第四章 杆件的变形计算.ppt

第四章第四章 杆件的变形计算杆件的变形计算本部分主要内容本部分主要内容本部分主要内容本部分主要内容: :拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形圆轴的扭转变形与相对扭转角圆轴的扭转变形与相对扭转角圆轴的扭转变形与相对扭转角圆轴的扭转变形与相对扭转角梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形 直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗而其横向变形相应变细或变粗而其横向变形相应变细或变粗而其横向变形相应变细或变粗杆件在轴线方向的伸长杆件在轴线方向的伸长杆件在轴线方向的伸长杆件在轴线方向的伸长纵向应变纵向应变纵向应变纵向应变由胡克定律由胡克定律由胡克定律由胡克定律得到轴向拉压变形公式得到轴向拉压变形公式得到轴向拉压变形公式得到轴向拉压变形公式第一节第一节第一节第一节 拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形 公式的适用条件公式的适用条件公式的适用条件公式的适用条件: : 1 1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律 2 2）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时，l l 长度内其长度内其长度内其长度内其F FN N、、、、A A、、、、l l 均均均均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。

计算或积分计算计算或积分计算计算或积分计算横向也会发生变形横向也会发生变形横向也会发生变形横向也会发生变形横向应变横向应变横向应变横向应变 通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系变和横向应变存在如下的比例关系变和横向应变存在如下的比例关系变和横向应变存在如下的比例关系泊松比泊松比泊松比泊松比 泊松比泊松比泊松比泊松比ν ν ν ν 、弹性模量、弹性模量、弹性模量、弹性模量 E E 、切变模量、切变模量、切变模量、切变模量G G 都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，可以通过实验测得对于各向同性材料，可以证明三者之间存可以通过实验测得对于各向同性材料，可以证明三者之间存可以通过实验测得对于各向同性材料，可以证明三者之间存可以通过实验测得对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系在着下面的关系在着下面的关系在着下面的关系例题例题例题例题4-1 4-1 ( (教材教材教材教材7070页页页页) ) 如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆ABAB段横截面面积段横截面面积段横截面面积段横截面面积A A1 1=800mm=800mm2 2，，，，BCBC段横截面面积段横截面面积段横截面面积段横截面面积A A2 2=240mm=240mm2 2，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量E E=200GPa=200GPa，求，求，求，求该杆的总伸长量。

该杆的总伸长量该杆的总伸长量该杆的总伸长量1 1）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图2 2）求伸长量）求伸长量）求伸长量）求伸长量mmmm伸长伸长伸长伸长缩短缩短缩短缩短缩短缩短缩短缩短例例例例4-2 4-2 节点位移问题节点位移问题节点位移问题节点位移问题( (教材教材教材教材7070页页页页) ) 如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆ACAC的横截面面积的横截面面积的横截面面积的横截面面积A A1 1=960mm=960mm2 2，弹性模量，弹性模量，弹性模量，弹性模量E E1 1=200GPa=200GPa木杆BCBC的横截面面积的横截面面积的横截面面积的横截面面积A A2 2=25000mm=25000mm2 2，长，长，长，长1m1m，弹性模，弹性模，弹性模，弹性模量量量量E E2 2=10GPa=10GPa求铰接点求铰接点求铰接点求铰接点C C的位移F F = 40 kN= 40 kN分析分析分析分析 通过节点通过节点通过节点通过节点C C的受力分析可以判断的受力分析可以判断的受力分析可以判断的受力分析可以判断ACAC杆受拉而杆受拉而杆受拉而杆受拉而BCBC杆受压，杆受压，杆受压，杆受压，ACAC杆将伸长，而杆将伸长，而杆将伸长，而杆将伸长，而BCBC杆将缩短。

