概率论第三章：二维随机变量及其联合分布.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第三章 二维随机变量及其联合概率分布考试内容：二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、 边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度 / 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率 分布 / 两个随机变量的函数的概率分布考试要求：1、懂得二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质；2、懂得二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度；把握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法；3、懂得随机变量的独立性和相关性的概念，把握随机变量独立的条件；懂得随机变量的不相关性与独立性的关系；4、把握二维匀称分布和二维正态分布，懂得其中参数的概率意义；5、把握依据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法；一、学问要点1、二维随机变量的分布函数〔X ,Y 〕 的联合分布函数F 〔x, y〕P{ Xx, Yy} ，性质 : 0F 〔 x, y〕1 ，单调不减，右连续，F 〔 ,〕 0 ， F 〔, y〕0 ， F 〔 x,〕 0 ， F 〔, 〕 1 ；X 的边缘分布函数：FX 〔 x〕F 〔 x, 〕 ；Y 的边缘分布函数：2、二维离散型随机变量FY 〔 y〕 F 〔〔 X ,Y 〕, y〕 .联合分布律：P〔 Xx1 ,Yy j 〕pij ， i , j记1,2,，一般用矩形表格列出；边缘分布律：P〔 Xxi 〕p ijj记pi ， i1,2,P〔Yy j 〕pijip j ， j1,2, .3、二维连续型随机变量 〔 X ,Y 〕如 F 〔x, y〕x yf 〔u, v〕 dudv ，称f 〔x,y) 为 〔 X ,Y 〕 的联合密度函数；f 〔 x, y〕 的性质 :〔1〕 f 〔x, y〕 0 ；(2) f 〔 x,y〕 dxdy1 ；2 F 〔x, y〕(3) 如f 〔 x,y〕 连续，就x yf 〔 x,y〕 ；〔4〕 P{〔X , Y 〕 D}f 〔 x, y〕 dxdy ；D1 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -边缘密度 :f X 〔 x〕f 〔x,y〕 dy ；fY 〔 y〕f 〔x,y〕 dx ；1 , 〔 x, y〕 D二维匀称分布：f 〔x, y〕SD ， SD为 D 的面积；二维正态分布N 〔 1 ,0 , 其它,;;〕 ：2 22 1 22 2f 〔 x, y〕12 1 2 1exp21 x 112〔1 2 〕2 x 1 y 2 y 212121 2 2其边缘分布分别为一维正态分布4、随机变量的独立性X ~ N 〔, 2 〕 ， Y ~ N 〔 ,2 〕 .如 F 〔x, y〕F X 〔x〕FY 〔 y〕，称 X 与 Y 相互独立；离散型：pijp i .p j ， i , j1,2, ；连续型：5、条件分布f 〔 x, y〕f X 〔 x〕fY 〔 y〕f X 〔 x〕f Y 〔 y〕 ，x, y R .离散型：在 Yy j 条件下 X 的条件分布为pij6、二维随机变量函数的分布P〔 Xxi | Yy j 〕， j 1,2, .p j主要讨论 Z X Y 的分布：连续型，卷积公式：f Z 〔 z〕f 〔 x, zx〕 dx 或f Z 〔 z〕f 〔zy, y〕 dy ；如 X ,Y相互独立，就fZ 〔 z〕f X 〔 x〕 f Y 〔 zx) dx 或f Z 〔 z〕f X 〔zy) f Y 〔 y〕 dy ；可加性定理：(1) 设 X ~B〔 m, p 〕 ， Y~ B 〔 n,p 〕 ，且X ,Y相互独立，就 XY ~ B 〔mn, p 〕 ；(2) 设 X ~ P〔1 〕 ， Y~ P 〔2 〕 ，且X ,Y相互独立，就 XY ~ P 〔 12 〕 ;22〔3〕 设 X ~ N 〔 1 ,2 〕 ， Y~ N 〔 2 ,2 〕 ，且X ,Y相互独立，就有12X Y ~ N 〔 12 , 12 〕 ;推广到有限多个，如nX i ~ N 〔 i ,ia〕22n n2 〕 ， i1,2,,n ，且X 1 , X 2 ,, X n相互独立，就有Z ai X i ~i 1N 〔 aii 1i , i i ，i 1称为正态分布的可加性 .二、典型例题题型 1：二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布【例 1】 〔研 97〕 设两个随机变量 X 和 Y 相互独立且同分布：P{ X1} P{ Y1} 1 ，22 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -P{ X 1}P{ Y11} ，就以下各式成立的是 【 】21(A) P{ X Y}21(B)P{ XY} 11(C) P{ X Y 0}4(D)P{ XY 0}4【详解 】 由 X 和 Y 相互独立知P{ XY } P{ XP{ X 1}1, YP{Y1} P{ X1} P{ X1, Y1}1}P{Y 1}而 P{ X Y 0}P{ X；11111222221, Y 1}P{ X1, Y 1}P{ X1} P{Y 1}P{ X1} P{Y 1}1111122222，P{ XY 0} 0 ；【答案 】 应选 〔A〕 .【例 2】 〔研 99〕 设随机变量1 0X i ~ 1 14 211 〔i41, 2〕 ，且满意P{ X 1 X 20} 1 ，就P{ X 1 X 2 }等于 【 】〔 A 〕0 〔 B〕1 〔 C〕41 〔 D〕12【详解 】 先求联合分布：由于 P{ X 1 X 20} 1 ，所以P{ X 1 X 2 0}0 ，即P{ X 11, X 21} P{ X 11, X 2 1}P{ X 11, X 21} P{ X 11, X 2 1} 0 ，X 21 0 1X 11 0 a 00 b c d1 0 e 0p i1/ 41/ 21/ 4p j 1 / 41 / 21 / 4 1由联合与边缘分布的关系得a b de 1 ， c 0 ，4所以 P{ X 1X 2 }0 c 0 0 ，【答案 】 应选 〔A〕 .【例 3】 〔研 09〕 设袋中有 1 个红球， 2 个黑球和 3 个白球；现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X , Y , Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数 .(1) 求P{ X1 | Z0} ； 〔2〕 求二维随机变量〔 X , Y 〕 的概率分布 .【详解 】〔1〕P{ X1 | Z0} 表示在没有取得白球的情形下取了一次红球的概率， 相当于在红球和黑球中有放回地从袋中两次取球，其中一个为红球，一个为黑球的概率，故3 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -P{ X1 1CCCC1 141 | Z 0} 2 2 .3 3 9(2) X , Y的取值为 0， 1，2，且P{ X1 1CCCC1 10, Y 0} 3 36 61 ， P{ X41 1CCCC1 111, Y 0} 2 3 ，6 6 6P{ X2, Y 0} 11 ， P{ X0, Y 1}1 1 1CCCCC132 2 3 ，CC36P{ X1, Y 1}1 16 6CC11 1CC9，1 12 2 P{ X6 61 16 6CC11 1CC9，1 10, Y 2} 2 26 6P{ X2, Y 1}P{ X1, Y 2}P{ X2, Y2} 0 ，故二维随机变量〔 X , Y 〕 的概率分布如下：01201/41/61/3611/31/9021/900XY题型 2：二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布【例 1】 设随机变量〔 X ,Y 〕 的分布函数为F 〔 x, y〕A〔 Barctanx 〕。