3.4 Gauss求积公式.ppt

第三章 数值积分与数值微分,3.4 Gauss,求积公式,3.4.3 Gauss,求积公式的余项与稳定性,3.4.2,常用,Gauss,求积公式,3.4.1 Gauss,求积公式的基本理论,,3.4 Gauss,求积公式,学习目标：,,掌握高斯求积公式的用法会用高斯,,勒让德求积公式前面我们限定把积分区间的,等分点,作为求积节点,,,从而构造,出一类特殊的插值求积公式，即,Newton—Cotes,公式,这种做法,,虽然简化了算法，但却降低了所得公式的代数精度例如：在,,构造形如,的两点积分公式时，如果限定求积节点 ，那么,,所 得插 值型求积公式 ，其代数精度仅为,1,但是，如果我们对公式（*）中系数 和节点 都不加,,限制，那么就可以适当选取 使所得公式的代数精,,度,m>1,事实上，若要求（*）对,f,(,x,)=,1,，,x,，,都准确成立，,,满足方程组：,只要,易验证，这是代数精度为,m=3,的插值型求积公式。

代入（*）得：,由第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得,,,由上例可知，在节点数目固定为,n,的条件下，可以通过,适当选取求积节点,x,k,的位置以及相应的求积系数,A,k,，使机械求积公式,,,具有尽可能高,(,最高,2n+1),的代数精度当求积系数,A,k,、求积节点,x,k,都可以自由选取时,,,其代数精确度最高可以达到多少次,?,,,下面的引理可以回答上述问题,.,(3.4.1,),考虑带权求积公式,,引理,3.4.1,当求积系数,A,k,、求积节点,x,k,都可以自由选取时,,,n,点的求积公式,(3.4.1),的代数精确度最高可以达到,2n+1,次,.,于是成立等式,即,若记,(3.4.2),证,假设求积公式,(3.4.1),具有,m,次代数精确度,,,即对任意的,m,次代数多项式 求积公式,(3.4.1),的精确成立,.,,则,(3.4.2),式成为,由于系数,a,m,,a,m-1,,…,a,1,,a,0,,的任意性,,,故使,(3.4.3),式成为恒等式的充要条件是,(3.4.3),(3.4.4),式的待定系数有,2n+2,个,,,所以确定待定系数的独立条件至多给出,2n+2,个,,,从而可知,m,至多为,2n+1,.,(3.4.4),,怎样适当选择求积系数,A,k,、求积节点,x,k,,，使求积公式的代数精度达到最高，在上面的例子中讨论了一种方法,-----,待定系数法,。

定义,3.4.1,,如果求积公式（,3.4.1,）具有,2n+1,次代数精度,,,则称该公式为,Gauss,型公式,称其节点 为,Gauss,点,.,例,3.4.1,,确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高,.,(3.4.5),解,:,,在构造形如,,,的两点公式时,,,如果限定求积节点,,,,那么所得插值求积公式,,的代数精度仅为,1,但是,,,如果对式,(3.4.5),中的系数 和 节点 都不加限制，由引理,1,知就可适当选取 和,,,使所得公式的代数精度,m,>,1(,最高为,n-1=3),即求积公式,(3.4.2),对函数 都准确成立，只要 和 满足方程组,由第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得,,代入,(3.4.5),即得,(3.4.6),可以验证，所得公式（,3.4.6,）是具有,3,次代数精度的求积公式。

例,3.4.1,是,直接利用代数精度的概念,去求,n+1,个,Gauss,点和,n+1,个求积系数，即,对于插值型求积公式,(,3.4.2),,分别取,,f,(,x,)=1,,x, x,2,, x,3,,…, x,2n+1,,,用待定系数法来确定参数,x,k,和,A,k,,(,k,=0,1,…,n,),从而构造,n,+1,个点高斯求积公式但是，这种做法是要,联立求,解一个包含,2,n,+2,个未知数的非线性方程组，,方程组是可解的，但当,n,稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易其计算工作量是相当大的另一类较简单的方法是：,,先利用区间,,a,,,b,,上的,n,+1,次正交多项式确定高斯点,x,k,,∈[,a,b,],, (,k,=0,1,…,n,),,(2),然后利用高斯点确定求积系数,A,k,,(,k,=0,1,…,n,),下面从分析,Gauss,点的特性着手研究,Gauss,公式的构造问题 插值求积公式节点一经确定，相应的求积系数就确定了，,,定理,3.4.1,,对于插值求积公式,(3.4.1),,其节点 是,Gauss,点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式,,,与任意不超过,n,次,的,多项式,P,(,x,),带权正交,,,即,（,3.4.7,）,式,(3.4.1),对于,P,(,x,),,n,+1,(,x,),是准确成立的，即有,的次数不超过,2n+1,。