杆将缩短杆将缩短杆将缩短 因此，因此，因此，因此，C C节点变形后将位于节点变形后将位于节点变形后将位于节点变形后将位于C C3 3点点点点 由于材料力学中的由于材料力学中的由于材料力学中的由于材料力学中的小变形假设小变形假设小变形假设小变形假设，可，可，可，可以近似用以近似用以近似用以近似用C C1 1和和和和C C2 2处的圆弧的切线来代替处的圆弧的切线来代替处的圆弧的切线来代替处的圆弧的切线来代替圆弧（圆弧（圆弧（圆弧（以切代弧法以切代弧法以切代弧法以切代弧法），得到交点），得到交点），得到交点），得到交点C C0 0[ [解解解解] ] 1 1）分析节点）分析节点）分析节点）分析节点C,C,求求求求ACAC和和和和BCBC的轴力（均预先设为拉力）的轴力（均预先设为拉力）的轴力（均预先设为拉力）的轴力（均预先设为拉力）拉拉拉拉压压压压伸长伸长伸长伸长缩短缩短缩短缩短2 2）求）求）求）求ACAC和和和和BCBC杆分别的变形量杆分别的变形量杆分别的变形量杆分别的变形量3 3）分别作）分别作）分别作）分别作ACAC1 1和和和和BCBC2 2的垂线交于的垂线交于的垂线交于的垂线交于C C0 0C C点总位移：点总位移：点总位移：点总位移：( (此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解) )第二节第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角圆轴的扭转变形及相对扭转角 在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距为为为为 d dx x 的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角d dj j j j取取取取单位单位单位单位长度扭转角长度扭转角长度扭转角长度扭转角用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小单位单位单位单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位: rad/m: rad/m抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度越大，单位长度扭转角越小越大，单位长度扭转角越小越大，单位长度扭转角越小越大，单位长度扭转角越小 在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角j j j j 。

相对扭转角的单位相对扭转角的单位相对扭转角的单位相对扭转角的单位: rad: rad当当当当 为常数时：为常数时：为常数时：为常数时：请注意请注意请注意请注意单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角和和和和相对扭转角相对扭转角相对扭转角相对扭转角的区别的区别的区别的区别同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时: :例例例例4-3 4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：T T1 1=1400N·m=1400N·m，，，， T T2 2=600N·m=600N·m，，，， T T3 3=800N·m=800N·m，，，， d d1 1=60mm=60mm，，，，d d2 2=40mm=40mm，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，计，计，计，计算最大单位长度扭转角算最大单位长度扭转角算最大单位长度扭转角算最大单位长度扭转角1 1）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图2 2 2 2））））AB AB AB AB 段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：3 3 3 3））））BC BC BC BC 段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：综合两段，最大单位长度扭转角应在综合两段，最大单位长度扭转角应在综合两段，最大单位长度扭转角应在综合两段，最大单位长度扭转角应在BC BC BC BC 段段段段 为为为为 0.03978 rad/m0.03978 rad/m0.03978 rad/m0.03978 rad/m例例例例4-44-4图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知 d d =40mm =40mm a a =400mm =400mm G G =80GPa, =80GPa, j j j j DBDB=1=1° ° , ,求求求求 : 1) : 1) 最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力; 2; 2））））j j j j ACAC1 1）画出扭矩图）画出扭矩图）画出扭矩图）画出扭矩图2 2）求最大切应力）求最大切应力）求最大切应力）求最大切应力首先要求出首先要求出首先要求出首先要求出M M 的数值的数值的数值的数值 梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。

例如轧钢机的轧辊，若曲变形，否则构件将无法正常工作例如轧钢机的轧辊，若曲变形，否则构件将无法正常工作例如轧钢机的轧辊，若曲变形，否则构件将无法正常工作例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度一、梁的变形一、梁的变形一、梁的变形一、梁的变形第三节第三节第三节第三节 梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程 梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x x 轴方向的直线变成轴方向的直线变成轴方向的直线变成轴方向的直线变成一条在一条在一条在一条在 xy xy 平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线。

某截面的竖向位移，称为某截面的竖向位移，称为某截面的竖向位移，称为某截面的竖向位移，称为该截面的该截面的该截面的该截面的挠度挠度挠度挠度 某截面的法线方向与某截面的法线方向与某截面的法线方向与某截面的法线方向与x x x x轴的轴的轴的轴的夹角称为该截面的夹角称为该截面的夹角称为该截面的夹角称为该截面的转角转角转角转角 挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的 x x 方向的位方向的位方向的位方向的位置有关，可以表示为关于置有关，可以表示为关于置有关，可以表示为关于置有关，可以表示为关于 x x 的函数挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程）转角方程转角方程转角方程转角方程挠度和转角的正负号规定：挠度和转角的正负号规定：挠度和转角的正负号规定：挠度和转角的正负号规定：在图示的坐标系中，在图示的坐标系中，在图示的坐标系中，在图示的坐标系中， 挠度挠度挠度挠度 w w 向上为正，向下为负向上为正，向下为负向上为正，向下为负向上为正，向下为负。

