对数据代入直线两点确定一条直线，将任何两对数据代入直线方程，解出直线公式的系数方程，解出直线公式的系数 有有 2n 2n 对实验数据，能求出对实验数据，能求出n n组不同的公式系数，组不同的公式系数，取其平均结果取其平均结果如何求平均？如何求平均？ 将已知数据，分成两组，直接计算出平均系数将已知数据，分成两组，直接计算出平均系数具体步骤：具体步骤：n利用直线化方法得出线性方程利用直线化方法得出线性方程 Y= A + B X Y= A + B X 后，后，列出列出条件方程条件方程 Y Yi i = A + B X = A + B X i i . . n每一对（每一对（X Xi i，，Y Yi i）就有一个条件方程，实验数据为）就有一个条件方程，实验数据为n n对，对，条件方程有条件方程有n n个个，近似直线，近似直线n n条。

条n将所有将所有n n个方程等分成两大组个方程等分成两大组当 n n 为奇数时，为奇数时，两组近似相等两组近似相等n再把每大组的再把每大组的条件方程相加条件方程相加，，得出两个方程得出两个方程解此两方程，求得解此两方程，求得““平均平均””意义下的系数意义下的系数 A A 和和 B B 值分组方法：分组方法：通常按实验数据的先后次序，从中间近似分段，联立求通常按实验数据的先后次序，从中间近似分段，联立求解这样分组往往可以得出满意的结果这样分组往往可以得出满意的结果所求数学模型为：所求数学模型为： 为检查此数学模型，将实测的自变量为检查此数学模型，将实测的自变量 t ti i逐个代逐个代入公式，计算出入公式，计算出y y值，再与实测值值，再与实测值y yi i相比较比较相比较比较结果：结果：结果满意结果满意三、用最小二乘法求数模公式系数三、用最小二乘法求数模公式系数 (x(xi i，，y yi i), ), y yi i = = f(xf(xi i) ) ，找出一个，找出一个ΦΦ（（x xi i））使使 达到最小。

达到最小 ΦΦ（（x xi i）就是最小二乘法得到的数学模型）就是最小二乘法得到的数学模型 得到的数模或曲线能更好的接近真实值得到的数模或曲线能更好的接近真实值 最小二乘法用于求取各种多项式的系数是很常见的最小二乘法用于求取各种多项式的系数是很常见的 具体分析（怎样判断偏差平法和最小）见第九章第二节具体分析（怎样判断偏差平法和最小）见第九章第二节可以直接用统计软件进行最小二乘回归可以直接用统计软件进行最小二乘回归一元一元m m次多项式次多项式确定式中的确定式中的 a a0 0, a, a1 1, a, a2 2, …a, …am m的值正规方程：正规方程：式中式中（（i= 1 , 2 , 3 i= 1 , 2 , 3 ，， … n… n对实测数据）对实测数据）求公式系数求公式系数 a a0 0, a, a1 1, a, a2 2, a, a3 3m=3, n=10m=3, n=10组数据，组数据，2m=6,p2m=6,p（（SpSp）有）有 2m+1=72m+1=7个值；个值；m=3m=3，，q(V(Vq) )有有 m+1=4m+1=4个值个值 可以直接用统计软件进行最小二乘回归可以直接用统计软件进行最小二乘回归四、用回归分析法求模型系数四、用回归分析法求模型系数 当根据实验数据（当根据实验数据（xi , yi) ，已初步选出其间的函数形式，已初步选出其间的函数形式（或表达曲线）。

如果我们将各数据点距这条最可能的曲（或表达曲线）如果我们将各数据点距这条最可能的曲线，，在y方向的方向的“距离距离”（实为偏差）之总和达到最小，（实为偏差）之总和达到最小，就称就称 y 在在x下向这条曲线回归下向这条曲线回归关于回归分析的基本原理留待第九章叙述关于回归分析的基本原理留待第九章叙述回归分析法确定公式系数，适用范围较广，对多元线性或非回归分析法确定公式系数，适用范围较广，对多元线性或非线性函数均可使用由于本章所讨论的内容仅限于一元线线性函数均可使用由于本章所讨论的内容仅限于一元线性函数，故从性函数，故从y＝＝ a + b 出发，来讨论求回归系数出发，来讨论求回归系数 a 、、 b 的方法按后面将要详述的的方法按后面将要详述的最小二乘方法，通过解正规方程，便可直接按下式求出最小二乘方法，通过解正规方程，便可直接按下式求出 a 、、 b ，即，即 式中式中 为各自的平均值为各自的平均值 本章重点讨论了：本章重点讨论了：确定数学模型形式的方法确定数学模型形式的方法实验理论实验理论经验经验曲线曲线确定系数的方法确定系数的方法图解法图解法平均值法平均值法最小二乘法最小二乘法工具软件工具软件第八章第八章 结束结束谢谢！谢谢！。