2021年整理从Logistic模型走向混沌.pptx

从 Logistic 模型走向混沌,,为进一步了解混沌的意义，我们考虑离散动力系统 xn1 f (xn ),n 0,1, 2, 这是一个差分方程. 微分方程通过差分化可化为差分方程. 种群(昆虫)模型中 按代计算其种群数(虫口数)而两代之间不重迭时便可用差分方程表示，此时其模 型又称为虫口模型.最简单的虫口模型是 Logistic 方程 xn1 xn (1 xn ) （*） 这是一个单参数离散动力系统，如图,,函数有两个不动点. 如有 x1 x0 ，称 x0 为不动点，当 xn x0 而 x0 , x1,,,, xn1 互不,相等时称 x0 为周期 n 点.易证明当0 3 时不 管初值 x0 (0,1) 如何方程的,n,,,,,解即 n 时的点 x 均收敛于不动点 x 1 1 . 而当 3 16 时初值,,,,,x0 (0,1) 的方程(6.60)的解收敛于两个周期 2 点 x1, x2 (x2 x1 ) .因此 3为方程,,1,,,(6.60)的分支点.随着 的逐渐增大，方程(6.60)从两个周期 2 点变为四个周期 4 点，再八个周期 8 点，等等. 这种逐步加倍的分支称为倍分支. 用计算机可绘 出方程 (6.60) 的 参 数 与 周 期 点 关 系 的 倍 分 支 图 ， 如 图 (6.35). 当 3.569945673 时方程(6.60)出现混沌解. xn (n 0,1, ) 可能不收敛于任何 点，到处游荡，是一个奇异吸引子.且存在对初值的敏感性.,,,,2,,,,,,,,3,,,,,,,4,,,,,,,5,,,,,,6,,,对线段上的连续映象，李天岩和 York 曾给出著名的“周期 3 蕴涵混沌”的 定理（Li-York 混沌定理） 设I 是一个区间, f : I I 连续. 如 I 中有一 点a ,使b f (a) , c f (b), d f (c) 满足,d a b c,或,d a b c,,(6.61) 则对每一个k 1, 2,，在 I 中有 f 的一个周期k 的周期点. 且 I 中有一个 不含周期点的不可列集 S ,满足,,,,,,(A) 对 S 中的每两个 p, q 有 lim,n,f n ( p) f n (q) 0, lim f n ( p) f n (q) 0 . n,,,,n,,7,(B) 对 S 中的每一个 p 及 I 中的周期点q 有lim f n ( p) f n (q) 0,Li-York 定理给出了混沌的严格数学定义.后来人们就把满足 Li-York 定理 结论的集合称为Li-York 混沌集. 后来发现,可以将相空间中Lorenz 方程的轨线 通过 Pocincare 映射映射为 z c 1 平面上的 F(u,v) , 而进一步可分解为,,8,F(u,v) ( f (u), g(u, v)) . 而 f (u) 满足线段映射存在混沌的 Li-York 定理条件,如 图(6.36)所示,从而说明 Lorenz 方程存在混沌 28,31 . 图(6.36) Lorenz 方程的 Poincare 映射 李天岩和 York 首先给出了混沌的数学定义，但仅对线段映射而言. 后来又 出现各种混沌的定义，而且发现了多种满足混沌性态的系统，如 Henon 映射、强 迫 Duffing 方程等. 同时进一步探讨通向混沌的道路，研究判断混沌的各种方 法，以及发现在物理、力学、化学、气象、股票市场等自然科学、社会科学中的 混沌. 由 Lorenz 方程引发的混沌的概念出现后，人们发现已在早期研究过的 KAM 定理、Smale 马蹄、Melnikov 定理中亦存在混沌，这是与 Li-York 混沌不同的另 一类型的混沌. 后面将接着进行介绍(见6.6). C. 典 故 (8) Lorenz 吸引子 E.N.Lorenz 毕业于麻省理工学院(M.I.T.)气象系，1948 年起在 M.I.T.做博士后工作，主要兴趣在全球和大陆尺度的大气结构动力 学.1955 年得到了 M.Thomas 辞职而空缺的位置和科研项目.项目是用计算机统计 天气预报，当时用的是线性统计方法.他接手后提出用不是线性类型的方程组进 行检验.选择了大大简化被滤波的数值天气预报方程式，并购买了内存为 4k32bi 字长的小型计算机，一次乘法约 17ms,打印一行数字约 10s.