误差传播定律.ppt

第五章 测量误差的根本知识•测量误差概述•衡量精度的标准•误差传播定律及其应用•等精度观测值的算术平均值及精度评定§5-1 测量误差概述•误差的概念及来源•误差：对于某一个客观存在的量，尽管采用了比较精密的仪器和合理的观测方法，测量人员工作的态度也很认真负责，但屡次测量的结果——观测值与观测值之间，或观测值与理论值〔真值〕之间总是存在差异，这种不可防止的差异叫做误差， •仪器误差：由于仪器设计、制作不完善，或经检验校正还存在剩余误差，给观测值带来的误差•人为误差：由于人的感觉器官鉴别能力的限制，技术水平的上下和工作态度的好坏，给观测值带来的误差•外界条件的影响：由于测量时外界自然条件如温度、湿度、风力等的变化，给观测值带来的误差•观测条件•等精度观测与非等精度观测误差的分类•系统误差•在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差出现的符号和大小具有确定性的规律，这种误差称为系统误差•系统误差具有累积性可以在观测前采取有效的预防措施、观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响•偶然误差•在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果单个误差出现的符号和大小都表现出偶然性，但屡次观测的误差总体上具有一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。

•任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差〔错误〕•当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究偶然误差的分布•一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布•偶然误差服从数学期望为0的正态分布，即 偶然误差的统计特性•在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的概率为0；•绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；•绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等；•当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零§5-2 衡量精度的标准•中误差：在测量工作中，用来反映误差分布的密集程度的量，其大小为该组观测值所对应的标准差的近似值–由真误差计算中误差的公式•容许误差：测量中规定的误差的限值，通常取中误差的三倍或两倍作为限差•相对误差：中误差与观测值的比值，并将分子化作1§5-3 误差传播定律及其应用•误差传播定律–解决如何根据观测值的中误差，求得观测值函数的中误差–线性函数的误差传播定律–非线性函数的误差传播定律•误差传播定律在测量上应用举例–水准测量的精度–距离测量的精度–水平角测量的精度–根据实际要求确定观测精度和观测方法误差传播定律〔线性函数〕设t个独立观测值的线性函数那么有假假设对该组观测值进行n次观测，有将上列n个式子平方后求和，得 其中有误差传播定律〔线性函数〕•两种特殊情况•〔1〕设Z是一组同精度独立观测值的代数和，该组观测值的中误差均为m，即• 那么•〔2〕对某量同精度观测n次，算术平均值为• 设一次观测的中误差为m, 那么误差传播定律〔非线性函数〕 设t个独立观测值的非线性函数 对该式求全微分，并用真误差代替微分量，有 再利用线性函数的误差传播定律公式，可得 误差传播定律〔非线性函数〕 设沿倾斜面上A、B两点间量得距离 ，并测得两点之间的高差 。

试求水平距离 及其中误差 解： 对 求全微分，得 于是 即 误差传播定律〔非线性函数〕 设对以下图中的三角形测得 ， ； 试求 边的长度及其中误差 解： 为便于对 求全微分，先对其取自然对数，得 ，然后对上式求全微分，有 统一单位后 ，那么有 即 。

运用误差传播定律的方法•〔1〕建立函数•〔2〕对于独立观测值的线性函数，可直接应用误差传播定律公式；假设自变量中有非独立观测值，应变换成独立观测值的线性函数后，才能应用误差传播定律•〔3〕对非线性函数，必须先求其全微分化成线性形式•〔4〕连乘连除的非线性函数，可先取对数，再求全微分•〔5〕注意统一单位误差传播定律在测量上应用举例〔1〕水准测量的精度 设A、B两水准点间的高差h施测了n个测站，那么 假设各测站观测的精度相同，其中误差均为 ，那么 设各测站的S大致相等，A、B间的距离为L，那么测站数 如果L、S均以千米为单位，那么 为一千米观测高差的中误差，令 那么有误差传播定律在测量上应用举例〔2〕距离丈量的精度 假设用长度为l的钢尺量距，连续丈量n个尺段，设全长为D，那么 设每尺段的量距中误差为 那么 其中 是定值，为单位长度的量距中误差。

即误差传播定律在测量上应用举例 (3)水平角测量的精度 J6级经纬仪一测回方向中误差为 角值是两个方向值之差，故一测回角值中误差为 设n边形各内角均观测一测回，其闭合差为 n边形闭合差的中误差为 取三倍中误差为容许误差，那么多边形闭合差的容许误差为 一般取 或 误差传播定律在测量上应用举例 〔4〕根据实际要求确定观测精度和观测方法 设对某三角形观测了 及 ，假设 角以±3″的精度观测，为使 角的中误差≤ ±5″，问 应以怎样的精度进行观测？假设使用J6级经纬仪应测几测回？ 解： 根据误差传播定律，有 所以 J6级经纬仪一测回测角中误差为±8.5″， 假设观测n个测回， 角平均值的中误差为 那么有 即 角应测5测回。

§5-4 等精度观测值的算术平均值及其精度评定•算术平均值•算术平均值的中误差•观测值的中误差–由观测值的真误差计算中误差–改正数的概念–由观测值的改正数计算中误差–实例算术平均值及其中误差 算术平均值 设在相同的观测条件下对某量进行n次独立观测，那么观测值的真误差为 将上式求和后除以n，得 ， 即 其中， 称为观测值的算术平均值 当观测次数n趋近于无穷大时，观测值的算术平均值的极限就是该量的真值所以，算术平均值又叫做最或然值或最可靠值 算术平均值的中误差 观测值的中误差由观测值的真误差计算中误差 〔1〕 其中 〔2〕改正数的概念 〔3〕由观测值的改正数计算中误差 〔2〕+〔3〕，得 令算术平均值的真误差为 〔4〕 那么有 〔5〕  观测值的中误差 由〔3〕可知〔5〕中 所以有 而 当n无限增大时，上式右端第二项趋于零，于是有 由改正数计算观测值的中误差 实例 设对某角同精度观测6测回，观测值见下表。

试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差〔计算在表格中进行，注意检核。