2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及标准答案.doc

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题(总分：150.00，做题时间：180分钟)一、单项选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x →0 时，若x-tanx与xk是同阶无穷小，则 k=（分数：4.00）A.1B.2C.3√D.4解析：2.（分数：4.00）A.可导点，极值点B.不可导点，极值点√C.可导点，非极值点D.不可导点，非极值点解析：故f（x）不可导当x>0时，f（x）<0；当x<0时，f（x）<0，故f（x）在x=0处取极大值，故选B3.设{Un}是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是（分数：4.00）A.B.C.√D.解析：4.设函数Q（x,y）=.如果对上半平面 ( y > 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有∮cP（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，那么函数P（x，y）可取为（分数：4.00）A.B.C.D.√解析：5.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2+A=2E ,且| A |=4 ,则二次型 xTAx的规范形为（分数：4.00）A.B.C.√D.解析：∵A2+A=2E ,设 A的特征值为λ∴λ2+λ=2（λ+2）（λ-1）=0∴λ=-2或1∵| A |=4∴A的特征值为λ1=λ2=-2，λ3=1∴q=2，p=1∴XTAx的规范形为y12-y22-y326.如图所示 ， 有3张平面两两相交 ， 交线相互平行 ， 它们的方程ai1+ai2y+ai3z+di（i=1，2，3）组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则（分数：4.00）A.√B.C.D.解析：7.设 A,B 为随机事件，则 P(A)=P(B) 的充分必要条件是（分数：4.00）A.P(A∪B) = P(A) + P(B)B.P(AB) = P(A)P(B)C.√D.解析：A选项⇔P(AB) =0 ,故 A 排除B选项 ⇔ A、B 独立，故 B 排除C选项 ⇔ P(A) -P(AB) = P(B) - P(AB)而P(A) ⇔ P(B) ，故 C 正确= 1- P(A) -P(B) + P(AB)⇔1 = P(A) + P(B) 故 D 排除8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X-Y|<1}（分数：4.00）A.与μ无关，而与σ2有关B.与μ有关，而与σ2无关.C.与μ,σ2都有关.D.与μ,σ2都无关.解析：二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：故10.微分方程2yy2- y2-2=0 满足条件 y(0)=1的特解 y= ________（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：11.（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：12.（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：13.设A=（α1，α2，α3）为三阶矩阵，若α1，α2线性无关，且α3=-α1+2α2，则线性方程组Ax=0 的通解为________（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(x=k（1，-2,1）T，k∈R)解析：∵d1，d2无关，A=（d1，d2，d3）∴r（A）≥2∵d3=-d1+2d2∴r（A）=2∴Ax=0的基础解系中有 n - r(A) = 3- 2 =1个解向量∵d1-2d2+d3=0∴（1，-2,1）T为Ax=0的解为基础解系∴通解为x=k (1, -2,1) ,k∈R14.设随机变量 X 的概率密度为f（x）=F(x) 为X 的分布函数，EX 为x 的数学期望，则P{F(X )> EX -1}=________（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设函数 y(x) 是微分方程满足条件 y(0)=0的特解。

分数：10）(1).求 y(x)分数：5）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：(2).求曲线 y = y(x) 的凹凸区间及拐点分数：5）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：设 a,b 为实数，函数z=2+ax2+by在点（3，4）处的方向导数中，沿方向l=-3j-4j的方向导数最大，最大值为10分数：10）(1).求a,b；（分数：4）__________________________________________________________________________________________正确答案：(a=b=-1)解析：由题意可知(2).求曲面z=2+ax2+by2（z≥0）的面积；（分数：6）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：15.求曲线 y=e - xsinx(x≥0)与 x 轴之间图形的面积。

分数：10.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：16.（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：17.设Ω是由锥面x2+（y-z）2-（1-z2（0≤z≤1））与平面z<0围成的椎体，求Ω的形心坐标分数：10.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：18.已知向量组若向量组(I) 和向量组(II)等价，求α的取值，并将β3用α1，α2，α3线性表示分数：11.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.（1）求x，y；（2）求可逆矩阵P使得P-1AP=B ；（分数：11.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(（1）x=3，y=-2；)解析：20.设随机变量 X 与Y 相互独立，X 服从参数为 1 的指数分布，Y 的概率分布为 P{Y =-1}=p，P{Y =1}=1-p，令 Z = XY。

1）求 Z 的概率密度；（2）p 为何值时， X 与 Z 不相关；（3）X 与 Z 是否相互独立；（分数：11.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(（1）)解析：21.设总体 X 的概率密度为其中μ是已知参数，σ >0 是未知参数，A 是常数， X1，X2 ,......Xn, 是来自总体 X的简单随机样本1）求A;（2）求σ2的最大似然估计量；（分数：11.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：。