转转转转角规定截面法线与角规定截面法线与角规定截面法线与角规定截面法线与 x x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负, , , ,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q q q q 为正挠度和转角的关系挠度和转角的关系挠度和转角的关系挠度和转角的关系在小变形假设条件下在小变形假设条件下在小变形假设条件下在小变形假设条件下挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角二、挠曲线近似微分方程二、挠曲线近似微分方程二、挠曲线近似微分方程二、挠曲线近似微分方程纯弯曲情况下纯弯曲情况下纯弯曲情况下纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是: : : : 横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。

但此时弯时，剪力对梁的变形可以忽略不计但此时弯时，剪力对梁的变形可以忽略不计但此时弯时，剪力对梁的变形可以忽略不计但此时弯矩不再为常数矩不再为常数矩不再为常数矩不再为常数高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分对上式进行一次积分对上式进行一次积分对上式进行一次积分, , , ,可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁 EI EI EI EI 为常数）为常数）为常数）为常数）再进行一次积分再进行一次积分再进行一次积分再进行一次积分, , , ,可得到挠度方程可得到挠度方程可得到挠度方程可得到挠度方程其中，其中，其中，其中， C C C C 和和和和 D D D D 是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过边界条件边界条件边界条件边界条件或者或者或者或者连续条件连续条件连续条件连续条件来确来确来确来确定其大小。

定其大小定其大小定其大小第四节第四节第四节第四节 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形边界条件边界条件边界条件边界条件在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定连续条件连续条件连续条件连续条件在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等若梁分为n n 段积分，则要出现段积分，则要出现段积分，则要出现段积分，则要出现2 2n n 个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到2 2n n 个相应的边个相应的边个相应的边个相应的边界条件或连续条件将其确定界条件或连续条件将其确定界条件或连续条件将其确定界条件或连续条件将其确定例例例例4-5 4-5 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角 和挠度和挠度和挠度和挠度 。

（（（（1 1）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程 请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间:1:1分钟）分钟）分钟）分钟）（（（（2 2 2 2）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程（（（（3 3 3 3）积分）积分）积分）积分（（（（4 4 4 4）确定积分常数）确定积分常数）确定积分常数）确定积分常数 由边界条件由边界条件由边界条件由边界条件代入上面两式代入上面两式代入上面两式代入上面两式（（（（5 5 5 5）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将 C C C C、、、、D DD D 的值代入方程的值代入方程的值代入方程的值代入方程（（（（6 6 6 6）求）求）求）求B B点的挠度和转角点的挠度和转角点的挠度和转角点的挠度和转角在自由端在自由端在自由端在自由端 ，，，， x x = = l l例例例例4-6(4-6(教材教材教材教材7575页例页例页例页例4-5) 4-5) 如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力F F F F 作用，已知作用，已知作用，已知作用，已知EI EI EI EI 为常量。

试求为常量试求为常量试求为常量试求B B B B 端转角和跨中挠度端转角和跨中挠度端转角和跨中挠度端转角和跨中挠度（（（（1 1）求约束反力）求约束反力）求约束反力）求约束反力F FA AF FB B（（（（2 2）列出弯矩方程）列出弯矩方程）列出弯矩方程）列出弯矩方程ACAC段段段段CBCB段段段段（（（（3 3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C C点处分段，故点处分段，故点处分段，故点处分段，故应对应对应对应对ACAC和和和和CBCB分别计算分别计算分别计算分别计算F FA AF FB B（（（（3 3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C C点处分段，故点处分段，故点处分段，故点处分段，故应对应对应对应对ACAC和和和和CBCB分别计算分别计算分别计算分别计算ACAC段段段段CBCB段段段段F FA AF FB B利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续条件确定四个积分常数ACAC段段段段CBCB段段段段边界条件边界条件边界条件边界条件: :连续条件连续条件连续条件连续条件: :由于挠曲线在由于挠曲线在由于挠曲线在由于挠曲线在C C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。

和挠度应相等和挠度应相等和挠度应相等 即即即即代入上面的式子代入上面的式子代入上面的式子代入上面的式子F FA AF FB B得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程ACAC段段段段CBCB段段段段（（（（5 5）求指定截面处的挠度和转角）求指定截面处的挠度和转角）求指定截面处的挠度和转角）求指定截面处的挠度和转角若若若若 通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线算较为繁琐而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线算较为繁琐。

而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线算较为繁琐而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便角，这时采用叠加法比积分法方便角，这时采用叠加法比积分法方便角，这时采用叠加法比积分法方便 在杆件符合在杆件符合在杆件符合在杆件符合线弹性、小变形线弹性、小变形线弹性、小变形线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，的前提下，变形与载荷成线性关系，的前提下，变形与载荷成线性关系，的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关这样即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关这样即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关这样即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关这样只要分别求出只要分别求出只要分别求出只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。

