《系统的数学模型》PPT课件.ppt

第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 所谓系统的数学模型就是所谓系统的数学模型就是描述系统输入输出描述系统输入输出关系的数学表达式关系的数学表达式建立起控制系统的数学建立起控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、模型，并在此基础上对控制系统进行分析、设计、综合，是控制系统的基本研究方法设计、综合，是控制系统的基本研究方法 本章主要内容本章主要内容1）线性微分方程式的建立及微分方程线性）线性微分方程式的建立及微分方程线性化的方法化的方法2）拉普拉斯变换及传递函数概念）拉普拉斯变换及传递函数概念3）系统方块图和信号流程图的概念）系统方块图和信号流程图的概念 第一节第一节 引引 言言 一、系统的数学模型一、系统的数学模型 数学模型就是系统的输出与输入间的数学表数学模型就是系统的输出与输入间的数学表达式分为静态模型和动态模型分为静态模型和动态模型静态模型静态模型：：在静态条件下得到的方程一般在静态条件下得到的方程一般用代数方程来表示用代数方程来表示动态模型动态模型：：在动态条件下得到的方程一般在动态条件下得到的方程一般用微分方程式来描述用微分方程式来描述。

工程上常用的数学模型包括微分方程、传递工程上常用的数学模型包括微分方程、传递函数和状态方程，微分方程是基本的数学模函数和状态方程，微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础型，是列写传递函数的基础 系统的数学模型可以从理论分析和试验的方法系统的数学模型可以从理论分析和试验的方法来获取，两种方法是相辅相成的理论分析可来获取，两种方法是相辅相成的理论分析可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构，而以大致确定数学模型的阶次、参数与结构，而试验的方法可以最终确定数学模型的形式试验的方法可以最终确定数学模型的形式 从理论上建立系统的数学模型，常称为理论从理论上建立系统的数学模型，常称为理论建模这往往是困难的为建立一个系统的建模这往往是困难的为建立一个系统的理想的数学模型，必须注意到以下几点：理想的数学模型，必须注意到以下几点： 1 1、必须对元件或系统的构造、工作情况有足、必须对元件或系统的构造、工作情况有足够的了解够的了解Ø分布参量集中化分布参量集中化Ø非线性因素线性化非线性因素线性化Ø时变参量定常化时变参量定常化3 3、不同元件或系统应采用与之相应的物理、不同元件或系统应采用与之相应的物理定律来建立输入与输出的关系。

如机械系定律来建立输入与输出的关系如机械系统常用牛顿定律、电气系统采用基尔霍夫统常用牛顿定律、电气系统采用基尔霍夫定律等这是建立数学模型的基础这是建立数学模型的基础2 2、忽略一些次要的因素，进行合理的简化忽略一些次要的因素，进行合理的简化Ø忽略次要因素或数值上比较小的因素忽略次要因素或数值上比较小的因素二、线性系统二、线性系统 如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统一个系统，无论是用代数方程还是线性系统一个系统，无论是用代数方程还是用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为方程的次数一次微分方程叫做线性微分方程；方程的次数一次微分方程叫做线性微分方程；除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方程 微分方程中，无论是因变量或者是它的导数，微分方程中，无论是因变量或者是它的导数，都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其导数之积，则此导数之积，则此微分方程就是线性微分方程微分方程就是线性微分方程用这种方程用这种方程描述的系统称为线性系统。

描述的系统称为线性系统 下列微分方程描述的系统为线性系统下列微分方程描述的系统为线性系统 下列微分方程描述的系统为非线性系统下列微分方程描述的系统为非线性系统 1.线性系统的齐次性线性系统的齐次性如果系统在输入如果系统在输入x(t)作用下的输出为作用下的输出为y(t)，，并记为并记为x(t) → → y(t)则 kx(t) → → ky(t)称称为齐次性式中次性式中k为常数线性系性系统具有具有齐次性线性系统最重要的特性，就是叠加原理线性系统最重要的特性，就是叠加原理线性系统最重要的特性，就是叠加原理线性系统最重要的特性，就是叠加原理 若系统在输入若系统在输入若系统在输入若系统在输入x x1 1( (t t) )作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为y y1 1( (t t), ),而在另一个而在另一个而在另一个而在另一个输入输入输入输入x x2 2( (t t) )作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为y y2 2( (t t) )，，，，并记为并记为并记为并记为 x x1 1( (t t) ) → → → → y y1 1( (t t) )x x2 2( (t t) ) → → → → y y2 2( (t t) ) 则以下关系则以下关系则以下关系则以下关系 x x1 1( (t t) ) + x + x2 2( (t t) )→ → → → y y1 1( (t t) ) + y + y2 2( (t t) )称为叠加性或叠加原理称为叠加性或叠加原理称为叠加性或叠加原理称为叠加性或叠加原理 叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之和。

因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一和因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一和因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一和因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加 2.线性系统的叠加性线性系统的叠加性三三. .非线性系统非线性系统 用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统 虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但是在大多数情况下，实际的关系并非是真正是在大多数情况下，实际的关系并非是真正线性的事实上，对物理系统进行仔细研究事实上，对物理系统进行仔细研究后可以发现，即使对所谓的线性系统来说，后可以发现，即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较小的非线性因素所引起的误差，工程上响较小的非线性因素所引起的误差，工程上又允许的话，这一系统就可以作为线性系统又允许的话，这一系统就可以作为线性系统来处理。

图来处理图 2 - 1为工程上常见的非线性特性为工程上常见的非线性特性曲线 当输入信号较小而工作性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作性区时，可看作线性元件；当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处理在实际系统中，有时还人为的引入饱性元件来处理在实际系统中，有时还人为的引入饱性元件来处理在实际系统中，有时还人为的引入饱性元件来处理在实际系统中，有时还人为的引入饱和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件在额定或安全情况下运行在额定或安全情况下运行在额定或安全情况下运行在额定或安全情况下运行饱和非线性饱和非线性当输入信号在一定范围内变化时，当输入信号在一定范围内变化时，当输入信号在一定范围内变化时，当输入信号在一定范围内变化时，具有具有具有具有饱和特性的环节其输入输出呈饱和特性的环节其输入输出呈饱和特性的环节其输入输出呈饱和特性的环节其输入输出呈线性关系；当输入信号线性关系；当输入信号线性关系；当输入信号线性关系；当输入信号x x的绝对值的绝对值的绝对值的绝对值超出其线性范围后，输出信号不再超出其线性范围后，输出信号不再超出其线性范围后，输出信号不再超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持在一常值上。

