海南省华侨中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案).docx

海南省华侨中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合,,则( )A. B. C. D.22．已知复数,其中i虚数单位,则( )A. B. C. D.3．设平面向量,,且,则( )A.1 B.14 C. D.4．过点作圆的两条切线,设切点分别为A,B,则( )A. B. C. D.5．已知定义在R上的偶函数在上单调递减,则( )A.B.C.D.6．如图为“杨辉三角”示意图,已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为,设,将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为,则的值为( )A.24 B.26 C.29 D.367．若,则( )A. B.C. D.8．若,则的值为( )A.-7 B.-14 C. D.二、多项选择题9．在平面直角坐标系中,角以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点,,定义,,则( )A. B.是奇函数C.若,则 D.10．,分别为随机事件A,B的对立事件,下列命题正确的是( )A.若A,B为相互独立事件且,则B. 若,则C.D.若,,则11．定义在的函数满足,且,若都有成立,若方程的解构成单调递增数列,则下列说法中正确的是( )A.B.若数列为等差数列,则公差为6C.若,则D.若,则三、填空题12．已知,,且,则的最小值为_______________．13．米斗是称量粮食的量器,是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用,米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意,是丰饶富足的象征,带有浓郁的民间文化韵味,如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台,已知该米斗的侧棱长为,两个底边长分别为和,则该米斗的外接球的表面积是__________．14．在平面直角坐标系中,双曲线的左、右焦点分别是,,过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点,点T在x轴上,满足,且经过的内切圆圆心,则C的离心率为__________．四、解答题15．已知平面四边形（图1）中,,均为等腰直角三角形,M,N分别是,的中点,,,沿将翻折至位置（图2）,拼成三棱锥．（1）求证：平面平面;（2）当二面角的平面角为时,求C点到面的距离．16．已知中,,在的内部有一点M满足且．（1）若为等边三角形,求值;（2）若,,求的长．17．如图,已知A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,椭圆E的离心率为,的面积为1,若过点的直线与E相交于M,N两点,过点M作x轴的平行线分别与直线,交于点C,D．（1）求椭圆E的方程;（2）求证：M,C,D三点的横坐标,,满足关系式．18．某学校有甲,乙两个餐厅,经统计发现,前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为,第二天选择餐厅乙就餐的概率为;前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为,第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是,选择餐厅乙就餐的概率是,记某同学第n天选择餐厅甲就餐的概率为．（1）求某学生第二天选择甲餐厅就餐的概率;（2）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求随机变量X的分布列及期望;（3）求出的通项公式,并证明：当时,．19．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中,e为自然对数的底数,.以上公式称为泰勒公式.设,,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题.（1）证明：;（2）设,证明：;（3）设,若是的极小值点,求实数a的取值范围.参考答案1．答案：C解析：因为或,所以.故选：C.2．答案：A解析：,则.故选：A.3．答案：B解析：因为,所以又,则所以,则,故选：B.4．答案：C解析：因为,即,故圆心为,半径为,又,所以,故切线长,由,得到,故选：C.5．答案：B解析：因为偶函数在上单调递减,所以函数在单调递增,且,,又,,所以,,所以,即.故选：B.6．答案：B解析：依题意,题中的等比数列为1,2,4,8,16,故该数列前n项和,则,要使数列中只取得整数项,需使是5的正整倍数即可,即使的最末位是1或6即可,于是新的数列的项依次为：4,6,9,11,14,16,19,21,24,26,29,31,,故故选：B.7．