这就是求杆件变形的叠加法荷共同作用时杆件的变形这就是求杆件变形的叠加法荷共同作用时杆件的变形这就是求杆件变形的叠加法荷共同作用时杆件的变形这就是求杆件变形的叠加法 用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材教材教材教材78~7978~7978~7978~79页表页表页表页表4-24-24-24-2计算得出查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一计算得出查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一计算得出查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一计算得出查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应第五节第五节第五节第五节 用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形例例例例4-7 4-7 求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及 A A A A 点的转角。

已知点的转角已知点的转角已知点的转角已知 ，，，，梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度EI EI EI EI 为常数为常数为常数为常数 = =+ +例例例例4-8 4-8 如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷q q 的作用，求的作用，求的作用，求的作用，求 B B 端的挠度和转端的挠度和转端的挠度和转端的挠度和转角梁的抗弯刚度角梁的抗弯刚度角梁的抗弯刚度角梁的抗弯刚度EIEI 为常数为常数为常数为常数 考虑其变形考虑其变形考虑其变形考虑其变形: : 由于由于由于由于CBCB 段梁上没有载荷，各截面段梁上没有载荷，各截面段梁上没有载荷，各截面段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即段并不产生变形，即段并不产生变形，即段并不产生变形，即C C’B’’B’ 仍为直线。

仍为直线仍为直线仍为直线根据几何关系可知：根据几何关系可知：根据几何关系可知：根据几何关系可知：由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提下查表查表查表查表: :代入上面的计算式代入上面的计算式代入上面的计算式代入上面的计算式 在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-24-24-24-2中列中列中列中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移 类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。

算 一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形也可将复杂梁变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形也可将复杂梁变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形也可将复杂梁变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法）例例例例4-9 4-9 求图求图求图求图11-411-4所示外伸梁的所示外伸梁的所示外伸梁的所示外伸梁的 C C截面的挠度转角截面的挠度转角截面的挠度转角截面的挠度转角 EI EI 为常数怎样应用表怎样应用表怎样应用表怎样应用表4 4-2-2中已有的结果？中已有的结果？中已有的结果？中已有的结果？ 对梁进行分段刚化，利用受力对梁进行分段刚化，利用受力对梁进行分段刚化，利用受力对梁进行分段刚化，利用受力与变形等效的原则来处理与变形等效的原则来处理与变形等效的原则来处理与变形等效的原则来处理 首先刚化首先刚化首先刚化首先刚化ABAB段，这样段，这样段，这样段，这样BCBC段就段就段就段就可以作为一个悬臂梁来研究，可以作为一个悬臂梁来研究，可以作为一个悬臂梁来研究，可以作为一个悬臂梁来研究， 再刚化再刚化再刚化再刚化BCBC段，由于段，由于段，由于段，由于BCBC段被刚段被刚段被刚段被刚化，可将作用于化，可将作用于化，可将作用于化，可将作用于BCBC段的均布载荷段的均布载荷段的均布载荷段的均布载荷简化到简化到简化到简化到B B支座支座支座支座 ，得到一个力和一个，得到一个力和一个，得到一个力和一个，得到一个力和一个力偶力偶力偶力偶 力力力力F F直接作用于支座，对梁的直接作用于支座，对梁的直接作用于支座，对梁的直接作用于支座，对梁的变形没有影响，力偶变形没有影响，力偶变形没有影响，力偶变形没有影响，力偶MM引起简支梁引起简支梁引起简支梁引起简支梁ABAB的变形，的变形，的变形，的变形，同样，同样，同样，同样， 段上的均布载段上的均布载段上的均布载段上的均布载荷也将引起荷也将引起荷也将引起荷也将引起ABAB段变形，段变形，段变形，段变形，第四章第四章 杆件的变形计算杆件的变形计算作业作业作业作业82-8382-83页页页页 拉压变形问题拉压变形问题拉压变形问题拉压变形问题: 4-1 4-5b: 4-1 4-5b（刚性杆变形忽略不计）（刚性杆变形忽略不计）（刚性杆变形忽略不计）（刚性杆变形忽略不计）扭转变形问题扭转变形问题扭转变形问题扭转变形问题: 4-8 4-9: 4-8 4-9用积分法求梁的变形：用积分法求梁的变形：用积分法求梁的变形：用积分法求梁的变形：4-14a4-14a用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形: 4-15a 4-15b 4-16a : 4-15a 4-15b 4-16a 。