随输入信号变化而保持在一常值上随输入信号变化而保持在一常值上随输入信号变化而保持在一常值上具有饱和特性的元件如放大器、调具有饱和特性的元件如放大器、调具有饱和特性的元件如放大器、调具有饱和特性的元件如放大器、调节器等 只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系例如各种测量元件的不灵敏区，调节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等当死区很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。

在工程误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性在工程误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性在工程误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性在工程实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入或增大死区或增大死区或增大死区或增大死区死区非线性死区非线性死区特性又称不灵敏特性，图中死区特性又称不灵敏特性，图中死区特性又称不灵敏特性，图中死区特性又称不灵敏特性，图中横坐标为输入，纵坐标为输出横坐标为输入，纵坐标为输出横坐标为输入，纵坐标为输出横坐标为输入，纵坐标为输出由此可见，当输入信号在零附近由此可见，当输入信号在零附近由此可见，当输入信号在零附近由此可见，当输入信号在零附近变化时，系统输出为零变化时，系统输出为零变化时，系统输出为零变化时，系统输出为零 间隙非线性间隙非线性传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统中一种常见的非线性特性现象中一种常见的非线性特性现象中一种常见的非线性特性现象中一种常见的非线性特性现象。

在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需要，总会有一定的间隙存在要，总会有一定的间隙存在要，总会有一定的间隙存在要，总会有一定的间隙存在例如齿轮传动，为保证转动灵例如齿轮传动，为保证转动灵例如齿轮传动，为保证转动灵例如齿轮传动，为保证转动灵活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许有少量间隙有少量间隙有少量间隙有少量间隙由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮（其转角为输入信号（其转角为输入信号（其转角为输入信号（其转角为输入信号x x( (t t) )）总要转过间隙量）总要转过间隙量）总要转过间隙量）总要转过间隙量2 2 x x的空行的空行的空行的空行程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号y y( (t t) ) ）转）转）转）转动，形成如图所示的环状间隙特性。

动，形成如图所示的环状间隙特性动，形成如图所示的环状间隙特性动，形成如图所示的环状间隙特性在机械传动中，摩擦是必然在机械传动中，摩擦是必然在机械传动中，摩擦是必然在机械传动中，摩擦是必然存在的物理因素例如执行存在的物理因素例如执行存在的物理因素例如执行存在的物理因素例如执行机构由静止状态启动，必须机构由静止状态启动，必须机构由静止状态启动，必须机构由静止状态启动，必须克服机构中的静摩擦力矩克服机构中的静摩擦力矩克服机构中的静摩擦力矩克服机构中的静摩擦力矩y y1 1 启动之后，又要克服机构启动之后，又要克服机构启动之后，又要克服机构启动之后，又要克服机构中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩y y2 2 一般静摩擦力矩大于动摩擦力矩摩擦力矩大于动摩擦力矩摩擦力矩大于动摩擦力矩摩擦力矩大于动摩擦力矩如图所示相应的数学表达如图所示相应的数学表达如图所示相应的数学表达如图所示相应的数学表达式为式为式为式为摩擦间隙非线性摩擦间隙非线性非线性系统重要的特性，是不能应用叠加原非线性系统重要的特性，是不能应用叠加原理因此，对包含有非线性系统的问题求解，理因此，对包含有非线性系统的问题求解，其过程通常是非常复杂的。

为了绕过由非线其过程通常是非常复杂的为了绕过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需引入性系统而造成的数学上的难关，常需引入“等效等效”线性系统线性系统来代替非线性系统如饱和来代替非线性系统如饱和非线性（图非线性（图a）和死区非线性（图）和死区非线性（图b）这种等效线性系统，仅在一定的工作范围内是正等效线性系统，仅在一定的工作范围内是正确的，而对于那些确的，而对于那些本质的非线性本质的非线性（图（图c、、 图图d）） ，则用线性化处理的数学模型来近似的，则用线性化处理的数学模型来近似的表示非线性系统在第三节中，将介绍线性表示非线性系统在第三节中，将介绍线性化处理的方法化处理的方法 第二节第二节 线性微分方程式的建立线性微分方程式的建立 一．建立线性微分方程式的步骤一．建立线性微分方程式的步骤 1、首先将系统划分为若干个环节，、首先将系统划分为若干个环节，确定每一确定每一环节的输入信号和输出信号环节的输入信号和输出信号确定输入信号和确定输入信号和输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一环节的输入信号环节的输入信号 2 2、、写出每一环节（或元件）输出信号和输入写出每一环节（或元件）输出信号和输入信号相互关系的运动方程式信号相互关系的运动方程式，找出联系输出量，找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。

而这些物理定律的数学表达式系的物理规律而这些物理定律的数学表达式就是环节（或元件）的原始方程式在此同时就是环节（或元件）的原始方程式在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化，忽略一些次要因素等化，忽略一些次要因素等 3.消去中间变量，列出各变量间的关系式消去中间变量，列出各变量间的关系式最后得到只包含输入量和输出量的方程最后得到只包含输入量和输出量的方程式 4.化成标准形式，即化成标准形式，即输出量放在方程式的输出量放在方程式的左端，而输入量放在方程式的右端左端，而输入量放在方程式的右端，且各，且各阶导数项其阶次依次按幂排列阶导数项其阶次依次按幂排列 * 建立数学模型的基础：建立数学模型的基础： 机械运动：机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理 电电 学：学： 欧姆定理、基尔霍夫定律欧姆定理、基尔霍夫定律 热热 学：学： 传热定理、热平衡定律传热定理、热平衡定律机械系统设备大致分两类：平移的和旋转机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的它们之间的区别在于前者施加的力而的它们之间的区别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生的是转角。

