函数论教研室word版.doc

《数学分析》教 学 大 纲数学与应用数学专业(师范类)专业用一、说明部分（一）本课程的性质、目的和任务数学分析是数学系的一门重要基础课，是学习微分方程、复变函数、实变函数、微分几何、概率论、泛函分析等后继课的基础，是驾驭中学数学教材的必备知识通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的系统理论和极限方法、严谨的论证方法，初步具有分析和解决问题的能力，并对中学数学中的函数、方程、面积、体积、无理数等相关内容进行高层次的理解分析，提高处理教材的能力二）本课程的教学原则和方法本课程的教学宜于采用启发式教学原则、理论与实际相结合的原则以讲授法为主，由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，应特别注意对概念及解题方法的分析三）本课程的教学内容及学时分配本课程全部教学内容22章，总计289学时第一章 函数 7学时1 / 148第二章 数列极限 12学时第三章 函数极限 16学时 第四章 函数的连续性 12学时 第五章 导数与微分 18学时 第六章 微分学基本定理与应用 14学时 第七章 实数的完备性 8学时 第八章 不定积分 14学时 第九章 定积分 20学时 第十章 定积分的应用 14学时 第十一章 反常积分 10学时 第十二章 数项级数 14学时 第十三章 函数列与函数项级数 12学时 第十四章 幂级数 10学时 第十五章 傅立叶级数 10学时 第十六章 多元函数的极限与连续 12学时 第十七章 多元函数微分学 14学时 第十八章 隐函数定理及其应用 14学时 第十九章 含参量积分 12学时 第二十章 曲线积分 12学时 第二十一章 重积分 22学时 第二十二章 曲面积分 12学时 （四）本课程大纲编写的执笔人执笔人 袁威威 黑河学院数学系函数论教研室审定。

二、大纲正文第一章 函数（一）教学目的和要求使学生掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的清晰概念；深刻理解函数的概念，熟练运用实数的有序性、封闭性、阿基米德性、稠密性和连续性掌握邻域的概念、实数集确界的定义、确界原理、复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系 (二)本章重点实数集、函数、确界的概念及其有关性质三）本章难点确界的定义及应用四）本章的主要内容和学时分配第一节 实数 1学时 1．实数及其性质2．绝对值与不等式第二节 数集•确界原理 2学时 1．区间与邻域2．有界集•确界原理第三节 函数概念 1学时 1．函数定义2．函数的表示法3．函数的四则运算4．复合函数5．反函数；6．初等函数第四节 具有某些特性的函数 2学时 1．有界函数2．单调函数3．奇函数与偶函数4．周期函数习题 1学时 第二章 数列极限（一）教学目的和要求学生掌握数列极限的准确概念，熟悉收敛数列的性质，深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。

理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题并能运用 语言正确描述数列不以某定数为极限等相应陈述，理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性以及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理以及单调有界定理，并会利用这些定理求某些收敛数列的极限；理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判断某些数列的敛散性二）本章重点数列极限概念、性质及其计算三）本章难点数列极限的定义及其应用四）本章的主要内容和学时分配第一节 数列极限概念 3学时 1．数列极限的定义2．无穷小数列第二节 收敛数列的性质 4学时 1．数列极限的唯一性、有界性以及保号性2．数列极限的不等式性、绝对值性以及四则运算法则第三节 数列极限存在的条件 3学时 1．数列极限的迫敛性以及单调有界定理2．数列的子列原理和柯西收敛准则习题 2学时 第三章 函数极限（一）教学目的和要求理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；掌握两个重要极限；理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。

熟练掌握函数极限（包括单侧极限）的概念，深刻理解函数极限的定义及其几何意义，能运用函数极限的定义证明与函数极限有关的某些命题二）本章重点函数极限的概念、性质及其计算三）本章难点海涅定理与柯西准则的运用四）本章的主要内容和学时分配第一节 函数极限的概念 2学时 1．x趋于无穷大时函数的极限2．x趋于某一定数时函数的极限第二节 函数极限的性质 4学时1．函数极限的唯一性、局部有界性以及局部保号性2．函数极限的不等式性、绝对值性以及四则运算性质第三节 函数极限存在的条件 4学时 1．迫敛性与海涅定理2．单调有界定理与柯西准则第四节 两个重要极限 2学时 第五节 无穷小量与无穷大量阶的比较 2学时 1．无穷小量2．无穷小量阶的比较3．无穷大量习题 2学时 第四章函 数的连续性（一）教学目的和要求理解函数连续性的概念和连续函数的概念，熟悉连续函数的性质，理解函数在一点连续（包括单侧连续）的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，掌握连续函数的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续性和反函数的连续性。

能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的本质区别二）本章重点连续函数的概念和闭区间上连续函数的性质三）本章难点一致连续性概念四）本章的主要内容和学时分配第一节 连续性概念 4学时 1．函数在一点的连续性 2．间断点及其分类 3．区间上的连续函数第二节 连续函数的性质 4学时 1．连续函数的局部性质 2．闭区间上连续函数的基本性质3．反函数的连续性4．一致连续性第三节 初等函数的连续性 2学时 1．指数函数的连续性2．初等函数的连续性习题 2学时 第五章 导数与微分（一）教学目的和要求学生准确掌握导数与微分的概念明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式与微分公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；能利用导数与微分的意义解决某些实际应用的计算问题。

能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题，会求曲线上一点处的切线方程二）本章重点导数与微分的概念及其计算三）本章难点求复合函数的导数 函数的凸性四）本章的主要内容和学时分配第一节 导数概念 2学时 1．导数的定义；2．导数的几何意义；3．导函数第二节求导法则 4学时 1．导数为四则运算；2．反函数的导数；3．复合函数的导数；4．基本求导法则与公式第三节 参量方程所确立函数的导数 4学时 1．微分概念；2．微分的运算法则；3．近似计算与误差估计第四节 高阶导数与高阶微分 4学时1．高阶导数；2．高阶微分第五节 微分 2学时 习题 2学时第六章 微分学基本定理与应用（一）教学目的和要求使学生深刻理解并掌握中值定理的几何意义掌握常用的一些Taylor公式及Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。

能灵活运用洛必达法则处理不定式极限利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，极限问题等理解函数的单调性，凸性及极值的概念，会判定极值点，会求极值点、间断点以及拐点二）本章重点中值定理和Taylor公式，利用导数研究函数的单调性，凸性及极值三）本章难点用辅助函数解决问题的方法四）本章的主要内容和学时分配第一节 中值定理 2学时 1.费马定理2.中值定理第二节 柯西中值定理和不定式极限 2学时 1.0/0型不定式极限。