备战2025年高考文科数学考点一遍过考点46几何概型.docx

专题46 几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.一、几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3．几何概型的概率计算公式.4．必记结论（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的几何概型.二、随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.考向一 与长度有关的几何概型求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件的概率.典例1 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A． B．C． D．【答案】A 【解析】由题意得第二节课上课的时间为8:40~9:20,该同学到达教室的时间总长度为40,其中在8:50~9:10进入教室时,听第二节课的时间不少于10分钟,其时间长度为20,故所求概率为.选A．典例2 在区间上随机抽取一个数,则事件“”发生的概率为A． B．C． D．【答案】A【解析】区间的长度为2，由可得，所以所求事件的概率为P=.故选A.1．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段绳有一段长度不小于的概率是A． B．C． D．2．某电视台每天11:30—12:00播放“中国梦”主题的纪录片，在此期间会随机播放一次4分钟完整的有关中国梦的歌曲，小张从11:43开始观看该电视台的这档节目，则他听到完整的有关中国梦歌曲的概率为________.考向二 与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.典例3 已知菱形ABCD的边长为4，，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为A． B．C． D．【答案】D【解析】分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆，则概率对应的面积为阴影部分，由四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，可得对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S＝π×12＝π，∵S菱形ABCD＝AB•BCsin4×48，∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S＝8﹣π×12＝8﹣π．因此，该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率P.故选D．典例4 圆O内有一内接正三角形,向圆O内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可得，设正三角形的边长为2，则其面积为.其外接球的直径为，所以其半径为，所以面积为.由几何概型可知，所求概率为故选C．3．已知关于，的不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一点，则的概率为A． B．C． D．4．在区间[−π,π]上随机取两个实数a,b，记向量OA=(a,4b)，OB=(4a,b)，则OA · OB≥4π2的概率为A． B．C． D．考向三 与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.典例5 一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是A． B．C． D．【答案】C【解析】记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A,则它在与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10的区域d内飞行时是安全的,故区域d为棱长为10的正方体,所以P(A)=.故选C．5．阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为A． B．C． D．考向四 随机模拟的应用利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随机模拟估计概率，然后根据列等式求解.典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C【解析】设大正方形的边长为2，由图中直角三角形的两直角边长之比为1∶，可得小正方形的边长为-1，所以小正方形与大正方形的面积比值为=，所以落在小正方形内的图钉数为()×3000≈(1-×1.732)×3000=402.故选C.6．关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的，能与构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数，估计的值.那么可以估计的值约为A． B．C． D．1．在内任取一个实数，则的概率为A． B．C． D．2．在区间上任取一个实数，使得方程表示双曲线的概率为A． B．C． D．3．在−5,5上随机取一个实数m，能使函数fx=x2+2mx+2在上有零点的概率为A． B．C． D．4．在直角坐标系中,任取n个满足x2+y2≤1的点(x,y),其中满足|x|+|y|≤1的点有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A． B．C． D．5．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为A． B．C． D．6．如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,以A为圆心、1为半径作圆弧DE,点E段AB上,在圆弧DE上任取一点P,则直线AP与线段BC有公共点的概率是A． B．C． D．7．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是A． B．C． D．8．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率A． B．C． D． 9．已知圆C的半径为2，在圆内随机取一点P，并以P为中点作弦AB，则弦长的概率为A． B．C． D．10．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A． B．C． D．11．已知实数x∈2,30，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为A． B．C． D．12．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF=2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是A． B．C． D．13．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：）A．3.1419 B．3.1417C．3.1415 D．3.141314．已知P是所在平面内一点，PB+PC+2PA=0，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是A． B．C． D．15．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于 米的概率为__________.16．若在区间[0,4]上随机选取一个数x,使x≥a的概率为,则a=__________. 17．如图，在平面直角坐标系xOy内，以x轴的正半轴为始边，射线OT落在420°角的终边上，射线OT'落在−60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影部分内的概率为__________.18．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为__________.19．如图，矩形的长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为__________．20．中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“。