思维特训三最短路径的探究.docx

思维(sīwéi)特训(三)　最短路子的讨论体例点津 ·有关实际问题中的最短路子问题，但凡进展构建与转化，再按照“两点之间，线段最短〞进展分析与求解．典题精练 ·类型一　有关平面内的最短路子问题关于平面内的最短路子问题，我们有下面几个响应的结论：(1)在连接两点的所有线中，线段最短(两点之间，线段最短)；(2)关于线段和最短的问题，往往把几条线段转化成一条线段，把持“两点之间，线段最短〞或者“三角形两边之和大年夜于第三边〞加以证实，关头是找出相关点关于直线的对称点实现化“折〞为“直〞．1．：如图3－TX－1，△ABC为等边三角形，高AH＝10 cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，那么PD＋PB的最小值为________ cm.图3－TX－12．如图3－TX－2所示，四边形ABCD是正方形，AB＝6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的值最小，那么这个最小值为________． 图3－TX－23．如图3－TX－3所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离 分袂为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？最短路程是多少？ 图3－TX－34．如图3－TX－4所示，A，B两块试验田相距(xiāngjù)200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC＝120 m，为了便当浇灌，现有两种修建水沟的方案．甲方案：从水源地C直接修建两条水沟分袂到A，B；乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修建一条水沟到AB地址直线上的H处，再从H分袂向A，B进展修建．(1)请断定△ABC的外形(要求写出推理过程)；(2)两种方案中，哪一种方案所修的水沟较短？请经由过程计较声名． 图3－TX－4类型二　几何体上的最短路子问题解决立体图形中肆意两点间的最短路程问题，应充分运用转化思惟，将立体图形转化为平面图形，或将曲面转化为平面，从而把问题转化为平面内“两点之间，线段最短〞的距离 问题，机关出直角三角形后，运用勾股定理即可求解．5．如图3－TX－5，一只蚂蚁从正方体的底面点A处沿着外表爬行到上底面的点B处，它爬行的最短道路是(注：点P是SR的中点)(　　) 图3－TX－5A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．A⇒R⇒B D．A⇒S⇒B6．如图3－TX－6，有一个圆柱形大年夜玻璃杯，它的底面直径为16 cm，高为18 cm，一只小虫从底部点A处沿外表爬到与点A相对的上底面的点B处，那么小虫所爬的最短路子长约是(π取3)(　　) 图3－TX－6A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．50 cm7．如图3－TX－7，长方体的底面边长分袂为2 cm和4 cm，高为5 cm，假设(jiǎshè)一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，那么蚂蚁爬行的最短路子长为________ cm.图3－TX－78.2021·唐河县期末如图3－TX－8是一个棱长为3 cm的正方体，把所有的面均分成3×3 个小正方形，其边长都为1 cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，那么它从下底面点A沿外表爬行至侧面的点B，起码要用________秒钟．图3－TX－89．如图3－TX－9是一个长方体，它的长、宽、高分袂为5 cm，3 cm，4 cm.在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B处的食物．蚂蚁沿长方体外表爬行的速度是0.8 cm/s，那么蚂蚁能否在11 s内获取到食物？ 图3－TX－910.如图3－TX－10，长方体的底面是边长为1 cm的正方形，高为3 cm.(1)假设用一根细线从点A开始经过4个侧面环抱纠缠一圈到达点B，请计较细线最短需要多少；(2)假设从点A开始经过4个侧面环抱纠缠2圈到达点B，请计较所用细线最短长度的平方值． 图3－TX－1011．