开始时选择 14 个变 量的方程组，经压缩又压缩，最后变成 12 个.参数中包含驱动模式天气所需要的 外热源的强度和分布，这样可以改变参数进行试验.但总是出现毫无用处的稳定,,9,状态.经多次试验后，最后发现了一个解，它明显地模拟出在用水模拟地球空气 的转盘实验中所观察到的振荡.这时，他认识到需要一个解是非周期的方程组才 可能否定线性预报.这是 1959 年，他准备将这碰巧找到的一个合适的方程组及其 试验结果写成“动力方程组解的统计预报”报告参加在东京举行的数值天气预报 会议.在进一步进行试验时，数值方法是以 6 小时为增量计箅未来天气，4 步即 1 天打印 1 次 12-14 个变量值，约 1 分钟模拟 1 天.为把打印出的数值排成 1 行， 数值四舍五入到三位数字.有一次，为了更为详细地检查，决定重复某些计算. 停机后重新输入再进行计算，他在走廊上喝了一杯咖啡，约 1 小时，计算机已模 拟了 1 个月的天气.但打印出不同的数值，开始以为是真空管或其他计算机部件 坏了.经检查才发现是输入时因舍入误差引起的.从而发现了方程组的解对初值 敏感这个混沌现象.1961 年到 M.Thomas 建立的旅行者天气中心访问时， B.Seltzmann 告诉他用下面加热产生的对流流体运动的 7 个方程的方程组的数值 解中有一个解稳定不下来，经查看其中 4 个变量很快变得非常小.他回到 M.I.T.， 取仅有 3 个变量的方程组，得到了他长期寻找的系统.这便是 Lorenz 方程，它并 不能非常好地描述实际对流运动，主要说明一个确定性的系统能以最简单的方式 表现出非周期的形态.当时是湍流研究的热潮.他以“确定性的湍流”为题投稿气 象科学杂志，编辑认为方程缺少湍流的性质，改以“确定性的非周期流”发表. 由于 Lorenz 方程的解有界但是在两个不稳定状态中交替且不规则地振荡，与一 般的吸引子不同，是一个奇异吸引子.1963-1964 年 Lorenz 在气象科学杂志 等杂志上发表了 4 篇有关论文.但仅在气象学家中流传.1972 年 Lorenz 还为美国 科学发展协会会议准备一份报告和新闻公报，其题目为“可预报性：在巴西一只 蝴蝶翅膀的拍打能够在美国得克萨斯州产生一个龙卷风吗?”. Lorenz 被称为“蝴 蝶效应”提出者，混沌理论之父. Lorenz 于 2008 年 4 月 16 日逝世,享年 90 岁. 虽然 Lorenz 已发现了混沌现象.但还需要靠数学家的努力才能得到科学界的公 认，成为一门新学科，这是另一个故事了(见后).文 39 (9) Li-Yorke 混沌的故事 混沌的定义是首先由李天岩和 J.A.Yorke 在论 文“周期 3 蕴含混沌”中给出的，这篇开创混沌新学科的文章的发表经过后来由 李天岩作了介绍.1972 年左右李天岩是美国马里兰大学的研究生，他的博士导师 J.A.Yorke 在大学的“流体动力学与应用数学所”工作，所里有一个气象研究项,,10,目，由 A.Felle 教授主持.1972 年 A.Felle 教授将 Lorenz 所写的关于“气象预 测”模式所的 4 篇文章介绍给 Yorke 教授，认为文章过于理论化、数学化，也许 搞数学的会比较感兴趣.他们读了那些文章，觉得很有意思. 1973 年 4 月， Yorke 在办公室中对李说“我给你一个好的思想”.这即是 Li-Yorke 定理，其原始出发点在 Lorenz 的文章中，李当时即说“这太适合数 学月刊了!”两个星期后，李完全证明了这个定理.他们写好文章，真的投给数 学月刊.但给退了回来，认为过于偏向研究性，不宜发表，或转寄或修改.因文 章内容与李的博士论文无关.李把它压了下来. 1974 年是马里兰大学数学系的生物数学“特别年”，请了著名的普林斯顿大 学 R.May 教授来校讲学，最后一次介绍 Logistic 离散模型，提及当参数较大时 迭代值在整个区间中四处跑，他无法解释这现象，认为也许是计算误差所 致.Yorke 在送 May 上飞机时，把那篇在桌上躺了近一年的文章给他看，May 看后 大吃一惊，认为文章很大程度上解释了他的疑问.Yorke 回来后即找了李，尽快 修改文章发表.这文章最后发表在数学月刊1975 年 12 月份那期上(文 41).May 是举世闻名的教授，暑假到欧州讲学时将 Li-Yorke 混沌和 Lorenz 吸 引子四处传播，从而掀起了混沌研究的热潮.文 42.,。