答案：D解析：因（*）对于A项,当时,代入（*）可得,故A项错误;对于B项,当时,代入（*）可得,故B项错误;对于C项,当时,代入（*）可得,则,故C项错误;对于D项,当时,代入（*）可得,则,故D项正确.故选：D.8．答案：B解析：一方面由题意,且注意到,联立得,解得,,所以,另一方面不妨设,且,所以有,解得或（舍去）,即,由两角和的正切公式有,所以.故选：B.9．答案：AD解析：根据条件及三角函数的定义知,,,对于选项A,,所以选项A正确,对于选项B,,所以,即为偶函数,所以选项B错误,对于选项C,因为,解得,所以选项C错误,对于选项D,,故选项D正确,故选：AD.10．答案：ABC解析：对于A,由A,B为相互独立事件且,得,A正确;对于B,由,得,即,B正确;对于C,事件互斥,则,C正确;对于D,由选项C同理得,与不一定相等,因此不一定成立,D错误.故选：ABC.11．答案：ABD解析：对于A,因为,所以定义在的函数是周期函数,且,所以,所以A正确,对于B,又因为,都有成立,令,得到,当时,,所以,当时,,所以,所以在上的图象如图所示,由图象知,若数列为等差数列,则,此时与在内有且仅有一个交点,又,即有,所以数列是公差为的等差数列,故B正确,对于C,若,即,可得,则,即与在内有且仅有2个交点,结合图象可得,所以C错误,对于D,若,则与在内有且仅有3个交点,且,因为,则,所以数列是以为首项,公差的等差数列,可得,所以,故D正确,故选：ABD.12．答案：16解析：当且仅当时等号成立.即当时,取得最小值为16.故答案为：16.13．答案：解析：由题意,米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为,下底面中心为,由棱台的性质可知,外接球的球心O落在直线上,由题意该四棱台上下底面边长分别为和,侧棱长为,则,,,所以,设外接球的半径为R,设,若O段上,则,因为垂直于上下底面,所以,即,又,即,联立解得,,所以该米斗的外接球的表面积为．若O在的延长线上,则,同理有,解得（舍）.故答案为：.14．答案：解析：, , ,经过内切圆圆心, 为的角平分线,． ,,,,,,于是,为正三角形,．中,由余弦定理,..故答案为：.15．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为M,N分别是,的中点,所以,又,所以,因为,所以．又,,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面．（2）因为,,所以就是二面角的平面角,所以,因为为以为斜边的等腰直角三角形,M为的中点,所以,又,所以为等边三角形,取中点O,连接,则,因为平面平面,平面平面,平面,所以面,如图,以直线为z轴,以为x轴建立空间直角坐标系,,,,,所以,,设面的一个法向量,则有,得到．取,则,,所以为平面的一个法向量,又,所以C点到面的距离．16．答案：（1）（2）2解析：（1）若为等边三角形,则．如图,在中,,所以,．又知,所以．（2）设,,则．如图所示,在中,因为,所以．由正弦定理,得,即．所以①．在中,由余弦定理,得,所以．所以②．由①②,解得,,所以．17．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由题意：①,②,由①②两式,解得,,所以椭圆E的方程为：．（2）设直线,直线过点,．联立方程组,可得,,设,,则：,,,,,令可得：,下面证明：．即证：,即证：,整理得即证：,即证：,整理可得即证：,即证：,,上式成立,原式得证．18．答案：（1）（2）分布列见解析,（3）,证明见解析解析：（1）设某同学第二天选择餐厅甲就餐为事件A,则,所以某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率为．（2）由（1）可知,3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为,记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,X所有可能的取值为0,1,2,3,则（,1,2,3）．所以X的分布列为：X0123P．（3）依题意,,即,则有,当时,可得,数列是首项为公比为的等比数列,则,所以,当且为偶数时,;当且为奇数时,,因此,当时,恒成立．19．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：（1）设,则.当时,：当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.因此,,即.（2）由泰勒公式知,①于是,②由①②得所以即.（3）,则,设,由基本不等式知,,当且仅当时等号成立所以当时,,所以在R上单调递增.又因为是奇函数,且,所以当时,;当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.因此,是的极小值点.下面证明：当时,不是极小值点.当时,,又因为是R上的偶函数,且在上单调递增,所以当时,.因此,在上单调递减.又因为是奇函数,且,所以当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减.因此,是的极大值点,不是的极小值点.综上,实数a的取值范围是.。