三角形的角平分线和中线.ppt

角平分线角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角这条角分成两个相等的角这条射线射线叫做这个叫做这个角角的平分线的平分线OBCA如图，记作如图，记作∠∠AOC=∠∠BOC= ∠∠AOB.怎样才能得到一个角的平分线怎样才能得到一个角的平分线? ?用量角器或折纸的办法用量角器或折纸的办法 任意剪一张三角形纸片任意剪一张三角形纸片ABCABC，把内角，把内角∠∠ BACBAC对折对折一次，使一次，使ABAB与与ACAC重合，得到一条折痕重合，得到一条折痕ADAD把三角形把三角形纸片展开、铺平纸片展开、铺平ADAD一定平分一定平分∠∠ BACBAC吗？吗？A AB BC CD D 你能用你能用同样的方法同样的方法画出或折出任意一个三画出或折出任意一个三角形的一个内角的平分线吗角形的一个内角的平分线吗? ?A AD DC CB B∠∠BAD BAD 和和∠∠CAD CAD 有什么关系？有什么关系？∠BAD =∠CAD∠BAD =∠CAD用量角器画用量角器画∠∠ＢＡＣ的平ＢＡＣ的平分线交对边ＢＣ于Ｄ分线交对边ＢＣ于Ｄ三角形的角平分线的三角形的角平分线的定义：定义：∵∵ AD是是 △△ ABC的的 角平分线角平分线 ∠∠BAD =BAD =∠∠CAD = CAD = ∠∠BAC12ADBC思考思考: 三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？如图如图∠∠BACBAC的平分线交的平分线交BCBC于点于点D,D,线段线段ADAD就是就是△△ABCABC的一条角平分线的一条角平分线. . 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的这个角的顶点与交点之间的线段线段叫做叫做三角形的角平分线三角形的角平分线. （（1）三角形的角平分线是一条）三角形的角平分线是一条线段线段；； （（2）三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质。

三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质 请画出这个三角形的另外两请画出这个三角形的另外两条角平分线条角平分线, ,你发现了什么？你发现了什么？三角形的三条角平分线交于一点．三角形的三条角平分线交于一点．ABCDEF一个三角形有几条角平分线？一个三角形有几条角平分线？(三条三条)称之为三角形的内心．称之为三角形的内心．例１、例１、如图如图,AE,AE是是 △△ ABCABC的角平分线的角平分线. .已知已知∠∠B=4B=4５５0 0, , ∠∠ C=60 C=600 0 , ,求下列角的大小求下列角的大小. .(1) (1) ∠BAE∠BAEC CA AB BE E解：（解：（１）１）∵∵ＡＡE E是是△△ABCABC的角平分线的角平分线∵ ∠∵ ∠BAC+∠B+∠C=180BAC+∠B+∠C=1800 0∴∠∴∠CAE=∠BAE= ∠BACCAE=∠BAE= ∠BAC（三角形的内角和定理）（三角形的内角和定理）∴∠∴∠BAC=180BAC=1800 0-∠B-∠C=180-∠B-∠C=1800 0-45-450 0-60-600 0=75=750 0∴∠∴∠AEB=37.5AEB=37.50 0（（2 2））∵∠∵∠AEB=∠CAE+∠CAEB=∠CAE+∠C∠∠CAE=∠BAECAE=∠BAE∴∠∴∠AEB=37.5AEB=37.50 0+60+600 0=97.5=97.50 0(2) ∠AEB(2) ∠AEB（三角形的一个外角等于和它（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）不相邻的两个内角的和） △ △ABCABC中中, ,∠ABC=80∠ABC=80°°∠ACB=40∠ACB=40°°,BO,BO、、COCO分分别别平分平分∠∠ＡＡB BＣ、Ｃ、∠∠ＡＡC CＢ，求Ｂ，求∠∠BOCBOC的度数的度数. .试一试：试一试：解：解：∵∵ ∠∠ABC=80° BO平分平分∠∠ＡＡB BＣＣ∴∠∴∠OBC= ∠∠ABC=40° ∴∠∴∠BOC= 180°－－ ∠∠OBC －－ ∠∠OCB同理：同理：∴∠∴∠OCB= ∠∠ACB=20° =180° －－ 40°－－20° =120°A AD DC CB B任意画一个三角形，用刻度尺任意画一个三角形，用刻度尺画画BCBC的中点的中点D D，连接，连接ADAD。

三角形的中线的三角形的中线的定义：定义：∵∵AD是是△△ ABC的的 中线中线 ∴∴BD = = CD = = BC12ABCD一个三角形有几条中线一个三角形有几条中线?有什么特点？有什么特点？(三条三条)如图，如图，D为为BC的中点，线段的中点，线段AD就就ΔABC的的BC边上的中线边上的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边在三角形中，连接一个顶点与它对边 中点的中点的线段线段,叫做这个叫做这个三角形的中线三角形的中线. 特点：（特点：（1 1）三角形的中线是一条线段；）三角形的中线是一条线段；（（2）三角形的中线的一端平分这条边三角形的中线的一端平分这条边 请画出这个三角形的另外两条中线，请画出这个三角形的另外两条中线，你发现了什么？你发现了什么？三角形的三条中线交于一点．三角形的三条中线交于一点．ABCDEF称之为三角形的重心．称之为三角形的重心．C CA AD DB BA AB BC CE E1 1、、ADAD是是ΔABCΔABC的角平分线（如图），的角平分线（如图），那么那么∠∠BAC=BAC= ∠BAD∠BAD；；2 2、、AEAE是是ΔABCΔABC的中线（如图），那么的中线（如图），那么BC= BC= BEBE。

223 3、如图，、如图，AFAF是是ΔΔABCABC的角平分的角平分线，，AEAE是是BCBC边上的中上的中线，，选择““＞＞””、、““＜＜””或或““= =””号填空：号填空：F FE EC CB BA A（（1））BE___EC（（2））∠CAF___∠CAF___―∠BAC∠BAC12（（3））∠AFB∠AFB___∠C+∠FAB∠C+∠FAB（（4））∠AEC∠AEC___∠B∠B===＞＞A AC CB B注意点是什么？注意点是什么？ 已知已知ΔABC（如图），画中线（如图），画中线AD和和角平分线角平分线BED DE E1 1、如图，在、如图，在ΔΔABCABC中，中，∠∠ACB=90ACB=90°°，， CECE是是ΔΔABCABC的角平分的角平分线线，已知，已知 ∠∠CEB=110CEB=110°°，求，求∠∠A A和和∠∠B B的度数A AE EC CB B2 2、如图，在、如图，在△△ABCABC中中,BE,BE是边是边ACAC上的中线上的中线. . 已知已知AB=4cm,AC=3cm, BE=5cm, AB=4cm,AC=3cm, BE=5cm, 求求△△ABEABE的周长的周长. .ABCE3、已知、已知△△ABCABC中，中，AC=5cmAC=5cm。

中线中线ADAD把把△△ABCABC分成分成两个小三角形，这两个小三角形的周长的差是两个小三角形，这两个小三角形的周长的差是2cm2cm你能求出你能求出ABAB的长吗？的长吗？AB > ACAB > ACAB < ACAB < ACA AB BC CD D1. 1. 什么是三角形的角平分线？什么是三角形的角平分线？2. 2. 什么是三角形的中线？什么是三角形的中线？3. 3. 它们都有什么性质？它们都有什么性质？。