异面直线所成的角的两种求法.doc

异面直线所成的角的两种求法初学立几的同学 ,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角难在何处？不会作！ 下面介绍两种求法一．传统求法 -------- 找、作、证、求解求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便 平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用 “补形 ”的办法寻找平移面例 1 设空间四边形 ABCD ，E、 F、 G、H 分别是 AC 、BC、 DB、 DA 的中点，若 AB ＝122，CD＝42，且四边形 EFGH 的面积为 12 3，求 AB 和 CD 所成的角 .D解 由三角形中位线的性质知， HG∥AB ， HE∥CD，∴ ∠ EHG 就是异面直线 AB 和 CD 所成的角 .∵ EFGH 是平行四边形， HG＝HE＝HBGAB ＝62， 2AE，CD＝23， 2∴ SEFGH＝ HG·HE·sin∠EHG＝12 sin∠ EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝12.∴ sin∠EHG＝2,故∠ EHG＝ 45°.2∴ AB 和 CD 所成的角为 45°注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

例 2.点 A 是 BCD 所在平面外一点， AD=BC ，E、F 分别是 AB 、CD 的中点，且EF=AD 和 BC 所成的角如图） 解：设 G 是 AC 中点，连接 DG、FG因 D、 F 分别是 AB 、CD 中点，故 EG∥ BC 且 EG=2AD ，求异面直线 2ABFD11AD ，由异面直线所成 BC，FG∥AD ，且 FG=22AD ，又 EF=AD ，由余弦定 2角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线 AD 、BC 所成角，即∠ EGF 为所求由 BC=AD 知 EG=GF=理可得 cos∠EGF=0，即∠ EGF=90°注：本题的平移点是 AC 中点 G，按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在 △EFG 中求角通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系例 3.已知空间四边形 ABCD 中， AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、 N 分别为 BC、AD 的中点 求： AM 与 CN 所成的角的余弦值；解： (1)连接 DM, 过 N 作 NE∥ AM 交 DM 于 E，则∠ CNE 为 AM 与 CN 所成的角。

∵N 为 AD 的中点 , NE∥AM 省 ∴NE=1AM 且 E 为 MD 的中点 2 设正四面体的棱长为 1， 则 NC=在 Rt△MEC 中， CE2=ME2+CM2=113= 且 ME=MD= 22244317+= 16416=∴ cos∠ CNE=2? CN? NE(27)+()2-=-2, 3332? ? 44又∵∠ CNE ∈(0, π) 22. 3∴异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为注： 1、本题的平移点是 N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算 CE、CN、EN 长，再回到 △CEN 中求角2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）最后作答时，这个角的余弦值必须为正例 4.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、 AD 上的点，已知 AB=4 ，CD=20，AFBE1== 求异面直线 AB 与 CD 所成的角 FDEC3 BG1=，连结 EG、FG 解：在 BD 上取一点 G，使得 GD3 BEBG= 在 BCD中，，故 EG//CD ，并且 ECGD EGBE1==， CDBC4AFGDF3== ， 所以， EG=5；类似地，可证 FG//AB ，且 ABAD4EF=7 ，故 FG=3，在 EFG中，利用余弦定理可得 CD EG2+GF2-EF232+52-721==-，故∠ FGE=120°。

cos∠ FGE=2? EG? GF2? 3? 52另一方面，由前所得 EG//CD，FG//AB ，所以 EG 与 FG 所成的锐角等于 AB 与 CD 所成的角，于是 AB 与 CD 所成的角等于 60°例 5 在长方体 ABCD －A1B1C1D1 中， AA1=c ，AB=a， AD=b ，且 a＞ b．求 AC1与 BD 所成的角的余弦．解一：连 AC ，设 AC∩BD=0 ，则 O 为 AC 中点，取 C1CB1G1的中点 F，连 OF，则 OF∥AC1 且 OF=AC1，所以∠ FOBD21a2+b2，即为 AC1 与 DB 所成的角在 △FOB 中， OB=2OF=11212a2+b2+c2，BE=b+c ，由余弦定理得 2241211(a+b2)+(a2+b2+c2)-(b2+c2)a2-b2cos∠ FOB== 22222)122222(a+b)(a+b+c2? a+b? a+b+c4解二：取 AC1 中点 O1，B1B 中点 G．在 △C1O1G 中，∠ C1O1G 即 AC1 与 DB 所成的角解三：．延长 CD 到 E，使 ED=DC ．则 ABDE 为平行四边形． AE∥ BD ，所以∠EAC1 即为 AC1 与 BD 所成的角．连 EC1，在 △AEC1EDADC1B1CB中， AE=a2+b2，AC1=a2+b2+c2，C1E=4a2+c2由余弦定理，得 cos∠EAC1=(a2+b2)+(a2+b2+c2)-(4a2+c2)2? a+b? a+b+c22222=b2-a2(a+b)(a+b+c22222)＜0所以∠ EAC1 为钝角．根据异面直线所成角的定义， AC1 与 BD 所成的角的余弦为二．利用两个向量的夹角公式（ cos<,>=a2-b2(a+b)(a+b+c)22222），可以求空间两条直线所成的角。

D 例 6 如图，在正方体 ABCD －A1B1C1D中，E、F分别是 BB1、 CD 的中点 . 求 AE 与 D1F 所成的角 解: 取 AB 中点 G,连结 A1G,FG. A1因为 F 是 CD 的中点 ,所以 GF、 AD 平行且相等 ,C1A又 A1D1 、AD 平行且相等 ,所以 GF、 A1D1 平行且相等 , 故 GFD1A1 是平行四边形,A1G ∥D1F. 设 A1G 与 AE 相交于点 H,则∠ AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角 , 因为 E 是 BB1 的中点 ,所以 Rt△A1AG ≌Rt△ ABE, ∠GA1A= ∠ GAH ，从而∠ AHA1=90° , 即直线 AE 与 D1F 所成角为直角 . 下边看利用向量的有关知识解答该题： 证明：如右图建立空间直角坐标系： D—xyz设正方体的棱长为 2，则有 A （ 2， 0， 0）、 A1（ 2， 0， 2） D（0，0，0）、 D1 （0，0，2）、F（0，1，0）、E（2（ I）∵ =（0，2，1），D1=（0，1，－2） ∴? D1=（0，2，1）?（0，1，－2）= 0 ∴AE⊥D1F∴AE 与 D1F 所成的角为 90 即直线 AE 与 D1F 所成角为直角 .程、图形都比较复杂，而用向量解答目标明确，在未计算前，就已经知道结果了，证明的过程只是计算验证，通过复杂的几何证明转化为简单的代数计算，学生对于代数运算较熟悉，避免了传统方法造成逻辑推理上的不便和由于辅助线的添加造成图形的复杂化等问题，相比传统方法更容易接受和掌握。

因此，空间向量是处理立体几何问题的强有力工具例 7．已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形， AB ∥DC，1∠DAB=90 ,PA ⊥底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=AB=1 ，M 2是 PB 的中点求 AC 与 PB 所成的角；解：因为 PA⊥PD，PA⊥AB ，AD ⊥ AB ，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0）， D（1，0，0）， P（0，0，1），M （0，1，). 因 AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1),12故|AC|=2,|PB|=,AC? PB=2,所以 cos<,>==. 5。