如图3－TX－11是成都动物园大年夜鸟笼(百鸟苑)，苑内一条参不雅观道环抱中间直径为20 m，高为10 m的立柱形成架空参不雅观廊桥，视野坦荡，可与鸟类近距离 接触，同时也节约了占地面积．已修成的这条参不雅观道绕立柱一周，最高离地面10 m，总长70 m，每米造价约为1万元．假设请你来当参不雅观道的设计师，仍然绕圆柱一周，最高离地面10 m，每米的造价不变，你能设计出一种最省钱的方案吗？哀告出最低造价是多少万元．(功效取整数)图3－TX－11详解(xiánɡ jiě)详析1．10　2.6　3．[导学号：34972332]解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，那么在点M处饮水所走总路程最短，最短路程为A′B的长．过点A′作A′H⊥BD交其迟误线于点H，在Rt△A′HB中，因为A′H＝CD＝800米，BH＝BD＋DH＝BD＋A′C＝BD＋AC＝200＋400＝600(米)，由勾股定理，得A′B2＝A′H2＋BH2＝8002＋6002＝1000000，故A′B＝1000(米)，所以最短路程为1000米．4．[导学号：34972333]解：(1)△ABC是直角三角形．出处如下：因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AB2＝2021＝40000，所以AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形．(2)甲方案所修的水沟较短．出处如下：因为(yīn wèi)△ABC是直角三角形，所以△ABC的面积为AB·CH＝AC·BC，所以CH＝＝＝96(m)．因为AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC＜CH＋AH＋BH，所以甲方案所修的水沟较短．5．A　[解析] 要求正方体中两点之间的最短路子，最直接的作法，就是将正方体展开，然后把持“两点之间，线段最短〞解答．应选A.6．[导学号：34972334]B　[解析] 圆柱的侧面展开图如图，按照“两点之间，线段最短〞就可以得知AB最短．由题意，得AC≈3×16÷2＝24(cm)，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB≈30 cm. 解决此类问题，一般体例是先按照题意把立体图形展开成平面图形，再确定两点之间的最短路子．此题将圆柱的侧面展开，机关出直角三角形是解题的关头．7．13　[解析] 这个长方体的侧面展开图如下列图，连接PQ，那么PP′＝12 cm，QP′＝5 cm，由勾股定理得PQ2＝169，所以PQ＝13 cm，所以蚂蚁爬行的最短路子长为13 cm.8．[导学号：34972335]2.5　[解析(jiě xī)] 因为爬行路子不唯一，故分情况分袂计较，进展比较，再从各个道路中确定最短的道路．(1)展开前面和右面，由勾股定理得AB2＝29；(2)展开底面和右面，由勾股定理得AB2＝25.所以AB2＝25时路子最短，最短路子长为5 cm，用时起码为5÷2＝2.5(秒)．9．[导学号：34972336]解：长方体两个面的展开图如下列图，图①：A1B12＝32＋(4＋5)2＝90；图②：A2B22＝42＋(3＋5)2＝80；图③：A3B32＝52＋(3＋4)2＝74.是以，最短路子为A3B3.因为0.8×11＝8.8(cm)，8.82＝77.44>74，所以蚂蚁能在11 s内获取到食物．10．[导学号：34972338][解析] (1)把长方体的侧面沿AB边剪开，再把持勾股定理进展解答即可；(2)假设从点A开始经过4个侧面环抱纠缠2圈到达点B，所用细线的最短长度就是两条直角边长分袂是8和3的直角三角形的斜边长，再把持勾股定理解决问题．解：(1)如图，将长方体的侧面展开，连接AB，按照“两点之间，线段最短〞，得AB2＝42＋32＝25，故AB＝5(cm)．即细线最短需要5 cm.(2)假设(jiǎshè)从点A开始经过4个侧面环抱纠缠2圈到达点B，所用细线的最短长度就是两条直角边长分袂是8和3的直角三角形的斜边长，按照勾股定理可知所用细线最短长度的平方＝82＋32＝73. 此题考查的是平面展开——最短道路问题，按照题意画出图形，把持数形连络思惟求解是解答此类题的关头．11．[导学号：34972339]解：如图，将立柱侧面展开，作点A关于BB′的对称点P，连接PA′，与BB′交于点M，那么最短路子的长为PA′的长．在Rt△PA′A中，由勾股定理，得PA′2＝PA2＋AA′2＝202＋，所以PA′≈66(m)．是以，最省钱的参不雅观道长约为66 m，造价约为66万元．。