的是转角牛顿定律和虎克定律牛顿定律和虎克定律等物理定等物理定律是建立机械系统数学模型的基础律是建立机械系统数学模型的基础 二．举例二．举例 1．机械系统的微分方程式．机械系统的微分方程式 机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素质量质量 M弹簧弹簧 K阻尼阻尼 B机械运动的实质：机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理实例实例（（（（1 1）平移运动）平移运动）平移运动）平移运动如图所示机械系统求其微分方程，图中如图所示机械系统求其微分方程，图中如图所示机械系统求其微分方程，图中如图所示机械系统求其微分方程，图中X Xi i 表示输入表示输入表示输入表示输入位移，位移，位移，位移，X Xo o 表示输出位移，假设输出端无负载效应表示输出位移，假设输出端无负载效应表示输出位移，假设输出端无负载效应表示输出位移，假设输出端无负载效应c c、、、、c c1 1、、、、c c2 2为阻尼系数，为阻尼系数，为阻尼系数，为阻尼系数，k k1 1、、、、k k2 2为弹性系数）为弹性系数）为弹性系数）为弹性系数）解：（解：（1 1）对图）对图a a所示系统，由所示系统，由牛顿定律有牛顿定律有即即消除中间变量消除中间变量x有有（（2）对图）对图b所示系统，引所示系统，引入一中间变量入一中间变量x并由牛顿定并由牛顿定律有：律有：(3)(3)对图对图c c所示系统，由牛顿所示系统，由牛顿定律有定律有即即（（（（2 2）机械旋转系统）机械旋转系统）机械旋转系统）机械旋转系统 图图图图2-32-3 所示的转动惯量为所示的转动惯量为所示的转动惯量为所示的转动惯量为J J的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为k k的的的的弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为B B的阻尼器连接。

假设外部施的阻尼器连接假设外部施的阻尼器连接假设外部施的阻尼器连接假设外部施加扭矩加扭矩加扭矩加扭矩mm( (t t) ), ,则系统产生一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移   (t) 现研究外扭矩现研究外扭矩现研究外扭矩现研究外扭矩m(t)和角位移和角位移和角位移和角位移 (t)的关系 图图2-3 具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统 列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩m(t)应与惯性矩应与惯性矩应与惯性矩应与惯性矩m1(t)阻尼矩阻尼矩阻尼矩阻尼矩m2(t)和弹性阻力矩和弹性阻力矩和弹性阻力矩和弹性阻力矩m3(t)平衡，即平衡，即平衡，即平衡，即 （（（（2-32-3）））） 式中式中式中式中 所以系统的运动方程式为所以系统的运动方程式为所以系统的运动方程式为所以系统的运动方程式为 （（（（2-42-4））））2．电气系统的微分方程．电气系统的微分方程 电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总可以建立起相应的数学模型的。

电气系统的微可以建立起相应的数学模型的电气系统的微可以建立起相应的数学模型的电气系统的微可以建立起相应的数学模型的电气系统的微分方程主要根据分方程主要根据分方程主要根据分方程主要根据基尔霍夫定律和电磁感应定律基尔霍夫定律和电磁感应定律基尔霍夫定律和电磁感应定律基尔霍夫定律和电磁感应定律等基本物理规律列写等基本物理规律列写等基本物理规律列写等基本物理规律列写 图图2-4 所示的系统中，所示的系统中， ui(t)为输入电压，为输入电压， uo(t)为输出电压为输出电压 根据基尔霍夫定律和根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有欧姆定律，有 （（（（2-52-5）））） （（（（2-6) 2-6) （（（（2-72-7））））（（（（2-82-8））））图图图图2-42-4　无源电路　无源电路　无源电路　无源电路 将方程联立求解，消去中间变量将方程联立求解，消去中间变量i1(t)、、 i2(t)、、 i3(t)后，即可得到以后，即可得到以ui(t)为输入量，以为输入量，以uo(t)为为输出量的电路微分方程式，即：输出量的电路微分方程式，即： （（（（2-92-9））））第三节第三节 非线性系统的线性化非线性系统的线性化 实际上，所有元件和系统都不同程度地具有实际上，所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，例如：元件的死区、传动的间非线性特性，例如：元件的死区、传动的间隙和摩擦，在大输入信号作用下元件的输出隙和摩擦，在大输入信号作用下元件的输出量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等等等 由于非线性有各种不同的类型，所以也没有由于非线性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法。

解析求解的通用方法 具有本质非线性特性的系统，只能用非线性具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论去处理理论去处理 对于非线性函数的线性化方法有两种对于非线性函数的线性化方法有两种一种是忽略非线性因素如果非线性因一种是忽略非线性因素如果非线性因素对系统的影响很小，就可以忽略如素对系统的影响很小，就可以忽略如死区、磁滞以及某些干摩擦等，一般情死区、磁滞以及某些干摩擦等，一般情况下就可以忽略另一种方法就是切线况下就可以忽略另一种方法就是切线法，或称微小偏差法法，或称微小偏差法 在工作中，控制系统各个变量偏离其平在工作中，控制系统各个变量偏离其平衡值一般都比较小，因此，对于具有非衡值一般都比较小，因此，对于具有非本质非线性特性的系统，可以采用小偏本质非线性特性的系统，可以采用小偏差线性化的方法求取近似的线性微分方差线性化的方法求取近似的线性微分方程以代替原来的非线性微分方程程以代替原来的非线性微分方程 切线法：切线法：如果工程中存在着如果工程中存在着一些元件（或系统）一些元件（或系统）其输出与输入的静其输出与输入的静态关系如图态关系如图2-5所示系统在平衡点系统在平衡点A(x0、、y0)工作，当输入量工作，当输入量x在平衡点在平衡点A附近很附近很小范围内变化时，小范围内变化时，输入与输输入与输图图图图2-5 2-5 非线性特性线性化的几何意义非线性特性线性化的几何意义非线性特性线性化的几何意义非线性特性线性化的几何意义出关系可以近似用切于出关系可以近似用切于A点的一段直线点的一段直线BC来代来代替实际的曲线替实际的曲线B'C',这种代替虽然存在误差，但这种代替虽然存在误差，但在工程实际中，其误差是允许的。