因此,,,如果,x,0,,,x,1,,,…,,x,n,是,Gauss,点，则求积公,证,.,先证必要性,.,设,P(x),是任意次数不超过,n,的多项式,,,则,P,(,x,),,n,+1,(,x,),,再证充分性设,f,(,x,),是任意个次数不超过,2n+1,的多项式，用,,n,+1,(,x,),除,f,(,x,),,记商为,P,(,x,),,余式为,Q,(,x,),,即,f,(,x,)=,P,(,x,) ,n,+1,(,x,)+,Q,(,x,),,其中,P,(,x,),和,Q,(,x,),,都是次数不超过,n,的多项式利用（,3.4.7,）有,由于,(3.4.1),是插值型的，它对于,Q,(,x,),能准确,成立,：,注意到,,n,+1,(,x,k,)=0,知,Q,(,x,k,)=,,f,(,x,k,),，从而有,由此可见，公式（,3.4.1,）对于一切次数不超过,2n+1,的多项式均能准确成立因此，,{,x,k,,},k,n,=0,是,Gauss,点,.,定理得证由于,n,+1,次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且,n,+1,次正交多项式恰好有,n,+1,个互异的实的单根，我们有下面的推论。

推论,3.4.2,,n,+1,次正交多项式的零点是,n,+1,个,Gauss,公式的,Gauss,点推论,3.4.2,实际上给出了构造,Gauss,型求积公式的一种方法,.,,,这种方法,,,当给定了积分区间,[a,b],和权函数,,(x),以后构造,n+1,个点的,Gauss,型求积公式,.,,,先求出区间,[a,b],上带权函数,,(x),的,n+1,次正交多项式,P,n,(,x,) ,,然后用多项式求根的方法求出,P,n,(,x,),的,n+1,个根,x,k,(,k,=0,1,…,n,),从而获得了求积节点,x,k,(,k,= 0, 1, … ,,n,).,,为了求得求积系数,A,k,(,k,=0,1,…,n,) ,,将,n+1,个求积节点,x,k,(,k,=0,1,…,n,),代入方程组,(3.4.4),中的前,n+1,个方程并加以求解,,,即解线性代数方程组,,求得求积系数,A,k,(,k,=0,1,…,n,),,,完成,Gauss,型求积公式的,,构造,.,让我们看下一个例子讨论用以上方法进行,Gauss,型求积公式的构造,.,,,例,3.4.2,,确定 使下列公式为,Gauss,公式：,,,解,方法,1,：像例,3.4.1,一样,,,直接由代数精度的概念构造,Gauss,公式。

方法,2,：用正交多项式的零点作为,Gauss,点的办法构造该,Gauss,公式先构造区间,[0,，,1],上权函数 的正交多项式 这里我们,,,直接用正交性求解设,则,由,得,a,=-2/5.,由,,由此解得 从而得到,Gauss,求积公式由,得,b=-8/9,，从而得,c=-8/63,由 的零点,按代数精度的概念，分别令,f,(,x,)=1,，,x,时公式准确成立，得,,3.4.2,常用,Gauss,求积公式,,,,在区间,[-1,，,1],上取权函数 ，那么相应的正交多项式为,Legendre,多,,,项式以,Legendre,多项式的零点为,Gauss,点的求积公式为,,,,（,3.4.8,）,,,称之为,Gauss-,Legendre,求积公式,1.Gauss—Legendre,求积公式,,不失一般性，可取,a,＝,-1,，,b,＝,1,而考察区间,[-1,，,1],上的高斯公式,,,令它对,f,(,x,)=1,准确成立。

