周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学.doc

第五章 分析力学本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程第一节 约束和广义坐标一、 约束的概念和分类加于力学体系的限制条件叫约束 按不同的标准有不同的分类： 按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束； 按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束； 按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束） 本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系二、广义坐标 1、自由度 描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度 设体系有 n 个粒子，一个粒子需要 3 个坐标（如 x、y、z）描述，而体系受有 K 个约束条件，则体系的自由度为 （3n-K） 2、广义坐标 描述力学体系的独立坐标叫广义坐标例如：作圆周运动的质点只须角度用 θ描述，广 义 坐标为 θ，自由度为 1，球面上运动的质点，由极角 θ和 描述，自由度 为 2第二节 虚功原理 本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想 约束等概念；②掌握虚功原理 一、实位移与虚位移 质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。

如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处例如图 5.2.1 中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移 与虚位移 不一致 二、理想约 束 设质点系受主动力 和约束力 的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功 若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束光滑面、光滑线、 刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束 三、虚功原理 1、文字叙述和数学表示： 受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零即 （1） 适用条件：惯性系、理想不可解约束 2、 推论 设系统的广义坐标为 q1，……，qa，……，qS，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式： 定义： 称为相应于广 义坐标 qa 的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即： （2） 3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤 一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）； （2）选取广义坐标并将各质点坐标 表示成广义坐标 qa 的函数： ； （3）求主动力的虚功并令其为零： ，由此求出平衡条件。

[例 ] 见书 P276 [例 1]第三节 拉格朗日方程本节重点要求：（1）掌握拉格朗日方程的两种形式，方程的特点和适用条件等；（2）掌握用拉格朗日方程求解具体问题的步骤；（3）了解循环积分等概念 一、 基本形式的拉格朗日方程 1、方程的推导 由牛顿第二定律并应用理想约束的条件 ，可以得到达朗伯——拉格朗日方程： (1) 将坐标 的变分改成用广义坐标 q1，……，qS 的变分 表示，即： 经数学运算，令 （称为体系的动能）， （称为相应于 qa 的广义力），则（1）式变为： （2） 这就是基本形式的拉格朗日方程，应注意：（2）实际是一组方程 2、方程的适用条件：理想约束 二、保守系的拉格朗日方程 设作用于体系的力全为保守力，则广义力 可由 （V为势能）求得： 在普遍形式的拉氏方程（2）中，由于 V 不包含广 义速度 ，可令： （动能与势能的差） 为拉格朗日函数，则（2）式变为： （3） 应指出（3）的适用条件为保守系，理想约束，且（3）应用很普遍 三、应用拉格朗日方程求解问题的步骤，例 一般步骤：①画草图，确定自由度 s 和广义坐标 qa；②分析主动力 ，若为保守系，则求出势能 V；若为非保守力， 则计算广义力 Qa；③求动能 T=T（ ）；④对保守系，求出 L=T-V，进而代入方程（3），写出运动方程；⑤对非保守系，将 T 和广义力 Qα代入方程（2），写出运动方程。

⑥解方程，求出 qα（t） [例 1] P265 4.10 题 圆环在光滑圆圈上运动，而圆圈绕垂直圆面的轴作匀角速运动，求圆环运动规律 解：方法一：牛顿力学方法（已在第四章第三节作为举例计算） 方法二：用拉格朗日方程求解 这是光滑圆圈且受的力只有重力和约束力，属于保守体系，可采用保守系的拉氏方程求解 质点自由度为 1，转角 θ为广义坐标，广 义速度为 任一角度 θ时圆环（视为质点）的动能 ，其中绝对速度 v 可由速度合成公式求出： 这里 （方向沿切线方向），牵连速度 ，大小为 ，方向垂直于 op 由速度合成公式得到： 动能： 取圆平面为零势能位置，则 V=0，从而 L=T-V=T-0=T代入拉氏方程（2）中： ，得到 四、循环积分 若拉氏函数 L 中某一坐标 qi 不出现，则该坐标 qi 叫循环坐标，则 （常数）， 叫循环积分 五五五 哈密顿正则方程本节不作重点要求基本要求是：了解正则坐标、正则动量的概念和正则方程及其应用 一、哈密顿函数 设力学体系的广义坐标为 ，广义速度为 ，则拉格朗日函数 ,定义广义动量 ，则函数 叫哈密顿函数它是广义坐标、广义动量的函数，而广义坐标、广义动量称为正则变量。

特例：对保守体系，H=T+V （动能与势能之和） 二、哈密顿正则方程 哈密顿函数满足的方程为：由该方程组也可探讨运动规律方程组（1）叫哈密顿正则方程 三、用哈密顿正则方程求解问题的步骤一般步骤为：①确定自由度 r 和广义坐标 ②求动能 T 和势能 V，写出拉格朗日函数 ③求广义动量 ，将 T 和 V 中的 换为 ， ④写出 H=T+V=H（ ， ） ⑤、 写出正则方程，进而解方程 [例 ]电子的运 动（见书 P314-316） 最后指出：拉格朗日方程和哈密顿正则方程都是分析力学中的基本方程，其作用与牛顿第二定律一样，其中拉氏方程为二阶微分方程，哈密顿正则方程为一阶微分方程，但个数比前者多一倍。