在工程实际中，其误差是允许的 若若若若BCBC的斜率为的斜率为的斜率为的斜率为k k，则输入与输出关系可以表示为，则输入与输出关系可以表示为，则输入与输出关系可以表示为，则输入与输出关系可以表示为: : 式中式中式中式中   y y为在平衡点为在平衡点为在平衡点为在平衡点A A附近附近附近附近输出量输出量输出量输出量的变化；的变化；的变化；的变化；  x为在平衡点为在平衡点为在平衡点为在平衡点A A附近附近附近附近输入量输入量输入量输入量的变化；的变化；的变化；的变化； 由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的关系 当非线性关系可以用当非线性关系可以用当非线性关系可以用当非线性关系可以用解析关系解析关系解析关系解析关系描述时，且仍然在描述时，且仍然在描述时，且仍然在描述时，且仍然在平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达呢？下面就来分析此种情况。

呢？下面就来分析此种情况呢？下面就来分析此种情况呢？下面就来分析此种情况 非线性关系如果可用下述解析形式表达时非线性关系如果可用下述解析形式表达时非线性关系如果可用下述解析形式表达时非线性关系如果可用下述解析形式表达时 　　（　　（　　（　　（2-112-11）））） 平衡工作点为平衡工作点为平衡工作点为平衡工作点为A(x0、、y0) , ,则（则（则（则（2-112-11）式在平）式在平）式在平）式在平衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为 （（（（2-12 2-12 ）））） 假设假设假设假设( (x x- -x x0 0) ) 很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一次项，则（次项，则（次项，则（次项，则（2-122-12）可以写成）可以写成）可以写成）可以写成 　（　（　（　（2-132-13）））） 式中式中式中式中 所以，式（所以，式（所以，式（所以，式（2-132-13）变为：）变为：）变为：）变为： （（（（2-142-14）））） 即　即　即　即　 如果输出量如果输出量y为两个输入量为两个输入量x1与与x2的函数时，即的函数时，即 （（（（2-152-15））））为了得到线性系统的近似线性关系，仍然在为了得到线性系统的近似线性关系，仍然在平衡点展成泰勒级数，即：平衡点展成泰勒级数，即： （（（（2-162-16））））当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是（（2-16）式可以写成）式可以写成 : :（（（（2-172-17））））式中式中式中式中 ( 2-17)( 2-17)式又可以写成：式又可以写成：式又可以写成：式又可以写成： 为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量 y与与与与 x均可以用变量均可以用变量均可以用变量均可以用变量y y与与与与x x代替，但在理解时，应看作在工作点附近小代替，但在理解时，应看作在工作点附近小代替，但在理解时，应看作在工作点附近小代替，但在理解时，应看作在工作点附近小范围内的关系。

范围内的关系范围内的关系范围内的关系 这样，（这样，（这样，（这样，（2-102-10）式、（）式、（）式、（）式、（2-142-14）式与（）式与（）式与（）式与（2-182-18）则）则）则）则可以分别写成为可以分别写成为可以分别写成为可以分别写成为 （（（（2-192-19））））（（（（2-202-20）））） 这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特性非本质非线性特性非本质非线性特性非本质非线性特性 例例例例2-1 2-1 图图图图2-62-6为一液面系统为一液面系统为一液面系统为一液面系统Q Qr r为流入液量，为流入液量，为流入液量，为流入液量， Q Qc c为为为为流出液量流出液量流出液量流出液量 , , h h为液面高度，为液面高度，为液面高度，为液面高度，S S为容器截面积，在为容器截面积，在为容器截面积，在为容器截面积，在h h变变变变动内为恒值。

列出液面波动的运动方程式动内为恒值列出液面波动的运动方程式动内为恒值列出液面波动的运动方程式动内为恒值列出液面波动的运动方程式 解：系统原始方程式：解：系统原始方程式：解：系统原始方程式：解：系统原始方程式： 以以以以Q Qr r为输入量，以为输入量，以为输入量，以为输入量，以h h为输出量为输出量为输出量为输出量根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可得 由流量公式可知由流量公式可知由流量公式可知由流量公式可知 式中式中式中式中   决定于流通管道面积及其结构形式的参数结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数结构一定时，在一定时，在一定时，在一定时，在Q Qc c变化的一定范围内，可近似地认为恒值变化的一定范围内，可近似地认为恒值变化的一定范围内，可近似地认为恒值变化的一定范围内，可近似地认为恒值 显然式（显然式（显然式（显然式（2-232-23）是一个非线性方程式是一个非线性方程式是一个非线性方程式是一个非线性方程式 对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（Q Qr0r0、、、、h h0 0) ), ,静态方程静态方程静态方程静态方程式为：式为：式为：式为： 　 将非线性函数将非线性函数将非线性函数将非线性函数 线性化：线性化：线性化：线性化： 代入代入代入代入(2-21)(2-21)式中消去式中消去式中消去式中消去Q Qc c, ,可得液面运动方程式可得液面运动方程式可得液面运动方程式可得液面运动方程式 （（2-23））将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和来表示来表示 从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（2-232-23）的线性）的线性）的线性）的线性化方程式：化方程式：化方程式：化方程式： 线性化有如下特点：线性化有如下特点： （（（（1 1）线性化是相对某一额定工作点进行的。

工作）线性化是相对某一额定工作点进行的工作）线性化是相对某一额定工作点进行的工作）线性化是相对某一额定工作点进行的工作点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同； （（（（2 2）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小； （（（（3 3）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的因此，可以认为其初始条件为零； （（4 4 4 4）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非线性系统是不适用的。