即可得出 这样构造出的一点,Gauss-,Legendre,公式是中矩形公式若取 的零点 作节点构造求积公式,Legendre,多项式组,:{1,,x,,(3,x,2,-1)/2,(5,x,3,-3,x,)/2,…,},再取 的两个零点 构造求积公式：,,令它对,f,（,x,）,=1,，,x,均准确成立，即,从而得,两点,Gauss—,Legendre,公式,：,此时，公式（,3.4.8,）即为例,3.4.1,所给出的公式当,n=2,时，三次,Legendre,多项式,零点为,以此为,Gauss,点，仿两点,Gauss-Legendre,求积公式，求相应的求积系数，可构造出具有,五次代数精度的,3,点,Gauss-Legendre,求积公式,,Guass-Legendre,求积公式中的,Gauss,点,x,k,(,k,= 0, 1, … ,,n,).,和求积系数,A,k,(,k,=0,1,…,n,),见表,3-5,。

x,x,k,A,k,0,0.0000000,2.0000000,1,±0.5773503,1.0000000,2,±0.7745967,,0.0000000,0.5555556,,0.8888889,3,±0.8611363,,±0.3399810,0.3478548,,0.6521452,4,±0.9061798,,±0.5384693,,±0.0000000,0.2369269,,0.4786287,,0.5688889,,,,对于一般区间,[a,，,b],上的求积,，如果用,Gauss-,Legendre,求积公式，那么,,,务必须作变量替换,对于上式右边的积分可以应用,Guss-Legendre,求积公式，有：,就可将求积区间,,a,b,,变换到,,-1,1,,上，这时,即有,,其中,,,即,代入（,A,）,得：,其中系数 和节点 可查表,3-5,得出，由变量替换公式,易见，由于求积公式（,C,）,对变量,t,不高于,2n+1,的多项式准确成立，从而求积公式（,D,）,对自变量,x,的不高于,2n+1,,的多项式也准确成立，即（,D,）是,Gauss,型求积公式。

例,3.4.3,,用,Gauss-,Legendre,求积公式,(n=1,2),计算积分,解,由于区间为,[0,1],,所以先作变量替换,x=(1+t)/2,,得,,,,,,对于,n=2,,由,三点,Gauss-,Legendre,公式有,令 对于,n=1,,由两点,Gauss-,Legendre,公式有,容易求出定积分的精确值为,I=e-2=0.718281828,，,由此可见,,n=1,时的实,,,际误差为,0.0063340054, n=2,时的实际误差为,0.000030049,练：,利用,四点,Gauss,求积公式,计算 的近似值解：,Gauss,型求积公式（,D,）,得：,其中,a=0,，,b=1.,= -0.86113631，,= -0.33998104，,将上述各数据代入上公式中有：,由表,3-5,，可得,,优点,：,在此例计算过程中，只涉及到 四个点上的函数值，可,,见,Gauss,型求积公式具有计算工作量小，所得近似值精确度,,高的优点，是一种高精度的求积公式。

Gauss,型求积公式的,缺点,是：当,n,改变大小时，系数和节点几,,乎都在改变虽然可以通过其他资料查到较大,n,的系数和节点，,,但应用时却十分不便同时，余项却涉及到高阶导数（被积,,函数的），要利用它们来控制精度也十分困难为克服这些缺点，在实际计算中较多地采用复合求积,,的方法例如，先把积分区间 分成,m,个等长的小,,区间 然后，在每个小区间上使用同,,一低阶（如二点的，三点的，,…,）高斯型求积公式算,,出积分近似值，再相加即将积分 的近似值：,,,,其中， 由查表可得同时在实际计算中，,还常用相邻两次计算结果 和 的关系式,来控制运算（当 时，,,相当于相对误差）即算出 后，观察 是否,,成立，以判定是否终止计算可据此编程计算以此为,Gauss,点,,,利用,Chebyshev,多项式的性质可得相应的求积系数 为,其中 是关于,Gauss,点的,Lagrange,插值基函数,.,从而有,Gauss-,,Chebyshev,求积公式,:,2.Guass-Chebyshev,求积公式,,,在区间,[-1,1],上取权函数 的正交多项式是,Chebyshev,正交,,,多项式。