线性系统是不适用的线性系统是不适用的线性系统是不适用的 第四节第四节 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 利用拉普拉斯变换，可将利用拉普拉斯变换，可将利用拉普拉斯变换，可将利用拉普拉斯变换，可将微分方程微分方程微分方程微分方程转换为转换为转换为转换为代数方代数方代数方代数方程程程程，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分析工程控制系统的基本数学方法之一析工程控制系统的基本数学方法之一析工程控制系统的基本数学方法之一析工程控制系统的基本数学方法之一 一一. .拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义设设f(t)是实变量是实变量t的单值函数，在的单值函数，在t≥0的任一有限区的任一有限区间上是连续的或至少是分段连续的并且当间上是连续的或至少是分段连续的并且当t趋于趋于无穷大时，无穷大时，f(t)是指数级数的即存在一个正实数是指数级数的即存在一个正实数 ，在，在t趋于无穷大时，它使函数趋于无穷大时，它使函数e-  t t∣ ∣f(t)∣ ∣趋近于趋近于零则f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F(s)定义为：定义为： 2-25式中式中式中式中S S是一个实部大于是一个实部大于是一个实部大于是一个实部大于 的复变量。

的复变量的复变量的复变量L L为拉氏变换为拉氏变换为拉氏变换为拉氏变换运算符通常称运算符通常称运算符通常称运算符通常称f f( (t t) )为原函数、为原函数、为原函数、为原函数、 F F( (s s) )为拉氏变换函为拉氏变换函为拉氏变换函为拉氏变换函数或原函数的象函数数或原函数的象函数数或原函数的象函数数或原函数的象函数拉氏变换定义式中，其积分的下限为零但是，拉氏变换定义式中，其积分的下限为零但是，拉氏变换定义式中，其积分的下限为零但是，拉氏变换定义式中，其积分的下限为零但是，若函数若函数若函数若函数f f( (t t) )在在在在t t=0=0处有突跳，这就存在积分下限是处有突跳，这就存在积分下限是处有突跳，这就存在积分下限是处有突跳，这就存在积分下限是从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，即积分下限是取即积分下限是取即积分下限是取即积分下限是取0 0+ +还是还是还是还是0 0- -的问题因为对于这两的问题因为对于这两的问题因为对于这两的问题。

因为对于这两种下限，种下限，种下限，种下限，f f( (t t) )的拉氏变换是不同的我们采用如下的拉氏变换是不同的我们采用如下的拉氏变换是不同的我们采用如下的拉氏变换是不同的我们采用如下标记区分这种差别：标记区分这种差别：标记区分这种差别：标记区分这种差别： 例例例例2-2 2-2 求求求求 的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 u u( (t t) )为单位阶跃函数，见图为单位阶跃函数，见图为单位阶跃函数，见图为单位阶跃函数，见图2-72-7（（（（a a））））即（（a）） 单位阶跃函数单位阶跃函数图２图２-7　函数曲线　函数曲线 解：利用（解：利用（解：利用（解：利用（2-252-25）式，可得）式，可得）式，可得）式，可得 注：当注：当注：当注：当u u( (t t) )不为单位阶跃函数，为不为单位阶跃函数，为不为单位阶跃函数，为不为单位阶跃函数，为 时，时，例例例例2-3 2-3 求单位斜坡函数求单位斜坡函数求单位斜坡函数求单位斜坡函数f f( (t t)=)=t t的拉氏变换。

的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 　单位斜坡函数如图　单位斜坡函数如图　单位斜坡函数如图　单位斜坡函数如图2-72-7（（（（b b）））） 所示，定义为　所示，定义为　所示，定义为　所示，定义为　 解：利用（解：利用（解：利用（解：利用（2-252-25）式，可得）式，可得）式，可得）式，可得 利用分部积分公式利用分部积分公式利用分部积分公式利用分部积分公式 令令 （（b））单位斜坡函数单位斜坡函数 图图2-7　函数曲线　函数曲线 所以所以所以所以 例例例例2-42-4求单位脉冲函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换 单位脉冲函数如图２单位脉冲函数如图２单位脉冲函数如图２单位脉冲函数如图２-7-7（（（（c c））））所示定义为所示定义为所示定义为所示定义为 并且并且并且并且 式中式中式中式中f f(0)(0)表明表明表明表明t t=0=0时刻的时刻的时刻的时刻的f f( (t t) )的函数值的函数值的函数值的函数值 （（c））单位脉冲函数单位脉冲函数图图2-7　函数曲线　函数曲线 且且且且 (t)有如下特性有如下特性解：因这种函数在解：因这种函数在t=0有突跳，有突跳，L+[ (t)]不能不能反映它在反映它在[0-,0+]区间的特性，故应取区间的特性，故应取L-[ (t)]。

利用（利用（2-25）式求得的拉氏变换为）式求得的拉氏变换为注：注：例例例例2-52-5求指数函数求指数函数求指数函数求指数函数f f( (t t)=)=e eatat的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 解：利用（解：利用（解：利用（解：利用（2-252-25）式，可得）式，可得）式，可得）式，可得 例例例例2-62-6求正弦函数求正弦函数求正弦函数求正弦函数f f f f( ( ( (t t t t)=)=)=)=sinsinsinsin   t t t t的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 解：利用（解：利用（解：利用（解：利用（2-252-25）式，可得）式，可得）式，可得）式，可得 由欧拉公式由欧拉公式由欧拉公式由欧拉公式 所以所以所以所以 序号序号序号序号f f( (t t) )F F( (s s) )1 1   ( (t t) )1 12 21(1(t t) )3 3t t4 45 56 6sinsin   t t表表2-1常用函数的拉氏变换表常用函数的拉氏变换表序号序号序号序号f f( (t t) )F F( (s s) )7 7cos(cos(   t t) )8 89 9101011111212序号序号序号序号f f( (t t) )F F( (s s) )1313141415151616序号序号序号序号f f( (t t) )F F( (s s) )17171818二二. .拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理 1．线性定理．线性定理 设设设设L L[ [f f1 1( (t t)]=)]=F F1 1( (s s), ),，，，，L L[ [f f2 2( (t t)]=)]=F F2 2( (s s) )，，，，k k1 1，，，，k k2 2为常为常数数 ，则，则（（（（2-272-27））））线性定理说明某一时间内，函数为几个时间函线性定理说明某一时间内，函数为几个时间函线性定理说明某一时间内，函数为几个时间函线性定理说明某一时间内，函数为几个时间函数的代数和，其拉氏变换等于每个时间函数拉数的代数和，其拉氏变换等于每个时间函数拉数的代数和，其拉氏变换等于每个时间函数拉数的代数和，其拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换代数和。

氏变换代数和氏变换代数和氏变换代数和 2．微分定理．微分定理 设设设设L L[ [f f( (t t)]=)]=F F( (s s) )，则有，则有，则有，则有 (2-28)(2-28) 式中式中式中式中f f(0(0+ +) )表示当表示当表示当表示当t t在时间坐标轴的右端趋于零时在时间坐标轴的右端趋于零时在时间坐标轴的右端趋于零时在时间坐标轴的右端趋于零时的的的的f f( (t t) )值，相当于初始条件值，相当于初始条件值，相当于初始条件值，相当于初始条件 证明：证明：证明：证明：由（由（由（由（2-252-25）式可得：）式可得：）式可得：）式可得： 利用分部积分法，利用分部积分法，利用分部积分法，利用分部积分法， 　则　则　则　则 令令令令 　　　　, , , , 则则则则 故故故故 同理，可进一步推出同理，可进一步推出同理，可进一步推出同理，可进一步推出f f( (t t) )的各阶导数的拉氏变换为的各阶导数的拉氏变换为的各阶导数的拉氏变换为的各阶导数的拉氏变换为: : （（（（2-292-29）））） 式中式中式中式中 　分　分　分　分别为各阶导数在　时间坐标轴的右端趋于零时的别为各阶导数在　时间坐标轴的右端趋于零时的别为各阶导数在　时间坐标轴的右端趋于零时的别为各阶导数在　时间坐标轴的右端趋于零时的 　　　　的　的　的　的　 值，如果所有这些初值为零，则值，如果所有这些初值为零，则值，如果所有这些初值为零，则值，如果所有这些初值为零，则 （（（（2-302-30））））例２例２例２例２-7-7 试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各阶导数初值为零。

各阶导数初值为零各阶导数初值为零各阶导数初值为零 解：利用线性定理和微分定理，可得解：利用线性定理和微分定理，可得解：利用线性定理和微分定理，可得解：利用线性定理和微分定理，可得 1.1.积分定理积分定理 （（（（ 2-312-31））））式中式中式中式中 为为为为 　在　在　在　在t t时间坐标轴的右端时间坐标轴的右端时间坐标轴的右端时间坐标轴的右端趋于零时的趋于零时的趋于零时的趋于零时的f f( (t t) )的值，相当于初始条件的值，相当于初始条件的值，相当于初始条件的值，相当于初始条件 证明：证明：证明：证明： 由（由（由（由（2-252-25）式可得）式可得）式可得）式可得 设设设设L L[ [f f( (t t)]=)]=F F( (s s) )，则有，则有，则有，则有 利用分部积分法，令利用分部积分法，令利用分部积分法，令利用分部积分法，令 则有则有则有则有 故故故故 同理，对于多重积分的拉氏变换可得同理，对于多重积分的拉氏变换可得同理，对于多重积分的拉氏变换可得同理，对于多重积分的拉氏变换可得: : : : 式中式中 　　 为式中为式中f(t)的各的各重积分在重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有时的值，如果这些初值为零，则有 （（2-33）） ４．初值定理４．初值定理 设设设设f f( (t t) )及其一阶导数均为可拉氏变换的，则及其一阶导数均为可拉氏变换的，则及其一阶导数均为可拉氏变换的，则及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f f( (t t) )的初值为的初值为的初值为的初值为 （（（（2-342-34）））） 证明：证明：证明：证明： 由微分定理得知由微分定理得知由微分定理得知由微分定理得知 由于由于由于由于s s→∞→∞时，时，时，时，e e- -st st→1→1所以所以所以所以 所以所以所以所以 应用初值定理可以确定系统或元件的初始状态。

应用初值定理可以确定系统或元件的初始状态应用初值定理可以确定系统或元件的初始状态应用初值定理可以确定系统或元件的初始状态 例２例２例２例２-8-8-8-8求求求求 的初值 解：可以由解：可以由解：可以由解：可以由 　直接求出初值，亦可按初值　直接求出初值，亦可按初值　直接求出初值，亦可按初值　直接求出初值，亦可按初值定理求出定理求出定理求出定理求出 直接法可得直接法可得直接法可得直接法可得 初值定理，初值定理，初值定理，初值定理， ，所以，所以，所以，所以 ，，，，由上可见，两种算法结果是一致的由上可见，两种算法结果是一致的由上可见，两种算法结果是一致的由上可见，两种算法结果是一致的 　　　　 ５．终值定理５．终值定理 设设设设f f( (t t) )及其一阶导数均为可拉氏变换的，则及其一阶导数均为可拉氏变换的，则及其一阶导数均为可拉氏变换的，则及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f f( (t t) )的终值为的终值为的终值为的终值为 : : （（（（2-352-35）））） 证明：由微分定理得知证明：由微分定理得知证明：由微分定理得知证明：由微分定理得知 即即即即 所以所以所以所以 由于由于由于由于s s→∞→∞时，时，时，时，e e- -st st→1→1所以所以所以所以 应用终值定理，可以确定系统或元件的稳态值。