n+1,次,Chebyshev,多项式,,,的零点为,,(3.4.9),对于,n=1,,二点,Gauss-,Chebyshev,求积公式为,,对于,n=2,,三点,Gauss-,Chebyshev,求积公式为,,例,3.4.4,,计算积分,解,选用,n=2,的,Gauss-,Chebyshev,求积公式计算,,,这时 于是有,,,3.4.3 Gauss,求积公式的余项与稳定性,定理,,3.4.2,设,,,则,Guass,公式,(3.4.1),的余项是,(3.4.10),证 由,Gauss,点 构造次数不超过,2n+1,的,Hermite,插值,,,多项式,H(x),,满足条件,,,由于,Gauss,公式具有,2n+1,次代数精度它对于,H(x),能准确成立,,,即,,特别地， 对于两点,Gauss-,Legendre,求积公式有,由,Hermite,插值多项式的插值余项有,再考虑到 在,[,a,b,],上保号,,,应用积分中值定理得,(3.4.10),,定理得证,.,,对比,Newton-Cotes,求积公式,,Gauss,求积公式不但具有高精度,,,而且是数,,值稳定的,.Gauss,公式的稳定性之所以能够得到保证,,,是由于它的求积系数,,具有非负性,.,引理,3.4.2,,,Gauss,求积公式,(3.4.1),中的系数 全部为正,.,对于两点,Gauss-,Chebyshev,求积公式有,,在实际计算积分的近似值 时， 不能精确地,,,取到，一般只能是近似值，设 实际求,,,得的积分值为,定理,3.4.3,,对于函数值的变化所引起的求积公式的误差有,证,对于以,Gauss,点 为节点的插值基函数,,是,2n,次多项式,,,故,Gauss,公式,(3.4.1),对于它能准确,,,,即有,,,由于上式左端大于零,,,所以有,,证毕,.,(3.4.11),,因此，（,3.4.11,）成立，定理成立。

由定理,3.4.3,可知，数据误差对于求积公式计算值的影响是可以控制的，即,,,Gauss,求积公式在数值计算中是稳定的证,由于求积系数 因此有,,,在,Gauss,求积公式中，取,f,(,x,)=1,，此时求积公式精确成立，即得,,,,例,1,：选取常数,a,，,求使积分公式,的代数精度尽量高，并问其代数精度为几次？,解：取,f(,x,)=1.,则对上求积公式，左端,f(,x,)=,x,.,则 ，左端,=,综合举例,:,,令左端,=,右端,左端,=,再取,故，当取,时，求积公式具有,3,次代数精度例,2,,若用复化梯形公式计算积分,问积分区间要多少等分,,才能保证有,6,位有效数字？,解：由复化梯形公式截断误差式知,,由于该积分有一位整数，所以要求使近似积分有,6,位有效数字，只需取,n,满足：,,（,有效数字定义见第一章，表示不,,超过某一位数字的一半）,,即,即,因此，至少要将,[0,，,1],区间,212,等分若将同一问题改为复化,,Simpson,公式,，则由复化,Simpson,公式截断误差式同样可得：,,,由此可见，,Simpson,公式复化型比复化梯形公式计算量少得多。

的近似值，要求误差,例3,用,Romberg,求积法计算,解：此时积分限为,a=0,b=1.,而,,(,本例主要说明,Romberg,过程,）,,,①．,,③．,④．,⑤．,⑥．,⑦．,⑧．,⑨．,⑩．,②．,,如此继续算得：,由于,,这个实例表明,,Romberg,求积法计算过程不便于手工计算，但由于计算程序具有规律性，不必存储求积系数和节点，而且精度较高，因此适合于在电子计算机上进行计算用,Romberg,方法计算时，是把区间逐次分半的，因此有时称该法,,为逐次分半加速法例,4,,构造三个节点的,Gauss-Legendre,求积公式，并给出余项估计式解：由于三次,Legendre,多项式为：,其三个零点分别为：,令它对,准确成立,,则三点,Gauss-Legendre,求积公式为：,余项为：,（,节点数）,,例如，若要计算,的近似值，则由上积分公式得：,上述积分准确值为：,若利用三点,Simpson,求积公式则,可见在节点数目相同的情况下，,Gauss,求积公式的精度是相当高的例,5,,给出计算积分,的两点计算 公式，,使得对,f(,x,),为三次多项式时精确成立解：设,,取 为二次多项式，对,w,（,x,）,上,,式应精确成立：,显然 则,,但,因而 即,不妨令 且 于是,令积分公式对,f,（,x,）,=1,，,x,准确成立 得：,,解之得,a=b=,故所求积分公式为：,显然，由上述过程知，积分公式对,,精确成立。

可验证：,,从而积分公式对,也准确成立令,（,奇函数积分）,而,因此积分公式对,准确成立例,6,,求下列求积公式的代数精度,解：设,,为任意实数,则 左式,=,而右式,=,,即积分公式对任意,3,次多项式准确成立则,而右端,,故其代数精度为,3,次又取,,解：由于有,4,个待定系数,一般应对三次多项式精确,成立可取,得：,例,7,,建立下述形式的求积公式并确定它的代数精度：,,故所求积分公式为：,故所得积分公式具有,3,次代数精度例,8,,导出下述形式的求积公式：,解：它有,4,个待定系数，应该对三次多项式准确成立取,得：,,易验证，它对 不精确成立，因此具有,3,次代数精度,。