应用终值定理，可以确定系统或元件的稳态值应用终值定理，可以确定系统或元件的稳态值应用终值定理，可以确定系统或元件的稳态值但要注意，如果当但要注意，如果当但要注意，如果当但要注意，如果当t t→∞→∞，，，， 　　　　 极限不存在，则极限不存在，则极限不存在，则极限不存在，则不能应用终值定理如正弦函数等周期函数，它不能应用终值定理如正弦函数等周期函数，它不能应用终值定理如正弦函数等周期函数，它不能应用终值定理如正弦函数等周期函数，它们的极限不存在，因此就不能使用终值定理们的极限不存在，因此就不能使用终值定理们的极限不存在，因此就不能使用终值定理们的极限不存在，因此就不能使用终值定理 例例例例2-92-9已知已知已知已知 　　　　 ，求，求，求，求f f( (t t) )的终值 解：利用终值定理解：利用终值定理解：利用终值定理解：利用终值定理 6、时域位移定理（延迟定理）、时域位移定理（延迟定理） 设设设设L L[ [f f( (t t)]=)]=F F( (s s) ) ，对任一正实数，对任一正实数，对任一正实数，对任一正实数a a有有有有 （（（（2-362-36）））） 式中式中f(t-a)为函数为函数f(t)延迟时延迟时间间a之后的函数，如图之后的函数，如图2-8所所示，当示，当t

　图　图　图　图2-82-8　延迟函数　延迟函数　延迟函数　延迟函数 证明：　设证明：　设(t-a)=  则：则：７、复域位移定理（位移定理）７、复域位移定理（位移定理） 设设L L[ [f f( (t t)]=)]=F F( (s s) ) ，对任一常数，对任一常数a（实数或复数），有（实数或复数），有 （（（（2-372-37）））） 证明：证明： 此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏变换时用到变换时用到 例例例例2-102-10　求　求　求　求 的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 解：可直接运用复域位移定理及正弦函数的拉解：可直接运用复域位移定理及正弦函数的拉解：可直接运用复域位移定理及正弦函数的拉解：可直接运用复域位移定理及正弦函数的拉氏变换求得氏变换求得氏变换求得氏变换求得 可求得可求得可求得可求得  8.8.相似定理相似定理 设设设设L L[ [f f( (t t)]=)]=F F( (s s) ) ，对任一常数，对任一常数，对任一常数，对任一常数a a，则，则，则，则 （（2-38）） 证明：证明：证明：证明： 令令令令 ９．卷积定理９．卷积定理 两个时间函数两个时间函数f1(t)，，f2(t)积分的拉氏变换可由下式积分的拉氏变换可由下式得到得到 （（2-39）） 式中　式中　式中　式中　 证明略。

证明略 三三. .拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 已知象函数已知象函数已知象函数已知象函数F F( (s s), ),求出与之对应的原函数求出与之对应的原函数求出与之对应的原函数求出与之对应的原函数f f( (t t) )就称为就称为就称为就称为拉氏反变换，可以写成拉氏反变换，可以写成拉氏反变换，可以写成拉氏反变换，可以写成 （（2-40）） 简写为简写为简写为简写为 对于比较简单的象函数，可以利用对于比较简单的象函数，可以利用对于比较简单的象函数，可以利用对于比较简单的象函数，可以利用表表表表2-12-1查出其原查出其原查出其原查出其原函数但在工程中经常遇到的都是比较复杂的象函数但在工程中经常遇到的都是比较复杂的象函数但在工程中经常遇到的都是比较复杂的象函数但在工程中经常遇到的都是比较复杂的象函数，此时，通常先利用部分分式展开法将复杂函数，此时，通常先利用部分分式展开法将复杂函数，此时，通常先利用部分分式展开法将复杂函数，此时，通常先利用部分分式展开法将复杂的象函数展开成简单的象函数之和，再利用表的象函数展开成简单的象函数之和，再利用表的象函数展开成简单的象函数之和，再利用表的象函数展开成简单的象函数之和，再利用表2 - 2 - 1 1，分别查出各个原函数，其和即为所求。

分别查出各个原函数，其和即为所求分别查出各个原函数，其和即为所求分别查出各个原函数，其和即为所求 如某一原函数如某一原函数f f( (t t) )的象函数为的象函数为F F( (s s) ),可以把可以把F F( (s s) )分解分解成一些分量之和，即成一些分量之和，即 式中的式中的 又很又很容易由表容易由表 2-12-1得到所对应的原函数得到所对应的原函数 ，， ，，即：即：即：即：控制工程中，象函数控制工程中，象函数控制工程中，象函数控制工程中，象函数F F( (s s) )通常可以表示有理分式通常可以表示有理分式通常可以表示有理分式通常可以表示有理分式形式，即形式，即形式，即形式，即 （（2-41）） 为把（为把（为把（为把（2-412-41）式表示成部分分式，先要把）式表示成部分分式，先要把）式表示成部分分式，先要把）式表示成部分分式，先要把A A( (s s) ) 写成写成写成写成因式形式，即因式形式，即因式形式，即因式形式，即 （（2-42）） 多项式多项式多项式多项式A A( (s s) )的根即的根即的根即的根即 称称称称F F( (s s) )的的的的极点，此极点可为实数亦可为复数，（极点，此极点可为实数亦可为复数，（极点，此极点可为实数亦可为复数，（极点，此极点可为实数亦可为复数，（2-412-41）式可）式可）式可）式可以写成部分分式形式以写成部分分式形式以写成部分分式形式以写成部分分式形式 （（（（2-432-43）））） 由于极点由于极点- -p p1 1 ，，，， - -p p2 2 ，，，， - -p p3 3 ，，，，…… …… ，，，， - -p pn n可为实数或可为实数或复数，所以系数复数，所以系数 A A1 1 ，，，， A A2 2 ，，，， A A3 3 ，，，，…… …… ，，，， A An n -1，，，， A An n也可为实数或复数。

这些系数有的书又称留数求也可为实数或复数这些系数有的书又称留数求留数的方法可分为下面三种情况研究留数的方法可分为下面三种情况研究 1.1.1.1.不同实数极点情况不同实数极点情况不同实数极点情况不同实数极点情况 2.2.2.2.包含有共轭极点的情况包含有共轭极点的情况包含有共轭极点的情况包含有共轭极点的情况 3.3.3.3.包含多重极点的情况包含多重极点的情况包含多重极点的情况包含多重极点的情况 1.1.1.1.不同实数极点情况不同实数极点情况不同实数极点情况不同实数极点情况 由这里可以看出任一留数由这里可以看出任一留数由这里可以看出任一留数由这里可以看出任一留数A Ak k可以用下式求出可以用下式求出可以用下式求出可以用下式求出 （（（（2-442-44）））） 例例例例2-11 2-11 求求求求 的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 解：　解：　解：　解：　 由（由（由（由（2-442-44）式）式）式）式 利用利用利用利用表表表表2-12-1中的有关公式：中的有关公式：中的有关公式：中的有关公式： 2.2.包含有共轭极点的情况包含有共轭极点的情况 如果如果如果如果p p1 1和和和和p p2 2是共轭复数极点，那么式（是共轭复数极点，那么式（是共轭复数极点，那么式（是共轭复数极点，那么式（2-432-43）可以展开）可以展开）可以展开）可以展开成下式：成下式：成下式：成下式： （（（（2-452-45））））    1 1和和和和   2 2的值是用的值是用的值是用的值是用( (s s+ +p p1 1)( )(s s+ +p p2 2) )乘以（乘以（乘以（乘以（2-452-45）的两边，）的两边，）的两边，）的两边，并令并令并令并令s s=-=-p p1 1或或或或( (s s=-=-p p2 2) )而求得。

而求得 可以看出：除项可以看出：除项可以看出：除项可以看出：除项 外，所有被展开的项外，所有被展开的项外，所有被展开的项外，所有被展开的项都没有了于是都没有了于是都没有了于是都没有了于是 （（（（2-462-46）））） 因为因为p1是一个复数值，方程两边也都是复数值使是一个复数值，方程两边也都是复数值使方程（方程（2-46）两边的实数部分相等，得到一个方程两边的实数部分相等，得到一个方程同样，使方程两边的虚数部分相等，得到另一个同样，使方程两边的虚数部分相等，得到另一个方程，根据这两个方程就可以确定方程，根据这两个方程就可以确定   1 1和和   2 2例例例例2-12 2-12 求求求求 的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换 解：解：解：解： F F( (s s) )可展开如下：可展开如下：可展开如下：可展开如下： （（（（2-472-47）））） 为了确定为了确定为了确定为了确定   1 1 ，，，，    2 2 ，注意到，注意到，注意到，注意到 由（由（由（由（2 2-46-46）知）知）知）知 或或或或 使方程两边实部和虚部分别相等，得使方程两边实部和虚部分别相等，得使方程两边实部和虚部分别相等，得使方程两边实部和虚部分别相等，得 或或或或 由此得：由此得：由此得：由此得： 为了确定为了确定为了确定为了确定A A，用，用，用，用S S乘以方程两边，并令乘以方程两边，并令乘以方程两边，并令乘以方程两边，并令S S=0=0，得，得，得，得 所以所以所以所以 则则则则F F( (s s) )的拉普拉斯反变换为的拉普拉斯反变换为的拉普拉斯反变换为的拉普拉斯反变换为 由此例题可以看出：如果存在共轭极点的话，则反变由此例题可以看出：如果存在共轭极点的话，则反变由此例题可以看出：如果存在共轭极点的话，则反变由此例题可以看出：如果存在共轭极点的话，则反变换式中一定包括三角函数与指数函数的复合函数。

换式中一定包括三角函数与指数函数的复合函数换式中一定包括三角函数与指数函数的复合函数换式中一定包括三角函数与指数函数的复合函数 3.3.包含多重极点的情况包含多重极点的情况 设设设设F F( (s s)=)=B B( (s s)/ )/A A( (s s), ),在在在在A A( (s s)=0)=0处有处有处有处有r r个个个个- -p p1 1重根重根重根重根 （假设（假设（假设（假设其余的根是不同的）其余的根是不同的）其余的根是不同的）其余的根是不同的）A A( (s s) )就可以写成：就可以写成：就可以写成：就可以写成： F F( (s s) )的部分分式展开式为的部分分式展开式为的部分分式展开式为的部分分式展开式为 ( (2-482-48) ) 式中式中式中式中A Ar r，，，，A Ar-1r-1，，，，…………，，，，A A1 1分别按下式求得分别按下式求得分别按下式求得分别按下式求得 ……………………（（（（2-492-49）））） 的拉氏反变换是由下式的拉氏反变换是由下式的拉氏反变换是由下式的拉氏反变换是由下式 （（（（2-502-502-502-50）））） 给出的。

而对应于实数极点的留数给出的而对应于实数极点的留数给出的而对应于实数极点的留数给出的而对应于实数极点的留数 , , , , ………… 仍由前面推导出的公式算，即仍由前面推导出的公式算，即仍由前面推导出的公式算，即仍由前面推导出的公式算，即 下面得到的就是下面得到的就是F(s)的拉普拉斯反变换：的拉普拉斯反变换： 例例例例2-132-13求求求求 的拉氏反变换．的拉氏反变换．的拉氏反变换．的拉氏反变换． 解：解：解：解： 因而上式拉氏反变换为因而上式拉氏反变换为 将将A1、、A2、、B1、、B2 代入前面方程得代入前面方程得四．用拉氏变换解常系数线性微分方程四．用拉氏变换解常系数线性微分方程 u 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为s 的代数方程；的代数方程；u 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；u 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。

应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解四．用拉氏变换解常系数线性微分方程四．用拉氏变换解常系数线性微分方程 例例例例2-14 2-14 解方程解方程解方程解方程 , , , ,其中，其中，其中，其中， 解：将方程两边取拉氏变换，得解：将方程两边取拉氏变换，得解：将方程两边取拉氏变换，得解：将方程两边取拉氏变换，得 将将将将 代入，并整理，得代入，并整理，得代入，并整理，得代入，并整理，得 所以所以所以所以 。